■佘丹王平

推理能力一直以來都是數(shù)學教育的重點關注對象。從推理類型來看，初中推理有幾何推理和代數(shù)推理。幾何推理以圖形為載體，形象直觀；代數(shù)推理側(cè)重數(shù)和式的變形和轉(zhuǎn)換，相對比較抽象，是學生數(shù)學思維向更高層次發(fā)展的必備能力?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：要關注基于代數(shù)的邏輯推理，讓學生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理能力，培養(yǎng)科學精神。因此，教師在初中數(shù)學教學過程中，有必要進行點面結合、系統(tǒng)推進，逐步滲透代數(shù)推理。下面，本教學案例立足于代數(shù)內(nèi)容的自身特點，把握代數(shù)推理的本質(zhì)，類比幾何推理的思維方式，在發(fā)展學生代數(shù)推理能力的路徑與策略上做出了一些探索，現(xiàn)與讀者分享。

一、教學過程

1.類比探究

師：生活中除了有相等關系，還有許多的不等關系。從相等關系中我們抽象出了等式的概念，從不等關系中我們抽象出了不等式的概念。那么，等式有等式的性質(zhì)，不等式有哪些性質(zhì)呢？

師追問1：我們先回顧一下，等式有哪些性質(zhì)？它的符號語言是什么？

師追問2：類比等式的基本性質(zhì)，你覺得不等式的基本性質(zhì)可能是什么？

師追問3：這些都是大家的猜想，請舉例來證明。

［設計意圖］在學生回顧等式的基本性質(zhì)的符號語言時，教師從命題的角度引出用“條件……，結論……”的形式，幫助學生明確性質(zhì)中的條件和結論，為不等式的基本性質(zhì)的條件和結論作鋪墊。類比等式的基本性質(zhì)，猜想不等式的基本性質(zhì)，這樣的類比猜想是對知識的遷移與拓展，是研究新問題的重要思想方法。

師：通過剛才的探索，我們發(fā)現(xiàn)了不等式有兩個性質(zhì)。你能嘗試著用自己的語言去歸納這兩個性質(zhì)嗎？

師追問4：我們類比等式的基本性質(zhì)，猜想得到了不等式的基本性質(zhì)。那么，它們之間有什么相同點和不同點呢？

師追問5：同學們能用“條件……，結論……”的形式，寫出不等式的基本性質(zhì)的符號語言嗎？

［設計意圖］學生在初步理解不等式的基本性質(zhì)的基礎上，嘗試用自己的語言去歸納不等式的兩個性質(zhì)，自主建構不等式基本性質(zhì)的內(nèi)容，再通過與等式的基本性質(zhì)的對比，完善了對不等式基本性質(zhì)的認識。學生用“條件……，結論……”的形式書寫不等式基本性質(zhì)的符號語言，明確性質(zhì)中的條件與結論，對后續(xù)演繹推理起到了奠基的作用。

2.簡單應用

練習1已知a＞b，用“＞”或“＜”填空。

（1）a+2b+2； （2）a-5b-5；

（3）4a4b； （4）-a-b。

練習2判斷下面題目的正確性。

（1）如果a＜b，那么a+2＜b+1；（2）如果a＜b，那么；（3）如果a＜b，那么ac＞bc；（4）如果a＞b，那么3+2a＞3+2b。

［設計意圖］練習1是對不等式基本性質(zhì)的直接運用，有利于加深學生對不等式基本性質(zhì)內(nèi)涵的理解；練習2是對不等式基本性質(zhì)中關鍵字眼的辨析，有利于加深學生對不等式基本性質(zhì)外延的理解，其中以第（4）小題為著眼點，引導學生從熟悉的命題角度切入，要說明它是一個真命題，根據(jù)以往幾何學習的經(jīng)驗，格式應為“∵a＞b，∴2a＞2b。（兩邊都乘2，不等號方向不變）∴3+2a＞3+2b。（兩邊都加上3，不等號方向不變）”，自然地得出代數(shù)推理的基本形式“因為……，所以……（依據(jù)）”。

3.例題探究

例1（1）請用不等式的基本性質(zhì)說明a+3＞a+1；（2）請用不等式的基本性質(zhì)說明a+3＞a。

例2已知a＞1，請用不等式的基本性質(zhì)說明

［設計意圖］例1難度較大，教師可以以問題串的形式啟發(fā)學生思考“解決這個問題的困難在哪（沒有條件）？題目中隱含條件是什么？怎樣找到隱含條件？”，從而一步步解決問題，讓學生體會到代數(shù)推理是要有條件和結論的。對于例2，學生可以說出自己的思考過程，畫出思維框圖并利用思維框圖（如圖1）來分析問題，展現(xiàn)自己的思考路徑，找到思考問題的方向，培養(yǎng)和發(fā)展代數(shù)推理能力。

圖1

二、教學反思

1.重視符號語言

用數(shù)學符號表達事物性質(zhì)、關系和規(guī)律，是學生初步形成抽象能力和推理能力的重要載體。本節(jié)課教材中沒有給出等式和不等式的基本性質(zhì)的符號語言，只有文字表述。因此，本節(jié)課從一開始在寫等式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)符號語言時，教師就有意識地引導學生用“條件……，結論……”的形式書寫，并將“條件是什么，結論是什么”貫穿于整節(jié)課的教學之中，讓學生明確每個代數(shù)推理問題都應該是有條件和結論的?？v觀整節(jié)課，符號語言就像是一條暗線，將回顧、探索、性質(zhì)、應用這四個教學板塊有機地串聯(lián)起來，為后續(xù)代數(shù)推理起到奠基的作用。

2.層層推進，掌握演繹推理表征

根據(jù)對《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的研讀，結合學生學情，“‘數(shù)與代數(shù)’課程中發(fā)展學生推理能力的教學研究”課題組集體研究確定了本節(jié)課的教學重點：一是探索不等式的基本性質(zhì)，二是能運用不等式的基本性質(zhì)進行兩步以內(nèi)的推理。其中，運用不等式的基本性質(zhì)進行兩步以內(nèi)的演繹推理是本節(jié)課的重點，也是難點。為突破重難點，教師分三個層次推進：第一層次是一步推理，由填空題和判斷題的前三小題構成題組。在學生剛剛對不等式的基本性質(zhì)有了初步認識后，教師設計一步推理有利于加深理解，為多步推理奠定基礎。第二層次是條件明確的兩步推理，由判斷題第（4）小題承載。學生除了要會判斷出該命題的真假，還要在教師的指導下學會用符號語言完整證明。由于其條件明確，加上教師之前所做的有關符號表達的準備工作充分，學生完成該推理并不困難。第三層次是蘊含隱藏條件的推理，由例1和例2承載。在解決問題時，學生出現(xiàn)了明顯的不適應，此時通過教師引導，學生逐步明確思考的方式方法，整個課堂被推向高潮。

3.繪制框圖實現(xiàn)思考路徑可視化

思維框圖是思維可視化的有效工具，它的結構很好地呈現(xiàn)了大腦自然思考問題時聯(lián)想到的相關知識，讓整個推理過程得到全面的考慮，讓學生能更清晰、準確地將相互關聯(lián)的知識聯(lián)系起來，找到解決問題的思路，提高解題能力。在分析例2時，學生畫出思維框圖，展示自己的思考路徑。從條件到結論、從結論到條件以及同時從條件和結論出發(fā)的“兩頭湊”都是思考問題的重要途徑，這些思考路徑必將在學生的腦海中留下深刻的印象。需要說明的是，教師在之前教授幾何中的演繹推理時，一直采用思維框圖的方式進行。因此，學生對于幾何中利用思維框圖分析問題、進行演繹推理已經(jīng)非常熟練，看到這個思維框圖能自然地調(diào)出以往幾何學習的經(jīng)驗，順利掌握思維框圖分析代數(shù)問題的方法，提高演繹推理能力。

重視符號語言、分層推進推理內(nèi)容、強化推理表征、繪制思維框圖是教師在尋找發(fā)展學生代數(shù)推理能力的路徑與策略上做的積極探索。本節(jié)課可以作為一個典型的代數(shù)推理教學課例供讀者研究，也期待更多的教師進入這一領域進行深入研究，全面提高初中生代數(shù)推理能力。