蔡應(yīng)洲，賀紹飛，谷振豐，龍 翔，許 曉

（1. 國防科技大學，長沙，410073；2. 酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，酒泉，732750）

0 引 言

“空間快速響應(yīng)”這一新興概念，伴隨火箭、衛(wèi)星小型化技術(shù)的飛速發(fā)展，被不斷研究、完善、豐富和發(fā)展[1]?？臻g快速響應(yīng)具有響應(yīng)時間短的突出特點，具有極高的民用和軍用價值[2]。

快速訪問軌道是由Wertz首先提出的一種空間快速響應(yīng)軌道[3]，其能夠保證衛(wèi)星入軌后快速訪問目標區(qū)域，具有突出的快速響應(yīng)能力，與空間快速響應(yīng)任務(wù)時效性要求高的特點相契合。但是，Wertz并未給出快速訪問軌道的設(shè)計方法。目前，作為衛(wèi)星的典型應(yīng)用之一，遙感衛(wèi)星系統(tǒng)無論在民用還是軍用領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用。因此，研究遙感衛(wèi)星快速訪問軌道具有重要意義。與固定點位發(fā)射相比，機動發(fā)射不僅可以顯著提升生存能力，而且可以大幅拓寬發(fā)射窗口，提升快速響應(yīng)能力，因而成為空間快速響應(yīng)主流發(fā)射方式[4]。付曉峰[5]和賈璐[6]研究了矩形發(fā)射區(qū)域機動發(fā)射快訪軌道的設(shè)計方法，但相關(guān)研究都以軌道響應(yīng)時間為優(yōu)化目標，聚焦于軌道設(shè)計而不考慮發(fā)射點位選取的限制，導(dǎo)致規(guī)劃得到的機動發(fā)射點位均為發(fā)射區(qū)域頂點，難以適用于實際情況。因此，本文針對公路機動發(fā)射，以軌道響應(yīng)時間和任務(wù)響應(yīng)時間為優(yōu)化目標，基于目標區(qū)域的位置信息和發(fā)射區(qū)域路網(wǎng)信息，研究遙感衛(wèi)星快訪軌道和發(fā)射點位一體規(guī)劃方法，為空間快速響應(yīng)軌道和發(fā)射點位規(guī)劃提供理論基礎(chǔ)。

1 快訪軌道與發(fā)射點位規(guī)劃

1.1 快訪軌道設(shè)計模型

遙感衛(wèi)星快訪軌道及發(fā)射點位一體規(guī)劃是指在遙感衛(wèi)星參數(shù)、發(fā)射區(qū)域內(nèi)路網(wǎng)信息和目標區(qū)域位置信息確定的情況下，優(yōu)化選取機動發(fā)射點位，同時設(shè)計衛(wèi)星運行軌道使其入軌首圈即過頂目標區(qū)域的過程。目前，主流的快速響應(yīng)火箭為固體火箭，受固體發(fā)動機裝藥量及裝藥性能的限制，固體火箭運載能力通常較小，因此，為了保證運載能力，固體火箭通常采用共面發(fā)射方式[7]，且快訪軌道通常設(shè)計為近地圓軌道。對于近地圓軌道，其偏心率近似為零，需要設(shè)計的軌道參數(shù)包括軌道傾角i、升交點赤經(jīng)Ω和軌道半長軸a，其中升交點赤經(jīng)Ω由升交點或降交點地理經(jīng)度決定[8]。此外，對于不同的發(fā)射任務(wù)，固體火箭的飛行彈道通常不同，為了簡化問題，聚焦軌道設(shè)計和發(fā)射點位規(guī)劃，假定火箭發(fā)射段飛行地心角和飛行時間保持不變。

針對中國周邊目標區(qū)域的典型空間快速響應(yīng)任務(wù)，假設(shè)任務(wù)要求以某一技術(shù)廠房為依托，應(yīng)急機動發(fā)射某型遙感衛(wèi)星，在t1時刻觀測某一目標區(qū)域，提供空間分辨率不大于γm的觀測圖像，其中遙感衛(wèi)星性能參數(shù)（包括傳感器像元間距、光圈數(shù)和相機口徑）已知。假設(shè)O′(λ0, φ0)為技術(shù)廠房，C(λ1, φ1)為目標區(qū)域，C′(λ′1, φ1)為發(fā)射時刻φ1緯度圈與衛(wèi)星軌道面的交點。假設(shè)發(fā)射區(qū)域（即發(fā)射點可選區(qū)域）為以O(shè)′為中心、半徑為L的圓形區(qū)域，機動發(fā)射點B(λ2, φ2)為位于發(fā)射區(qū)域內(nèi)某一路段上的點，K為衛(wèi)星入軌點，火箭發(fā)射時刻空間幾何關(guān)系見圖1。

圖1 火箭發(fā)射時刻空間幾何關(guān)系 Fig.1 Spatial Geometry of Rocket Launch

對于近地圓軌道，遙感衛(wèi)星的空間分辨率為[9]

式中 γ為空間分辨率；h為傳感器像元間距；a為軌道半長軸；R為地球半徑；d為相機口徑；f為傳感器光圈數(shù)。

由式（1）可知，對于確定的遙感衛(wèi)星，其空間分辨率僅與軌道高度相關(guān)，軌道高度越低，衛(wèi)星空間分辨率越高。但是，衛(wèi)星軌道高度越低，衛(wèi)星對地面目標的持續(xù)覆蓋時間越短。因此，對于確定的快速響應(yīng)觀測任務(wù)（給定空間分辨率要求），通常以空間分辨率上限值確定衛(wèi)星軌道高度，進而在滿足空間分辨率要求的前提下獲得最長的持續(xù)覆蓋時間，即對于確定的快速響應(yīng)觀測任務(wù)，衛(wèi)星軌道半長軸為

式中 γm為快速響應(yīng)任務(wù)給定的空間分辨率上限值。

對于圖1中球面直角三角形BDHΔ ，根據(jù)正弦定理和余切定理可得

同理，對于球面直角三角形C FHΔ′，可得

對于快訪軌道，僅考慮衛(wèi)星入軌當圈即過頂目標點的情況。假設(shè)火箭發(fā)射段飛行地心角為θr，則軌道響應(yīng)時間tp（自衛(wèi)星入軌至第一次過頂目標點上空的時間）為

式中 μ為地球引力常數(shù)。

對于近地快訪軌道，地球非球形引力攝動在所有攝動作用中占據(jù)主導(dǎo)地位，其中以J2項攝動的一階長期項為主。因此，只考慮一階長期項，可得快訪軌道相對地球的運動速率為[10]

式中eω為地球自轉(zhuǎn)角速率。

假設(shè)火箭發(fā)射段飛行時間為tr，則C′點的經(jīng)度坐標 1λ′為

式（10）給出了軌道傾角的計算公式。

由圖1可知，衛(wèi)星入軌后第一圈升交點經(jīng)度φ為

衛(wèi)星入軌點緯度幅角u為

發(fā)射窗口t0為

1.2 發(fā)射點位規(guī)劃模型

針對公路機動發(fā)射方式，發(fā)射點位的選取依托三級以上公路，將發(fā)射區(qū)域內(nèi)三級以上公路劃分為直線路段組成的路網(wǎng)，各路段以兩端點經(jīng)緯度表示，以此構(gòu)建發(fā)射區(qū)域路網(wǎng)模型（見圖2）。

圖2 球面路段模型幾何關(guān)系 Fig.2 Spatial Geometry of Spherical Road Model

假設(shè)發(fā)射點B (λ2,φ2)位于發(fā)射區(qū)域某一路段MP上，其中路段MP兩端點經(jīng)緯度分別為 (λM,φM)和(λP,φP)，路段傾角為θ（以低緯度路段端點所在維度圈為起始軸，逆時針旋轉(zhuǎn)至路段所轉(zhuǎn)過的角度，θ∈ [ 0,π]），則發(fā)射點B經(jīng)緯度滿足以下約束條件：

當θ=0或π時，

當θ=π/2時，

當θ≠0，π/2和π時，

對于球面直角三角形METΔ 、BJTΔ 和PQTΔ ，由余切定理可得

根據(jù)λ2- λM=∠ JOT -∠ EOT 可得

其中，θ滿足：

1.3 快訪軌道及發(fā)射點位求解

對于空間快速響應(yīng)任務(wù)，任務(wù)響應(yīng)時間為第一指標，任務(wù)響應(yīng)時間包括火箭載具機動時間、火箭飛行時間和軌道響應(yīng)時間，計算公式為[11]

式中 tresp為空間快速響應(yīng)任務(wù)響應(yīng)時間；tj為火箭載具機動時間。

式中 lBO′為機動發(fā)射點位與技術(shù)廠房之間的最短機動距離；v為火箭載具機動速度。

假設(shè)機動發(fā)射點位與技術(shù)廠房之間的最短機動路徑由n條路段組成，則

式中 σr為第r條路段所對應(yīng)的地心角。

式中 ( λr+1, φr+1)和(λr,φr)為r路段兩端點經(jīng)緯度。

空間快速響應(yīng)任務(wù)要求任務(wù)響應(yīng)時間最短，即火箭載具具有較短的機動時間，同時快訪軌道具有較短的響應(yīng)時間。考慮到機動時間和軌道響應(yīng)時間均與機動發(fā)射點位的選取相關(guān)，因此，該問題是以機動發(fā)射點位為變量，以任務(wù)響應(yīng)時間為優(yōu)化目標的單目標優(yōu)化問題。根據(jù)快訪軌道設(shè)計模型和發(fā)射點位規(guī)劃模型可知，機動發(fā)射遙感衛(wèi)星快訪軌道和發(fā)射點位規(guī)劃結(jié)果可用x={a, i, λ2, φ2}描述。因此，機動發(fā)射遙感衛(wèi)星快訪軌道和發(fā)射點位規(guī)劃問題可描述為

2 具體算例

2.1 任務(wù)背景

假設(shè)2020年8月18日，強熱帶風暴在南海某島嶼（117.5°E，15°N）登陸，造成人員傷亡和大量資產(chǎn)受損，考慮到?jīng)]有合適的遙感衛(wèi)星近期過頂受災(zāi)區(qū)域上空，為快速掌握受災(zāi)區(qū)域受損情況，需要應(yīng)急發(fā)射一顆遙感衛(wèi)星進行快速響應(yīng)觀測。

2.2 任務(wù)需求

2020年8月19日13時（地方時）具備目標島嶼觀測能力，空間分辨率不低于1 m。

2.3 初始條件

技術(shù)廠房位置O′為東經(jīng)87°、北緯43°；發(fā)射區(qū)域半徑L=500 km，火箭載具機動速度v=60 km/h；快響火箭飛行參數(shù)tr=300 s，θr=30°；遙感衛(wèi)星參數(shù)h=5 μm，d=0.4 m，f=7.5；發(fā)射區(qū)域內(nèi)路網(wǎng)信息見表1。

表1 發(fā)射區(qū)域內(nèi)路網(wǎng)信息 Tab.1 Information of Roads in Launch Area

2.4 規(guī)劃結(jié)果

由任務(wù)需求可知，空間分辨率要求γm=1 m，觀測時間要求t1=2020年8月19日6時（世界時）。根據(jù)遙感衛(wèi)星快訪軌道和發(fā)射點位規(guī)劃方法，分別以軌道響應(yīng)時間和任務(wù)響應(yīng)時間為優(yōu)化目標，得到規(guī)劃結(jié)果見表2。從表中可以看出在發(fā)射點（90°E，39.12°N）實施應(yīng)急發(fā)射的軌道響應(yīng)時間最短（83.25 s），但其任務(wù)響應(yīng)時間相對較長（17.57 h）；在技術(shù)廠房（87°E，43°N）附近實施應(yīng)急發(fā)射的任務(wù)響應(yīng)時間最短（0.13 h），但其軌道響應(yīng)時間相對較長（151.97 s）。任務(wù)方案的選取取決于任務(wù)需求，若任務(wù)下達的時間與任務(wù)要求完成的時間間隔較短，即任務(wù)準備時間較短，則應(yīng)選取任務(wù)響應(yīng)時間較短的方案，即在技術(shù)廠房附近固定發(fā)射點位實施發(fā)射，但此時裝備易暴露，安全性較低；若任務(wù)下達的時間與任務(wù)要求完成的時間間隔較長，即任務(wù)準備時間較充裕，則應(yīng)選取軌道響應(yīng)時間較短的方案，即長距離機動發(fā)射，此時裝備不易暴露，安全性較高，但耗費時間較長。

表2 快訪軌道及發(fā)射點位規(guī)劃結(jié)果 Tab.2 Designed Fast Access Orbit and Launch Position

3 仿真校驗

采用STK軟件進行仿真校驗，設(shè)定升交點經(jīng)度φ′為衛(wèi)星入軌前一圈升交點經(jīng)度，計算公式如下：

根據(jù)式（27）計算得到最短軌道響應(yīng)時間(tp)min方案和最短任務(wù)響應(yīng)時間(tresp)min方案的升交點經(jīng)度分別為321.2°、320°。因此，設(shè)定(tp)min方案的軌道半長軸、傾角和升交點經(jīng)度分別為6978 km、50.59°和321.2°，(tresp)min方案的軌道半長軸、傾角和升交點經(jīng)度分別為6978 km、53.31°和320°，仿真得到的星下點軌跡見圖3。

圖3 仿真所得星下點軌跡 Fig.3 Simulated Subastral Point Track

從圖中可以看出，2個方案衛(wèi)星入軌首圈即過頂目標島嶼上空，滿足空間快速響應(yīng)需求。另外，從入軌點圖中可以看出(tp)min方案衛(wèi)星入軌點距離目標島嶼更近，表明軌道響應(yīng)時間更短，與規(guī)劃結(jié)果相符，驗證了該規(guī)劃方法的可行性和實用性。從發(fā)射區(qū)域圖中可以看出(tresp)min方案衛(wèi)星星下點軌跡經(jīng)過技術(shù)廠房附近，(tp)min方案衛(wèi)星星下點軌跡經(jīng)過路段2下端點附近，衛(wèi)星星下點軌跡并未完全經(jīng)過規(guī)劃得到的發(fā)射點位，這是由于計算模型中包含火箭發(fā)射段飛行彈道，而火箭發(fā)射段飛行速度與衛(wèi)星在軌運行速度不同。

4 結(jié)束語

本文基于球面幾何知識給出了快訪軌道設(shè)計模型和發(fā)射點位規(guī)劃模型，進而得到了遙感衛(wèi)星快訪軌道與機動發(fā)射點位一體規(guī)劃方法。所給出的規(guī)劃方法簡單實用，具有一定的工程應(yīng)用價值。