張正英

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)應(yīng)用是撬動學(xué)生深度學(xué)習(xí)的支點。作為教師，要營造應(yīng)用的氛圍，立足學(xué)生的思維，著力引導(dǎo)學(xué)生探究，并對學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用進行積極的評價。對數(shù)學(xué)知識的深度應(yīng)用呼喚著數(shù)學(xué)教學(xué)走向整合、走向整體、走向結(jié)構(gòu)、走向系統(tǒng)。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生全身心投入、全方位建構(gòu)、全息性感受與體驗。通過數(shù)學(xué)應(yīng)用，生成學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)應(yīng)用；教學(xué)策略；深度學(xué)習(xí)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是習(xí)得的過程，更是應(yīng)用的過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用，不僅是指“寫數(shù)學(xué)”的作業(yè)活動，還包括“說數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”等活動；不僅包括學(xué)生的實際應(yīng)用，還包括學(xué)生的審美應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從學(xué)生的學(xué)習(xí)力提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立場出發(fā)，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用。數(shù)學(xué)應(yīng)用是撬動學(xué)生深度學(xué)習(xí)的支點。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生全身心投入、全方位建構(gòu)。通過數(shù)學(xué)應(yīng)用，生成學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

[?]一、變“消極應(yīng)用”為“積極應(yīng)用”

數(shù)學(xué)應(yīng)用是學(xué)生深刻認識數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的重要方式，是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最直接、最有效的學(xué)習(xí)方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用興趣，調(diào)動學(xué)生的應(yīng)用積極性，讓學(xué)生從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)“消極應(yīng)用”轉(zhuǎn)變?yōu)椤胺e極應(yīng)用”。積極應(yīng)用的過程是學(xué)生數(shù)學(xué)審視、數(shù)學(xué)質(zhì)疑、數(shù)學(xué)批判的一個過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生全身心投入，積極主動地尋求解決問題的方法。

積極的應(yīng)用過程是學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識進行深度加工、精加工的過程。在引導(dǎo)學(xué)生積極應(yīng)用的過程中，教師要變學(xué)生的低階認知為高階思維。要聚焦數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，磨煉思維。比如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”（蘇教版六年級上冊）之后，教師可以一改傳統(tǒng)的由教師出題、學(xué)生答題的方式，讓學(xué)生出題。相較于教師出題，學(xué)生出題的樣式更豐富、更生動、更具多樣性。如我校一位教師在教學(xué)“比的基本性質(zhì)”之后，就提出了這樣的問題：比的基本性質(zhì)有什么作用？這樣的問題能引發(fā)學(xué)生的積極思考，推動學(xué)生的類比思維。有學(xué)生說，“分數(shù)的基本性質(zhì)可以用來化簡分數(shù)，比的基本性質(zhì)應(yīng)該可以用來化簡比”；有學(xué)生說，“化簡分數(shù)要求化成最簡分數(shù)，我想，化簡比也應(yīng)該化成最簡比”。在學(xué)生積極猜想的基礎(chǔ)上，學(xué)生設(shè)計、研發(fā)了諸多的化簡比的類型，諸如整數(shù)比如何化簡、分數(shù)比如何化簡、小數(shù)比如何化簡等。還有學(xué)生想到了混合比（比的前項和后項分別是小數(shù)和分數(shù)等）如何化簡、數(shù)量比（比的前項和后項有不同的單位）如何化簡等。這樣的一種問題設(shè)計，就將學(xué)生推向了數(shù)學(xué)應(yīng)用的前臺。學(xué)生不是消極地等待教師出題，而是根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容，根據(jù)自己的已有知識經(jīng)驗來設(shè)計、研發(fā)習(xí)題。相較于教師出題，學(xué)生出題更能彰顯學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、積極性、創(chuàng)造性，更能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究潛質(zhì)。

積極應(yīng)用關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的樣態(tài)，關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的個體表達。通過積極的應(yīng)用，學(xué)生能夠建構(gòu)數(shù)學(xué)知識與相關(guān)問題的關(guān)聯(lián)，能提煉出針對不同問題的解決問題的圖式、策略、模式等。在積極主動地設(shè)計、研發(fā)相關(guān)問題的過程中，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，生成了數(shù)學(xué)思考、探究的智慧，邁向了數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)樣態(tài)。

[?]二、變“淺層應(yīng)用”為“深層應(yīng)用”

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用有“淺層應(yīng)用”和“深層應(yīng)用”兩種。一般來說，淺層應(yīng)用就是指學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的簡單的、基礎(chǔ)性的直接應(yīng)用。深層應(yīng)用就是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識復(fù)雜的、靈活的、變式性的應(yīng)用。相較于淺層應(yīng)用，深層應(yīng)用更具挑戰(zhàn)性，也更具有趣味性。在深層應(yīng)用的過程中，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力、批判力和創(chuàng)新力。

在深層應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生不僅僅是數(shù)學(xué)知識的回憶者、模仿應(yīng)用者，更是數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造應(yīng)用者。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生從問題中搜集關(guān)鍵條件、證據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生將條件和已學(xué)知識建立關(guān)聯(lián)，從而幫助學(xué)生逼近數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，生成學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用智慧?？梢赃@樣說，每一次的數(shù)學(xué)應(yīng)用尤其是變式性的應(yīng)用，都是從不同的層面、側(cè)面來凸顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，都是從知識的表層意義潛入知識的深層意義的過程。在深度應(yīng)用的過程中，學(xué)生不再在知識的表層滑行，而是對數(shù)學(xué)知識有了深刻的感受、體驗、感悟。比如在教學(xué)“梯形的面積”（蘇教版五年級上冊）這一部分內(nèi)容時，簡單性、淺表性的應(yīng)用就是已知梯形的上底、下底、高，直接套用梯形的面積公式求出梯形的面積；有一定深度的應(yīng)用是要求學(xué)生“反其道而行之”，也就是已知梯形的面積、上底、下底，求出梯形的高；而創(chuàng)造性的應(yīng)用則是一種實際的變形性的應(yīng)用，如已知一堆鋼管的最上面一層的根數(shù)、最下面一層的根數(shù)以及層數(shù)，要求這堆鋼管的總根數(shù)等。借助深層次的數(shù)學(xué)應(yīng)用，能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解產(chǎn)生一種豁然開朗、茅塞頓開的感受與體驗。深層應(yīng)用是建立在學(xué)生身體、心理、認知與情感等交互統(tǒng)一、感應(yīng)的基礎(chǔ)上的。對數(shù)學(xué)知識的深層應(yīng)用能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認知與數(shù)學(xué)情感水乳交融，不僅能讓學(xué)生獲得一種耳目之愉，還能讓學(xué)生獲得一種心神之悅。

一般來說，深層應(yīng)用往往伴隨著學(xué)生的創(chuàng)造性思維。對于學(xué)生的深層應(yīng)用，教師要積極地予以反饋、評價。在評價的過程中，教師要變傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)教學(xué)為學(xué)生積極的、主動的互動參與。合理的、科學(xué)的評價能促進學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用。在發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時，要深化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為更活躍、更靈動、更開放。

[?]三、變“單一應(yīng)用”為“多維應(yīng)用”

良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅著眼于數(shù)學(xué)知識（包括概念、判斷等）的單一層面的一種性質(zhì)、屬性，還要引導(dǎo)學(xué)生進行全面、綜合的應(yīng)用。這樣的一種綜合、全面的應(yīng)用，筆者稱之為“多維應(yīng)用”。多維應(yīng)用不僅能完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，還能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和必備品格。在多維應(yīng)用的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進行積極的遷移。在遷移的過程中引導(dǎo)學(xué)生判斷、提取、總結(jié)、應(yīng)用、累積等。

多維性的數(shù)學(xué)應(yīng)用具有一種全息性，也就是說，多維應(yīng)用能讓學(xué)生從各個層面對數(shù)學(xué)知識形成一種洞悉、洞察。多維性的數(shù)學(xué)應(yīng)用應(yīng)當(dāng)遵循著由淺入深、由小到大、由少到多、由單一到整體的過程。數(shù)學(xué)應(yīng)用不應(yīng)當(dāng)是機械的、盲目的、線性的，而應(yīng)當(dāng)是靈動的、多維的、綜合的、立體的一個過程。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用，往往是數(shù)學(xué)知識的直接汲取，而深層應(yīng)用則是數(shù)學(xué)知識的積極思維與聯(lián)想、想象等。比如教學(xué)“分數(shù)乘法應(yīng)用題”（蘇教版六年級上冊）這一部分內(nèi)容時，很多教師都是遵循教材的基本教學(xué)要求，反復(fù)地出示一些“已知單位‘1的量”“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的問題。這樣的問題，容易讓學(xué)生形成解決問題的套路，甚至形成固化思維、慣性思維等，不利于學(xué)生對問題展開真正的、具體的分析。筆者在教學(xué)中，借助“分數(shù)的意義”以及“分數(shù)與份數(shù)”之間的關(guān)系，將“分數(shù)除法應(yīng)用題”乃至“稍復(fù)雜的分數(shù)乘除法應(yīng)用題”引入其中，不斷拓展學(xué)生的思維。在這個過程中，學(xué)生不再機械地套用解決問題的模式，而是積極主動地展開分析：誰是單位“1”的量？單位“1”的量已知還是未知？怎樣解決這樣的問題？學(xué)生借助題目中的分率，以及分率與平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)等之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，積極主動地展開分析，從而解決問題。在這個過程中，學(xué)生的問題解決不再依賴于模式、套路，而是展開靈動的思維、探究。學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識進行積極主動的取用，進而實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的相互轉(zhuǎn)化、積極遷移。

深層應(yīng)用是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。作為教師，要營造應(yīng)用的氛圍，立足于學(xué)生的思維，著力引導(dǎo)學(xué)生探究，并對學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用進行積極的評價。在引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)知識的深層應(yīng)用過程中，教師要讓學(xué)生成為發(fā)現(xiàn)者、探索者。要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的大腦考量世界。對數(shù)學(xué)知識的深層應(yīng)用呼喚著數(shù)學(xué)教學(xué)走向整合、走向整體、走向結(jié)構(gòu)、走向系統(tǒng)。當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐等連為一體時，學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就會真正發(fā)生。