吳沈輝，宋明

帶有量子修正的Zakharov方程的精確非線性波解

吳沈輝，宋明*

（紹興文理學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院, 浙江 紹興 312000）

利用動(dòng)力系統(tǒng)定性理論和分支方法，研究了帶有量子修正的Zakharov方程的精確非線性波解，給出了不同參數(shù)條件下的相圖，沿相圖中的特殊軌道進(jìn)行了積分，得到量子Zakharov方程的4個(gè)孤立波解、7個(gè)奇異波解和24個(gè)周期波解共3類(lèi)非線性波解。當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí)，對(duì)部分周期波解取極限，給出了周期波解演化為相應(yīng)的孤立波解和奇異波解的過(guò)程。

分支方法；修正Zakharov方程；非線性波解

0　引言

1972年，ZAKHAROV［1］提出了可用于描述高頻Langmuir波和低頻等離子波之間非線性相互作用的Zakharov方程，此為等離子體物理中的重要方程組。在一維情況下，經(jīng)典的Zakharov方程為

近年來(lái)，眾多學(xué)者致力于研究經(jīng)典等離子體中的物理現(xiàn)象?？紤]量子效應(yīng)，用經(jīng)典模型進(jìn)行描述不夠精確，GARCIA等［2］利用量子流體方法得到帶有量子修正的Zakharov方程：

首先，利用動(dòng)力系統(tǒng)分支方法和定性理論［10-20］研究量子Zakharov方程的非線性波解，討論不同參數(shù)取值范圍內(nèi)行波解的存在性。其次，通過(guò)行波變換將方程轉(zhuǎn)至平面系統(tǒng)，確定不同參數(shù)條件下奇點(diǎn)的類(lèi)型，并借助Mathematica軟件得到系統(tǒng)的分支相圖，分別對(duì)相圖中的同宿軌道、異宿軌道和周期軌道進(jìn)行積分，得到對(duì)應(yīng)的孤立波解、奇異波解和周期波解。最后，給出當(dāng)參數(shù)取極限時(shí)周期波解演化為孤立波解和奇異波解的過(guò)程。

1　相圖

采用變換：

將式（2）轉(zhuǎn)化為

將式（4）的第2式求導(dǎo)后代入第1式，并對(duì)第3式積分2次，得

設(shè)

將式（6）代入式（5）的第1式，得

將式（6）代入式（5）的第2式，得

對(duì)式（9）積分，得到2個(gè)哈密頓函數(shù)：

令

根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)定性理論，利用Mathmatica軟件，得到式（9）的相圖（圖1）。

2　非線性波解

圖1　在不同參數(shù)下式（9）的相圖

由式（3），得到2個(gè)孤立波解：

2個(gè)奇異波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到8個(gè)周期波解：

利用式（3），得到3個(gè)奇異波解：

利用式（3），得到2個(gè)孤立波解：

2個(gè)奇異波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到8個(gè)周期波解：

3　周期波解的演化過(guò)程

當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí)，對(duì)周期波解取極限，得到相應(yīng)的孤立波解和奇異波解。

圖2　當(dāng)時(shí)，周期波解式（27）孤立波解式（16）

圖3　當(dāng)時(shí)，周期波解式（37）孤立波解式（16）

圖4　當(dāng)時(shí)，周期波解式（28）奇異波解式（17）

圖5　當(dāng)時(shí)，周期波解式（38）奇異波解式（17）

4　結(jié)論

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Exact nonlinear wave solutions for the modified Zakharov equation with a quantum correction

WU Shenhui, SONG Ming

（，，312000，，）

bifurcation method; the modified Zakharov equation; nonlinear wave solutions

O 175.29

A

1008?9497（2023）01?030?08

2021?09?23.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11775146）.

吳沈輝（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-8633-0769，男，碩士研究生，主要從事微分方程非線性波解研究，E-mail：wsh56314@163.com.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4176-4923，E-mail：songming12_15@163.com.