王晶晶 占劍峰 何春玲通訊作者

（1.黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北黃岡 438000；2.黃岡師范學(xué)院生物與農(nóng)業(yè)資源學(xué)院 湖北黃岡 438000）

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，這使得“數(shù)學(xué)問(wèn)題”在課程中處于更加核心的地位[1]?！皢?wèn)題式教學(xué)”是以“解決問(wèn)題”為目標(biāo)，以“提出問(wèn)題”為引導(dǎo)，以“分析問(wèn)題”為手段，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)、問(wèn)題解決的教學(xué)模式[2]。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)營(yíng)造合適的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的同時(shí)，引導(dǎo)他們進(jìn)行自主思考和深入探究，從而達(dá)到分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的目的[3]。

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者以知識(shí)理解為基礎(chǔ)，以問(wèn)題解決為目標(biāo)，批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)和思想,將它們與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相結(jié)合，并將已有的知識(shí)遷移到新的認(rèn)知情境中，進(jìn)而達(dá)到對(duì)知識(shí)的深度理解和問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)[4][5]。深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠從多個(gè)角度出發(fā)對(duì)知識(shí)進(jìn)行全面的分析，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新能力和高階思維的發(fā)展，學(xué)生在理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，帶有批判性的眼光和質(zhì)疑的思維面對(duì)新知識(shí)，將有助于加深對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。

在當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中淺層學(xué)習(xí)現(xiàn)象普遍存在，究其原因，主要是教學(xué)內(nèi)容的碎片化導(dǎo)致學(xué)習(xí)的遷移度降低，不重視知識(shí)的形成過(guò)程以及忽視學(xué)生研究思路和研究方法經(jīng)驗(yàn)的積累等方面。深度學(xué)習(xí)的前提是深度理解，而深度理解可以通過(guò)問(wèn)題教學(xué)為手段。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中可以開(kāi)展問(wèn)題式教學(xué)，以“問(wèn)題”為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)一系列問(wèn)題鏈推動(dòng)課堂教學(xué)，引起學(xué)生深度思考，促進(jìn)學(xué)生深度理解，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“誘導(dǎo)公式”是人教A版（2019）必修1第5章第3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課既是“任意角和弧度制”及“三角函數(shù)的概念”內(nèi)容的延續(xù)，又是今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，起到承前啟后的重要作用。教材以“探究”和“思考”為核心，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究發(fā)現(xiàn)角的終邊分別關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱時(shí)，角也分別關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.將誘導(dǎo)公式（數(shù)）與單位圓（形）緊密結(jié)合起來(lái)，形成利用單位圓的對(duì)稱性研究三角函數(shù)性質(zhì)的探究路徑，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和證明誘導(dǎo)公式，加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解和掌握。

二、指向深度學(xué)習(xí)的問(wèn)題式教學(xué)思路

對(duì)教材內(nèi)容中的主要問(wèn)題進(jìn)行梳理后發(fā)現(xiàn)：要探究分別關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，要經(jīng)歷四個(gè)研究過(guò)程：（1）建立角的終邊之間的關(guān)系；（2）建立角之間的關(guān)系；（3）建立角的坐標(biāo)之間的關(guān)系；（4）得到三角函數(shù)的關(guān)系。

依據(jù)上述研究過(guò)程，本節(jié)課以單位圓為載體，以問(wèn)題式教學(xué)為主要教學(xué)模式，構(gòu)建“圓的對(duì)稱性→角的終邊的關(guān)系→角的關(guān)系→坐標(biāo)的關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系”的研究路徑。在問(wèn)題情境環(huán)節(jié)提出誘導(dǎo)公式一的作用和反映圓的什么特性兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)圓的性質(zhì)在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中的重要作用；在公式二的探究中，依據(jù)四個(gè)探究過(guò)程設(shè)置四個(gè)核心問(wèn)題，繼而將核心問(wèn)題分解生成遞進(jìn)式問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究后得到誘導(dǎo)公式二；在公式三、公式四的探究中，引導(dǎo)學(xué)生類比公式二的探究思路，展開(kāi)對(duì)公式三、公式四的探究，通過(guò)四個(gè)探究問(wèn)題依次推導(dǎo)出公式三、公式四。

三、指向深度學(xué)習(xí)的問(wèn)題式教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

根據(jù)上述研究路徑，將核心問(wèn)題分解生成遞進(jìn)式問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深度理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考

導(dǎo)入：“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓”，這是數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的一句名言.前面我們就利用單位圓得到了三角函數(shù)的定義，并且由定義推導(dǎo)出了誘導(dǎo)公式一，大家還記得嗎？

問(wèn)題1：誘導(dǎo)公式一有什么作用？

問(wèn)題2：反映了圓的什么特性？

師：圓的性質(zhì)還有對(duì)稱性，對(duì)稱性也是函數(shù)的重要性質(zhì).那我們可以借助單位圓的對(duì)稱性來(lái)研究三角函數(shù)的對(duì)稱性嗎？

設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)的定義是學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)，以誘導(dǎo)公式一反映的周期性出發(fā)，引出利用單位圓的對(duì)稱性開(kāi)展三角函數(shù)的研究，幫助學(xué)生規(guī)劃研究方案，打開(kāi)研究思路。

2.實(shí)踐探索，分析問(wèn)題，生成“問(wèn)題鏈”

探究1：角α，π+α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

（1）建立角α，β的終邊之間的關(guān)系

問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中，圓有哪些對(duì)稱性？（關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱等）

追問(wèn)：當(dāng)單位圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，你能作出點(diǎn)p'，使其與點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱嗎？如圖1所示：

圖1

（2）建立角α，β之間的關(guān)系

問(wèn)題2：角β與角α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)值分別有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)：要研究角的三角函數(shù)值的關(guān)系，要先研究角的關(guān)系。那么你能用α表示一個(gè)以op’為終邊的角嗎？

預(yù)設(shè)：π+α.

追問(wèn)1：角β和角π+α有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：以op為終邊的角β都是與角π+α的終邊相同的角，即β=2kπ+（π+α）（k∈Z）。

教師引導(dǎo)：根據(jù)公式一，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，因此可以先研究角π+α和角α的三角函數(shù)值之間關(guān)系。

（3）建立坐標(biāo)之間的關(guān)系

問(wèn)題3：設(shè)點(diǎn)p（x，y），根據(jù)點(diǎn)p’與點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，你能得到點(diǎn)p’的坐標(biāo)嗎？

追問(wèn)：知道了點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)如何繼續(xù)探究角的三角函數(shù)值的關(guān)系？

學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義，嘗試寫(xiě)出角α與角π+α的三角函數(shù)式：

（4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系

問(wèn)題4：仔細(xì)觀察角α與角π+α以及它們對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，你有什么特殊發(fā)現(xiàn)？

由此可得誘導(dǎo)公式二：

（5）梳理探究思路

問(wèn)題5：回顧剛才的探究過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)我們是如何推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式二的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：探究過(guò)程以“問(wèn)題”為主導(dǎo)，由淺入深，幫助學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中感受邏輯思維和綜合思維的發(fā)展。通過(guò)將核心問(wèn)題分解成遞進(jìn)式問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際的教學(xué)情境中全面、系統(tǒng)、深入地分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，為學(xué)生指明探索方向，促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度探索和剖析。在教學(xué)過(guò)程中注重誘導(dǎo)公式二的探究過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生建立起以單位圓為載體的誘導(dǎo)公式研究路徑，為后續(xù)類比上述研究過(guò)程展開(kāi)誘導(dǎo)公式三、公式四的研究做鋪墊。

3.類比聯(lián)想，深化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

師：?jiǎn)挝粓A又關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，根據(jù)公式二的探究思路，你能試著來(lái)研究一下三角函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性嗎？

探究2：角α，-α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

（1）建立角α，-α的終邊之間的關(guān)系

問(wèn)題1：應(yīng)該如何作出點(diǎn)p關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)p'？

追問(wèn)：角-α和角α的終邊有什么關(guān)系？

（2）建立角α和角-α之間的關(guān)系

問(wèn)題2：角α和角-α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)：要想知道兩個(gè)角的三角函數(shù)值的關(guān)系，要先知道角α和角-α的關(guān)系。

（3）建立坐標(biāo)之間的關(guān)系

問(wèn)題3：根據(jù)點(diǎn)p'是點(diǎn)p關(guān)x軸的對(duì)稱軸，你能得到點(diǎn)p'的坐標(biāo)嗎？

追問(wèn)：知道了坐標(biāo)之間的關(guān)系，接下來(lái)該怎么做？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義探究角α和角-α的三角函數(shù)之間的關(guān)系。

（4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系

問(wèn)題4：仔細(xì)觀察角α與角-α以及它們對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，你有什么特殊發(fā)現(xiàn)？

由此推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式三：

sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=tanα

探究3：角π-α和角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系。

師生活動(dòng)：學(xué)生自主探究，并上臺(tái)展示研究成果。

問(wèn)題5：如何作出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)p’？

問(wèn)題6：角α和角π-α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

問(wèn)題7：根據(jù)點(diǎn)p’是關(guān)于軸的對(duì)稱軸，能得到點(diǎn)p'的坐標(biāo)嗎？

問(wèn)題8：仔細(xì)觀察角與角π-α以及它們對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，你有什么特殊發(fā)現(xiàn)？

由此推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式四：

sin（π-α)=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

設(shè)計(jì)意圖：類比公式二的研究思路，引導(dǎo)學(xué)生自主開(kāi)展公式三、四的探究，由教師引導(dǎo)變?yōu)閷W(xué)生自主探究，使學(xué)生進(jìn)一步意識(shí)到數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，深入體會(huì)研究思路和研究方法的一致性。

4.鞏固應(yīng)用，解決問(wèn)題，促進(jìn)思維發(fā)展

例1：將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

1問(wèn)題1：你是怎么轉(zhuǎn)化的？誘導(dǎo)公式起到了什么作用？

例2：利用公式求下列三角函數(shù)值。

問(wèn)題2：解決這些問(wèn)題時(shí)，你分別選擇了哪個(gè)誘導(dǎo)公式？我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)該如何選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式呢？

設(shè)計(jì)意圖：在例題教學(xué)中鍛煉學(xué)生利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值、轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解題的一般思路，明確利用誘導(dǎo)公式解決問(wèn)題的思路和方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式及其作用進(jìn)行深度理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

四、指向深度學(xué)習(xí)的問(wèn)題式教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生探究欲望

一個(gè)好的問(wèn)題情境能夠引起學(xué)生深層次的思考和持續(xù)性的探究，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷產(chǎn)生新的問(wèn)題，引起深度思考和深度理解，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，充分考慮學(xué)生原有認(rèn)知水平和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常寣W(xué)生在探究過(guò)程中帶著問(wèn)題思考。

2.設(shè)置核心問(wèn)題，生成遞進(jìn)式問(wèn)題鏈

核心問(wèn)題是課堂教學(xué)活動(dòng)的“主心骨”，也是傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的重要途徑，可以起到促進(jìn)學(xué)生深入思考和探究的作用。教師在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)設(shè)計(jì)核心問(wèn)題，再將核心問(wèn)題分解生成遞進(jìn)式問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從小問(wèn)題出發(fā)，逐個(gè)分析、逐個(gè)突破，一步步分析問(wèn)題，直至解決問(wèn)題。

3.構(gòu)建研究路徑，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

問(wèn)題式教學(xué)是以問(wèn)題為核心，以問(wèn)題解決為目標(biāo)，引領(lǐng)學(xué)生感受知識(shí)的習(xí)得、建構(gòu)的過(guò)程。在知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建研究路徑，然后根據(jù)研究路徑和研究方法逐步展開(kāi)探究，親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，從中感受問(wèn)題解決的一般思路和方法，在滿足學(xué)生探究欲望的同時(shí)，為他們開(kāi)拓更廣闊的深度思考空間，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。