在計(jì)數(shù)與記數(shù)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想

卜俊

摘要：認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，學(xué)生需要體會(huì)到數(shù)碼思想的簡(jiǎn)化作用。在此基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)11—20各數(shù)是學(xué)生理解十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)（記數(shù)）法的關(guān)鍵。教師需要通過現(xiàn)實(shí)與歷史交融的各種計(jì)數(shù)與記數(shù)活動(dòng)，幫助學(xué)生充分體會(huì)整體思想和直觀思想的簡(jiǎn)化作用。具體地，可以設(shè)計(jì)“數(shù)10個(gè)以內(nèi)的商品，體會(huì)‘整體計(jì)數(shù)的進(jìn)制思想”“數(shù)10根以上的小棒，進(jìn)一步體會(huì)‘按十計(jì)數(shù)的十進(jìn)制思想”“從現(xiàn)實(shí)到歷史，了解十進(jìn)制的來歷”“從計(jì)數(shù)到記數(shù)，感悟‘直觀表示的位值思想”“估10個(gè)以上的事物，感受‘整體比較的思想延伸”等環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；《認(rèn)識(shí) 11—20各數(shù)》；十進(jìn)位值制

一、教前思考

數(shù)是對(duì)刻畫事物各種屬性的量的抽象。“數(shù)源于數(shù)（shǔ）”［實(shí)際上是自然數(shù)源于數(shù)（shǔ），其他數(shù)源于自然數(shù)］，是數(shù)數(shù)的過程（計(jì)數(shù)）和結(jié)果（記數(shù)）的辯證統(tǒng)一。數(shù)數(shù)的本質(zhì)是一一對(duì)應(yīng)，不斷“加1”。數(shù)數(shù)永無止境，會(huì)遇到越來越復(fù)雜的情況（大的數(shù)），因此需要簡(jiǎn)化，不能總是“加1”。由此，認(rèn)識(shí)數(shù)（及表示數(shù)）需要從簡(jiǎn)單的情況（小的數(shù)）開始，通過在現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)數(shù)，逐步體會(huì)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化的計(jì)數(shù)和記數(shù)思想，從而把握數(shù)的本質(zhì)，同時(shí)形成數(shù)感。

關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)（及表示），蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第五單元安排學(xué)生認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)，第九單元安排學(xué)生認(rèn)識(shí)11—20各數(shù)。認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，學(xué)生需要體會(huì)到數(shù)碼思想的簡(jiǎn)化作用：用數(shù)碼“1”表示1這個(gè)概念后，用不同的數(shù)碼“2”“3”……“9”，而不用數(shù)碼“1”的重復(fù)記錄“11”“111”……“111111111”（古人刻痕、結(jié)繩、擺石子、擺小棒等體現(xiàn)的就是這種記數(shù)方式）表示2、3……9這些概念。雖然自然數(shù)的本質(zhì)是1的累計(jì)，但是，隨著數(shù)的增大，用不同的數(shù)碼表示顯然比不斷“加1”表示要簡(jiǎn)潔。認(rèn)識(shí)11—20各數(shù)（其實(shí)包括認(rèn)識(shí)10），學(xué)生需要體會(huì)到整體思想和直觀思想的簡(jiǎn)化作用：把十看成一個(gè)整體，即一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，形成十進(jìn)制；讓不同的計(jì)數(shù)單位對(duì)應(yīng)不同的空間位置，形成位值制，從而用十位上的數(shù)碼“1”表示1個(gè)十，即10這個(gè)概念。雖然用不同的數(shù)碼表示不同的數(shù)具有一定的簡(jiǎn)潔性，但是，隨著數(shù)的不斷增大，需要的數(shù)碼也就越來越多，而將一個(gè)比較大的數(shù)看成一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，讓不同的計(jì)數(shù)單位對(duì)應(yīng)不同的空間位置，則都可以減少數(shù)碼的使用（其中，計(jì)數(shù)單位使得比計(jì)數(shù)單位大的數(shù)可以用計(jì)數(shù)單位和較小的數(shù)組合表示，位置表示使得計(jì)數(shù)單位不需要用專門的數(shù)碼表示）。可見，認(rèn)識(shí)11—20各數(shù)是學(xué)生理解十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)（記數(shù)）法的關(guān)鍵，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)（表示）更大的數(shù)的基礎(chǔ)。其教學(xué)需要通過現(xiàn)實(shí)與歷史交融的各種計(jì)數(shù)與記數(shù)活動(dòng)，幫助學(xué)生充分體會(huì)上述計(jì)數(shù)與記數(shù)思想。

二、教學(xué)過程

（一）數(shù)10個(gè)以內(nèi)的商品，初步體會(huì)“整體計(jì)數(shù)”的進(jìn)制思想

師（出示超市場(chǎng)景圖）王阿姨在超市做理貨員。國慶節(jié)到了，有很多貨架需要整理，王阿姨請(qǐng)大家來幫忙。不要小看整理貨架，這可是非常考驗(yàn)人的工作，我們一起來挑戰(zhàn)一下吧?。ǔ鍪緢D1）請(qǐng)你數(shù)一數(shù)這里分別有幾顆草莓、幾顆櫻桃、幾根香蕉、幾顆葡萄，并說一說你是怎樣數(shù)的。

生草莓一顆一顆地?cái)?shù)，有5顆。

生櫻桃兩顆兩顆地?cái)?shù)，有8顆。

生香蕉三根三根地?cái)?shù)，有9根。

生葡萄五顆五顆地?cái)?shù)，有10顆。

師比較這些數(shù)的方法，有什么不同的地方？

生除了一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，還可以幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)。

師沒錯(cuò)！生活中，除了一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，也就是按個(gè)計(jì)數(shù)，還可以幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)，也就是把幾個(gè)看成一個(gè)整體或者一群，按整體或者按群計(jì)數(shù)。那么，這樣數(shù)有什么好處？

生數(shù)得比較快。

師不錯(cuò)。對(duì)此，相信同學(xué)們?cè)趧偛艛?shù)商品的過程中已經(jīng)體會(huì)到了。不過，這樣數(shù)有什么條件嗎？

生要能準(zhǔn)確地看出幾個(gè)。

師是的。不僅要準(zhǔn)確，而且要快速地看出幾個(gè)。也就是說，最好不要數(shù)，直接就能看出一個(gè)整體或一群中有幾個(gè)。同時(shí)，要把各個(gè)整體或各群區(qū)分清楚。（指著圖1中的櫻桃）比如，這兩個(gè)櫻桃和這兩個(gè)櫻桃就區(qū)分得很清楚，一下子能看出。

［說明：創(chuàng)設(shè)超市理貨的情境，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)?；趯W(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式數(shù)具有不同擺放特點(diǎn)的多種商品的個(gè)數(shù)，從中初步體會(huì)“整體計(jì)數(shù)”的進(jìn)制思想。］

（二）數(shù)10根以上的小棒，進(jìn)一步體會(huì)“按十計(jì)數(shù)”的十進(jìn)制思想

師（出示圖2）還記得我們之前認(rèn)識(shí)10的時(shí)候，教材中給出了這樣的“想想做做”嗎？當(dāng)時(shí)，有同學(xué)問：數(shù)出10根后，為什么要捆成1捆？現(xiàn)在，你覺得是為什么呢？

生讓我們一眼就能看出這是一個(gè)整體，這里有10根。

師沒錯(cuò)。這樣就方便我們數(shù)出更大的數(shù)了。下面，我們來玩一個(gè)拿小棒的游戲，體會(huì)一下按捆數(shù)的好處。老師給你們的學(xué)具盒里，有10根捆成一捆的小棒，也有一根一根散著的小棒。游戲規(guī)則：（1）看數(shù)字拿相應(yīng)數(shù)量的小棒；（2）拿出來就起立；（3）每次拿小棒限時(shí)3秒鐘。

（課件出示“3”，所有學(xué)生都在3秒鐘內(nèi)拿出3根小棒并起立。課件出示“5”，所有學(xué)生都在3秒鐘內(nèi)拿出5根小棒并起立。課件出示“12”，部分學(xué)生沒在3秒鐘內(nèi)拿出12根小棒。）

師沒拿出來的同學(xué)遇到了什么麻煩？

生12根太多了，3秒鐘太短了，來不及數(shù)……

師那我們來聽一聽成功拿出來的同學(xué)是怎么做的。

生只要拿出1捆和2根就可以了。

師你是怎么想到直接拿出1捆的呢？

生因?yàn)檫@里的1捆是10根，12根比10根多2根，所以先拿1捆，再補(bǔ)拿2根，合起來就是12根了。

師很好！有了1捆小棒，拿12根小棒是不是就方便多了？請(qǐng)你再用這樣比較方便的方法拿14根小棒吧。

（學(xué)生操作，交流反饋。）

師以前，我們是一根一根地?cái)?shù)小棒的，計(jì)數(shù)單位是一?，F(xiàn)在，我們一下子數(shù)出1捆小棒，計(jì)數(shù)單位是多少？

生1捆。

師1捆是幾根？

生10根。

師所以，計(jì)數(shù)單位是十。那么，計(jì)數(shù)單位一和計(jì)數(shù)單位十之間有什么關(guān)系？

生10個(gè)一就是1個(gè)十。

師（板書：10個(gè)一→1個(gè)十）現(xiàn)在請(qǐng)你數(shù)出10根小棒，捆成1捆，體會(huì)10個(gè)一和1個(gè)十的關(guān)系。

（學(xué)生數(shù)、捆。）

師（出示圖3）現(xiàn)在請(qǐng)你說一說12是怎樣構(gòu)成的。

生1個(gè)十和2個(gè)一合起來是12。

［說明：整體計(jì)數(shù)是理解十進(jìn)位值制記數(shù)法，認(rèn)識(shí)11-20各數(shù)的關(guān)鍵之一，也是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。在數(shù)10個(gè)以內(nèi)的多種商品的基礎(chǔ)上，基于學(xué)生認(rèn)識(shí)10時(shí)將10根小棒捆成1捆的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)數(shù)出10根以上的小棒，從而充分體會(huì)以10為整體（計(jì)數(shù)單位）計(jì)數(shù)的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，初步體會(huì)十進(jìn)制的思想與應(yīng)用。］

（三）從現(xiàn)實(shí)到歷史，了解十進(jìn)制的來歷

師通過剛才的數(shù)數(shù)活動(dòng)，我們知道：整體計(jì)數(shù)很重要，尤其是在數(shù)比較大的數(shù)時(shí)。在整體計(jì)數(shù)時(shí)，我們可以把2個(gè)、3個(gè)、5個(gè)、10個(gè)乃至其他個(gè)數(shù)看成一個(gè)整體。不過，相比而言，我們更經(jīng)常把10個(gè)看成一個(gè)整體。你們能找一找自己生活中遇到的把10個(gè)看成一個(gè)整體的情況嗎？

生我家買的手帕紙，一條里面有10包。

生我買的發(fā)卡，一袋里面有10個(gè)。

……

師只要留心觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們身邊的“十”有很多。其實(shí)，只要比較一下10的寫法和0、1、2……9的寫法的不同，即不再用新的符號(hào)，而是用原有的“1”和“0”組合表示，就能發(fā)現(xiàn)：我們?cè)趯懓⒗當(dāng)?shù)字時(shí)，也是把10個(gè)看成一個(gè)整體的，這就是十進(jìn)制。那么，人們?yōu)槭裁磿?huì)采用十進(jìn)制呢？其實(shí)，人類歷史上采用過很多種進(jìn)制，如二進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、十六進(jìn)制、六十進(jìn)制，有些進(jìn)制現(xiàn)在還在使用。不過，人類采用得最多的還是十進(jìn)制。究其原因，我們有10根手指，用手指數(shù)數(shù)很方便，但數(shù)到10個(gè)就必須重新再數(shù)，慢慢地就習(xí)慣把10看成一個(gè)整體，采用十進(jìn)制了。

（出示原始人打獵后數(shù)獵物的場(chǎng)景圖，引導(dǎo)學(xué)生每數(shù)1個(gè)獵物就伸1根手指，伸完10根手指后就把已經(jīng)數(shù)過的10個(gè)獵物捆成1捆，然后數(shù)剩下的獵物，重新伸手指。）

［說明：整體計(jì)數(shù)是簡(jiǎn)化計(jì)數(shù)過程的重要思想，但是普遍以10為整體計(jì)數(shù)，即采用十進(jìn)制，是與人類生理特點(diǎn)有一定關(guān)系的“偶然”選擇。重現(xiàn)原始人打獵后數(shù)獵物的場(chǎng)景，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷十進(jìn)制誕生的過程，充分理解十進(jìn)制的合理性。］

（四）從計(jì)數(shù)到記數(shù)，感悟“直觀表示”的位值思想

師手指只有10根，數(shù)數(shù)時(shí)需要重復(fù)使用，所以不太方便把數(shù)過的數(shù)記錄下來，尤其是想統(tǒng)計(jì)一段時(shí)間內(nèi)打的獵物的總數(shù)時(shí)，便需要把每天打的獵物的數(shù)量記錄下來。對(duì)此，可以用什么代替手指？

生小石子、小棒……

師沒錯(cuò)，還有刻痕、結(jié)繩等方法。這些東西或方式不受數(shù)量限制，而且，每數(shù)10個(gè)也可以湊成一個(gè)整體。比如，小石子可以堆成1堆，形成一個(gè)整體；小棒可以捆成1捆，形成一個(gè)整體。而且，還可以把1堆小石子換成1個(gè)大石子，把1捆小棒換成1根大棒。不過，古人慢慢發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)的數(shù)越來越大，需要再次把一些整體看成一個(gè)更大的整體，那么記錄的時(shí)候，小石子堆或小棒捆，大石子或大棒，就越來越大，因此材料找起來、用起來都越來越不方便。那么，怎樣更方便地記錄一與十乃至更大的計(jì)數(shù)單位呢？

（學(xué)生思考。）

師（出示圖4）可以用1個(gè)大石子表示1個(gè)十，用1個(gè)小石子表示1個(gè)一。但如果沒有大石子，或者說兩個(gè)石子一樣大，怎么辦？想想我們的計(jì)數(shù)器或者算盤是怎么做的。

生（恍然大悟）用不同的位置表示不同的計(jì)數(shù)單位。

師很好！這就是位值制的思想。我們使用的阿拉伯?dāng)?shù)字也是這么表示計(jì)數(shù)單位的。（出示數(shù)位表）在整數(shù)中，從小到大的數(shù)位是從右到左依次排列的：第一位是“個(gè)位”，個(gè)位上的“1”表示1個(gè)一；第二位是“十位”，十位上的“1”表示1個(gè)十。

［說明：繼續(xù)沿著歷史的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生感受位值制因?yàn)橛洈?shù)及其進(jìn)一步簡(jiǎn)化的需要而誕生的自然發(fā)展過程，初步建立數(shù)位的概念，完成十進(jìn)位值制記數(shù)法另一個(gè)要點(diǎn)的學(xué)習(xí)。］

（五）估10個(gè)以上的事物，感受“整體比較”的思想延伸

師（出示圖5）超市里掛著好吃的蝦條。數(shù)一數(shù)，第一排有多少包蝦條？

生（數(shù)后）10包。

師猜一猜，第二排有多少包？第三排有多少包？

生第二排比第一排多一點(diǎn)，大約12包；第三排比第二排又多一點(diǎn)，大約15包。

師（出示兩摞數(shù)學(xué)書，一摞10本，另一摞15本）第一摞10本，你估計(jì)第二摞大約多少本？

生15本。

師你是怎么估計(jì)的？

生第二摞比第一摞高大約一半。

師比畫一下，20本大約能摞多高？

（學(xué)生比畫、交流。）

師（出示圖6）先估一估，再數(shù)一數(shù)。

（學(xué)生說出了從9到19的各種答案。）

師為什么現(xiàn)在沒有剛才估計(jì)得準(zhǔn)確了？

生沒有10了。

師是的，沒有10這個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)了。我們可以先圈出10個(gè)草莓。（在課件上操作）現(xiàn)在你能估計(jì)了嗎？

生不用估計(jì)，能看出來了，14個(gè)。

……

［說明：認(rèn)數(shù)，不僅要精確地?cái)?shù)，而且要大概地估。大概地估有利于進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感，有著很高的實(shí)用價(jià)值——現(xiàn)實(shí)中，有時(shí)更看重做事的效率，而非結(jié)果的精確性。同時(shí)，精確地?cái)?shù)是大概地估的基礎(chǔ)。有了相對(duì)精確的結(jié)果作為參考，估計(jì)的結(jié)果才更合理和可靠。這里，教師設(shè)計(jì)一定的參考數(shù)量，讓學(xué)生通過比較，估計(jì)其他數(shù)量。這不僅能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)估計(jì)，而且能通過從整體計(jì)數(shù)到整體比較的拓展，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)整體思想的運(yùn)用。其中，對(duì)棒棒糖的估計(jì)，因?yàn)闆]有給出具體情況，所以倒逼學(xué)生不能數(shù)，只能估。］