趙鴻，趙瑞生

摘要：“學(xué)生主體”理念已被廣大一線教師接受，但在教學(xué)實(shí)踐中存在簡單化的現(xiàn)象。對此，需要基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)的“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”理念作出改進(jìn)，包括幫助學(xué)生理解為什么要學(xué)習(xí)新知識，引導(dǎo)學(xué)生辨析新知識和舊知識有什么異同，讓學(xué)生自主選擇理解題意、解決問題的方法等，從而更好地實(shí)現(xiàn)“學(xué)生主體”理念。以“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾”的教學(xué)改進(jìn)為例具體說明。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)生主體；內(nèi)容結(jié)構(gòu)化；多（少）百分之幾

比較《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標(biāo)”）和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的“課程理念”“教學(xué)建議”部分，可以發(fā)現(xiàn)，前者更強(qiáng)調(diào)在教學(xué)活動中以學(xué)生為主體（以教師為主導(dǎo)），讓學(xué)生主動地、富有個性地學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己思考、自己實(shí)踐、親身參與教學(xué)活動；而后者更強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，重視單元整體教學(xué)，強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)以及問題提出，幫助學(xué)生“了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義……關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)……學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣……”。

2011年版課標(biāo)頒布已逾十年，“學(xué)生主體”理念已被廣大一線教師接受，但在教學(xué)實(shí)踐中存在簡單化的現(xiàn)象：從學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出問題，讓學(xué)生自主探索、合作交流（乃至動手實(shí)踐），并在教師的追問與點(diǎn)撥以及總結(jié)與提升下，形成解決問題的思路與方法，進(jìn)而獲取“四基”。這樣的教學(xué)常常會忽視數(shù)學(xué)知識的理性本質(zhì)和結(jié)構(gòu)化特征，忽略知識背后的道理和知識之間的聯(lián)系。而從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，也依然存在著教師主導(dǎo)性過強(qiáng)，導(dǎo)致教學(xué)開放性不夠，學(xué)生探索的主動性不高、理解的程度不深，即主體性不強(qiáng)的問題：畢竟，最初的問題是教師設(shè)計(jì)提出的（甚至是刻意設(shè)計(jì)指向相關(guān)知識的），學(xué)生完全有可能提出的“為什么要學(xué)這個知識”“這個知識和之前所學(xué)的知識有什么不同”等問題則被教師忽視了。因此可以說，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”理念，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)針對性，同時(shí)也是為了更好地實(shí)現(xiàn)“學(xué)生主體”理念，即真正地想學(xué)生之所想。正如波利亞所說的：“讓你的學(xué)生提出問題，要不就像他們自己提問的那樣由你去提出這些問題；讓你的學(xué)生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答?！?/p>

以下便具體呈現(xiàn)一個體現(xiàn)上述課標(biāo)理念變化的教學(xué)改進(jìn)案例，并進(jìn)一步闡發(fā)幾點(diǎn)教學(xué)啟示。

一、教學(xué)案例

（一）常見教學(xué)的診斷

“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第六單元《百分?jǐn)?shù)》例6的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)習(xí)這個內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)初步理解了百分?jǐn)?shù)的意義，并會解答“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”的問題。學(xué)習(xí)這個內(nèi)容，需要理解情境中“誰比誰多百分之幾”的實(shí)際意義，并把新的問題轉(zhuǎn)化為“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”的問題，進(jìn)而探索解題思路與方法。因?yàn)榫€段圖具有直觀作用，所以在教學(xué)中，不少教師出示教材例題后，讓學(xué)生先畫圖表示題意，分析“誰比誰多百分之幾”的數(shù)量關(guān)系，再列式解答，然后展示交流并比較不同的方法，從而總結(jié)解決這類問題的思路與方法。例如以下教學(xué)片段：

師（出示教材例題：“東山村去年原計(jì)劃造林16公頃，實(shí)際造林20公頃。實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多百分之幾？”）你會畫圖表示題中的條件和問題嗎？

（學(xué)生嘗試后，全班交流，得到圖1所示的線段圖。）

師你會列式解答嗎？試一試。

（學(xué)生嘗試后，小組交流。教師巡視、指導(dǎo)，并收集要展示的素材。）

師［展示算式及其結(jié)果：（20－16）÷16=4÷16=25%］有同學(xué)這樣列式計(jì)算，請說出你的思考過程。

生我先算出實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多4公頃，再用多的4公頃除以原計(jì)劃造林面積，算出實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多25%。

師為什么要用16做除數(shù)？誰來解釋？

生“實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多百分之幾”可以理解為“實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多的部分占原計(jì)劃造林面積的百分之幾”，即多的部分跟原計(jì)劃比較，把原計(jì)劃造林面積當(dāng)作單位“1”，所以要用16做除數(shù)。

師（展示算式及其結(jié)果：20÷16－1=125%－1=25%）還有同學(xué)這樣列式計(jì)算，請說出你的思考過程。

生我把原計(jì)劃造林面積看作單位“1”，先算出實(shí)際造林面積是原計(jì)劃的125%，再用125%減去1，得到實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多25%。

師這里為什么也用16做除數(shù)？

生求實(shí)際造林面積比原計(jì)劃多百分之幾，先算出實(shí)際造林面積是原計(jì)劃的百分之幾，再減去原計(jì)劃的單位“1”，仍然是把原計(jì)劃造林面積看作單位“1”，所以也用16做除數(shù)。

師比較這兩種方法，有什么不同？有什么相同？

生用來比較的兩個量不同：第一種是用實(shí)際多的跟原計(jì)劃比較，所以先算差，再求商；第二種是直接用實(shí)際跟原計(jì)劃比較，所以先求商，再算差。

生不同在計(jì)算方法：第一種是“多的數(shù)÷單位‘1=多百分之幾”，第二種是“實(shí)際÷單位‘1－1=多百分之幾”。

生相同點(diǎn)是，都把原計(jì)劃造林面積看作單位“1”，都要求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

師根據(jù)比較的量的不同，得出兩種方法。不管用哪種方法，都要求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，其中，單位“1”的量做除數(shù)。

這里，教師直接呈現(xiàn)教材例題，按照“畫、試、議、評”四個環(huán)節(jié)組織教學(xué)。表面上看，學(xué)習(xí)效果不錯，但進(jìn)一步分析，可以發(fā)現(xiàn)以下不足：（1）為什么要學(xué)習(xí)“誰比誰多百分之幾”？學(xué)生無法回答。（2）小學(xué)數(shù)學(xué)中，比較兩個數(shù)量，結(jié)果有多種表示方法，如多或少多少、幾倍、幾分之幾、百分?jǐn)?shù)、比等?！罢l比誰多百分之幾”與它們相比，不同在哪里？學(xué)生還是一頭霧水。

由此可見，這樣的教學(xué)只是簡單地表現(xiàn)出“學(xué)生主體”理念，即讓學(xué)生的自主探索、合作交流占據(jù)教學(xué)主要的時(shí)空，成為課堂的基本樣態(tài)，仍然需要基于“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”理念作出改進(jìn)。

（二）改進(jìn)教學(xué)的分析

基于教學(xué)診斷，我們對上述教學(xué)片段做了如下改進(jìn)：

師（出示自設(shè)情境：學(xué)校測試“一分鐘跳繩”，小明九月份的成績是65個，十月份是100個，十一月份是135個）小明非常高興，因?yàn)橥ㄟ^努力，他每個月的成績都在增長。如果要分析他的成績增長情況，你可以提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生十月份比九月份增加了多少個？十一月份比十月份增加了多少個？

師這兩個問題是求差，能反映小明跳繩成績的增長情況。怎么列式求解？結(jié)果分別是多少？

生100-65=35（個），135-100=35（個）。小明“一分鐘跳繩”的成績每個月都在原來的基礎(chǔ)上增加35個。

師從“差”的角度看，小明的跳繩成績在穩(wěn)步增長。你還能提出反映小明跳繩成績變化的問題并列式求解嗎？

生十月份的成績是九月份的百分之幾？十一月份的成績是十月份的百分之幾？算式分別是：100÷65≈154%，135÷100=135%。

師從“商”的角度看，小明的跳繩成績并不是穩(wěn)步增長的：十月份的成績是九月份的154%，十一月份的成績是十月份的135%，十一月份的增長率要比十月份的增長率低。（稍停）比較這兩組問題，有什么不同？

生求多多少用減法計(jì)算，求誰是誰的百分之幾用除法計(jì)算。

生求多多少算的是“增加量”，求誰是誰的百分之幾算的是和“原有基數(shù)”的比。

生求多多少關(guān)注“增加量”，沒有考慮“原有基數(shù)”；求誰是誰的百分之幾關(guān)注“原有基數(shù)”，沒有考慮“增加量”。

師這兩種比較方法各有利弊。如果把兩者結(jié)合起來刻畫跳繩成績的增長，可以提出什么問題？

生十月份比九月份增加百分之幾？十一月份比十月份增加百分之幾？

生九月份比十月份減少百分之幾？十月份比十一月份減少百分之幾？

師我們先來解決“十月份比九月份增加百分之幾？”這個問題。自己試試看。

（學(xué)生自主嘗試解決問題，小組交流解題思路，然后選取典型方法展示。教師評價(jià)、指導(dǎo)。）

師比較兩個數(shù)量，方法很多，可以用差，也可以用商（包括幾倍、幾分之幾、百分?jǐn)?shù)、比等）來表示，為什么還要學(xué)多（少）百分之幾呢？

生比較兩個數(shù)量，用差表示，只能看出“增加量”；用商表示，只能看出比較量和標(biāo)準(zhǔn)量之間比的關(guān)系，其中，“幾倍”是比值大于1的情況，“幾分之幾”是比值小于1的情況，“幾倍”“幾分之幾”和“比”都可以用百分?jǐn)?shù)表示；而用多（少）百分之幾表示，能看出增加量（減少量）和標(biāo)準(zhǔn)量之間比的關(guān)系。

生多（少）百分之幾的好處是，能刻畫變化率。先求增加量（減少量），再與標(biāo)準(zhǔn)量相比，能看出增加（減少）的幅度。

師很好！通常，求多（少）百分之幾涉及兩種運(yùn)算，即減法運(yùn)算和除法運(yùn)算。減法運(yùn)算求變化量，除法運(yùn)算求相對變化率。相對變化率能刻畫變化的幅度，在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，如“增長百分之幾”“降低百分之幾”“節(jié)約百分之幾”等。

這樣的教學(xué)改進(jìn)，充分體現(xiàn)了“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”理念。

首先，幫助學(xué)生理解為什么要學(xué)習(xí)新知識。與“造林面積”問題相比，“一分鐘跳繩”的情境不僅更接近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，而且把提出問題的機(jī)會留給了學(xué)生，從而更易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，促進(jìn)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)。在提出并解決與跳繩成績變化有關(guān)的各種問題的過程中，學(xué)生復(fù)習(xí)了“求一個數(shù)比另一個數(shù)多多少”和“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”，并在比較中認(rèn)識到“求一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾”的意義和價(jià)值（既考慮了增加量，又關(guān)注了原有基數(shù)），即本節(jié)課要學(xué)的新知識的優(yōu)勢所在，從而理解了學(xué)習(xí)新知識的道理。

其次，引導(dǎo)學(xué)生辨析新知識和舊知識有什么異同?？絾栔R本質(zhì)（把握知識結(jié)構(gòu)），既可以在歷史脈絡(luò)中尋覓知識的產(chǎn)生與來源，也可以在相近知識中辨析知識的聯(lián)系與區(qū)別。改進(jìn)后的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生充分比較舊知識“求一個數(shù)比另一個數(shù)多多少”“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”與新知識“求一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾”以及它們的各種表現(xiàn)形式的異同，認(rèn)識到它們分別是用減法求相差關(guān)系、用除法求倍比關(guān)系、同時(shí)用減法和除法求相差關(guān)系和倍比關(guān)系，都可用來描述兩個數(shù)量的關(guān)系或一個數(shù)量的變化，各有一些優(yōu)勢。從而，幫助學(xué)生把握知識本質(zhì)，完善知識結(jié)構(gòu)。

最后，讓學(xué)生自主選擇分析題意、解決問題的方法。解決問題（獲得知識）的過程與方法也是重要的教學(xué)內(nèi)容。對此，應(yīng)該盡可能放手讓學(xué)生在自主思考與探索中選擇與嘗試，從而充分利用學(xué)生的個體差異，生成豐富的教學(xué)資源，進(jìn)而幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識。改進(jìn)后的教學(xué)，不再要求所有學(xué)生畫圖理解題意、分析數(shù)量關(guān)系，不再限制學(xué)生的思考與探索。在教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)：部分學(xué)生畫圖分析數(shù)量關(guān)系，部分學(xué)生直接根據(jù)抽象的語義邏輯分析數(shù)量關(guān)系。在后續(xù)的交流評價(jià)中，學(xué)生相互借鑒解題方法，在“吃一塹，長一智”（“我怎么沒想到還可以這樣做”）的自主體驗(yàn)（而非外界強(qiáng)制）中，自然形成各種策略意識。

二、幾點(diǎn)啟示

上述教學(xué)改進(jìn)案例啟示我們，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該通過“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”更好地實(shí)現(xiàn)“學(xué)生主體”，具體需做到以下三個方面的轉(zhuǎn)變：

（一）依據(jù)知識的“本體形態(tài)”，實(shí)現(xiàn)從“是什么”到“為什么”的轉(zhuǎn)變

任何數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、定理等知識都不是憑空冒出來的，都有自然的發(fā)生、發(fā)展過程。這就是數(shù)學(xué)知識的“本體形態(tài)”，說明了數(shù)學(xué)知識的“為什么”。數(shù)學(xué)教學(xué)不能“掐頭去尾燒中段”，而要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的完整過程；要將書本知識“解壓”，使其恢復(fù)到原本的鮮活狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生“重蹈人類思維發(fā)展中的那些關(guān)鍵步子”，“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識。蘇霍姆林斯基教導(dǎo)我們：“孩子學(xué)習(xí)知識的主要動力不是像成人那樣付出智力努力，他們學(xué)習(xí)愿望的源泉在于思想的情感色彩，在于理性的體驗(yàn)。如果這個源泉枯竭了，任你用什么辦法也不可能讓他們坐下來念書?！睆摹笆鞘裁础钡健盀槭裁础保忍剿髦R的表象，更探索知識的本質(zhì)；既探索知識的結(jié)果，更探索知識的過程。

（二）依據(jù)知識的“整體形態(tài)”，實(shí)現(xiàn)從“點(diǎn)狀教學(xué)”到“網(wǎng)狀教學(xué)”的轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)知識之間有著密切的聯(lián)系，構(gòu)成一個整體系統(tǒng)。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維發(fā)展規(guī)律，以及課堂的教學(xué)形式，數(shù)學(xué)教材通常為了分解難點(diǎn)、夯實(shí)基礎(chǔ)，以及凸顯主題，把系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識按學(xué)段、單元、課時(shí)編成一個個知識點(diǎn)，形成一道道例題。這導(dǎo)致一些教師在課堂教學(xué)中，忽視知識之間的聯(lián)系，只關(guān)注本節(jié)課的知識點(diǎn)，片面、孤立地采取“點(diǎn)狀教學(xué)”。這樣的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的被動和乏味，以及認(rèn)知的割裂和膚淺。而“網(wǎng)狀教學(xué)”是關(guān)注知識之間的聯(lián)系，依賴結(jié)構(gòu)化意識、思路和方法的教學(xué)，能促使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，思維能力有效發(fā)展。因此，教師在課堂教學(xué)中，要瞻前顧后，從全局的高度，理清知識之間的關(guān)聯(lián)，把每節(jié)課看成整體中的一個局部，引導(dǎo)學(xué)生在整體結(jié)構(gòu)中理解新的知識，同時(shí)主動地將新的知識和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)科教學(xué)對于學(xué)生發(fā)展的獨(dú)特價(jià)值。

（三）依據(jù)學(xué)生的“差異形態(tài)”，實(shí)現(xiàn)從“統(tǒng)一要求”到“多元互動”的轉(zhuǎn)變

“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”的教學(xué)也應(yīng)該以學(xué)生為主體，更應(yīng)該善于利用學(xué)生面對同樣的學(xué)習(xí)材料和任務(wù)時(shí)學(xué)習(xí)活動表現(xiàn)的差異，實(shí)現(xiàn)更充分的“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”。為此，教師呈現(xiàn)和布置的學(xué)習(xí)材料和任務(wù)應(yīng)該具有更大的包容性和開放性，要給學(xué)生的思考、探索以更大的空間和自由，讓學(xué)生的各種學(xué)習(xí)活動表現(xiàn)迸發(fā)出來。然后，組織學(xué)生進(jìn)行各種想法與觀點(diǎn)的交流互動，讓學(xué)生在質(zhì)疑、解釋、比較、辨析中，在教師的引導(dǎo)和自我的“回顧反思—認(rèn)知沖突—認(rèn)知再平衡”中，取長補(bǔ)短，融會貫通，發(fā)展、完善自己的認(rèn)知和思維。