顧 晨

（江蘇省昆山高新區(qū)吳淞江學(xué)校，江蘇 昆山 215300）

小學(xué)時(shí)期的學(xué)生正處于形象性思維階段，而數(shù)學(xué)學(xué)科是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，具有較強(qiáng)的抽象性特點(diǎn)，這時(shí)的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)遇到難題。數(shù)形結(jié)合是連接形象思維與抽象思維的橋梁。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，可以將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系借助具象的圖形進(jìn)行解讀。教師在教學(xué)過程中可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，將抽象思維和形象思維相結(jié)合拓展學(xué)生思路，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)解題程序，有效降低學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，讓學(xué)生更快、更好地理解掌握抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想是將數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系與空間二者結(jié)合起來(lái)，對(duì)其進(jìn)行考察思考的一種認(rèn)知學(xué)習(xí)的思維方式。數(shù)學(xué)科學(xué)中有兩個(gè)最基本的概念，一是“數(shù)”一是“形”，它們二者保持著相對(duì)對(duì)立而又和諧統(tǒng)一的關(guān)系。數(shù)學(xué)幾何圖形中往往可以表現(xiàn)出它們的形狀、位置和大小之間的數(shù)量關(guān)系。而這種數(shù)量之間的關(guān)系，也可以通過幾何圖案直觀、形象地反映。比如，以“圓面積的公式推導(dǎo)”為例，理解較難的公式推導(dǎo)S=πr2，如果借助“數(shù)形結(jié)合”，將一件件教具擺在學(xué)生面前，再輔以現(xiàn)代信息技術(shù)的課件演示，將整個(gè)圓切分開來(lái)，拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形。切分的份數(shù)越多，則越接近長(zhǎng)方形。當(dāng)切分至無(wú)限多時(shí)，就形成一個(gè)方方正正的長(zhǎng)方形。這時(shí)再讓學(xué)生由學(xué)過S長(zhǎng)方形=長(zhǎng)×寬，就可以得到S圓=πr2。這樣清晰地由“形”抽象出“數(shù)”。

由此可見，數(shù)形結(jié)合基本概念就是將抽象的數(shù)理邏輯思維與形象直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，抽象思維與形象思維巧妙聯(lián)結(jié)。學(xué)生在解答代數(shù)習(xí)題時(shí)，可以從相應(yīng)的幾何圖形得到啟發(fā)，通過形象思維找到解題的途徑。反之，也可以在探求圖形類的問題時(shí)，利用代數(shù)方法加以解答。這種互通互換的思路，將抽象思維與形象思維融為一體，將難題簡(jiǎn)化，將抽象的問題變?yōu)樾蜗蟮膯栴}，這樣對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展具有重要的意義。

二、數(shù)形結(jié)合思想在課堂教學(xué)中應(yīng)用的意義

（一）數(shù)形結(jié)合，有利于降低學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度

數(shù)學(xué)作為一門邏輯思維很強(qiáng)的學(xué)科，致使許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程抱有深深的畏難心理，他們覺得數(shù)學(xué)內(nèi)容太抽象，數(shù)學(xué)教材太難學(xué)。抽象的數(shù)學(xué)公式令他們難以理解，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題使他們退避三舍，敬而遠(yuǎn)之。如果教師在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以使原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得具象可感，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中更容易走進(jìn)數(shù)學(xué)，讓枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)內(nèi)容顯得不那么晦澀難懂，思考問題也變得更形象、直觀了。這樣無(wú)疑可以有效拓展小學(xué)生的解題思路，簡(jiǎn)化解題過程，幫助他們減少對(duì)數(shù)學(xué)課程的畏難情緒，極大地降低學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度。

（二）數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生巧解實(shí)際難題

數(shù)學(xué)科學(xué)是一門探究數(shù)量的關(guān)系和空間形式的學(xué)問。簡(jiǎn)而言之，就是研究自然界中的“數(shù)”與“形”之間關(guān)系的學(xué)問。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生在解決問題的過程中，將生活中抽象的數(shù)量關(guān)系和具象的幾何圖形有機(jī)聯(lián)系，將學(xué)生們的所學(xué)與其所見有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，將他們的所見與所思有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，以強(qiáng)化小學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，對(duì)舊知識(shí)的溫習(xí)、鞏固。這樣，就可以讓小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以逐步提升，使小學(xué)生解決問題的能力穩(wěn)步提高?？梢?，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想，有利于他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題的時(shí)候取得事半功倍之效。

（三）數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)隨著學(xué)段的逐步升高，小學(xué)生會(huì)陸續(xù)接觸到很多計(jì)算公式和運(yùn)算律。有些公式如果僅僅只是靠學(xué)生的機(jī)械記憶，死記硬背后的他們始終難以真正掌握，知其然卻不知其所以然，容易遺忘。而如果教師利用數(shù)形結(jié)合的方法，引導(dǎo)學(xué)生由形到數(shù)一步一步呈現(xiàn)公式的推導(dǎo)，整個(gè)過程直觀、形象、清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，就會(huì)使學(xué)生對(duì)公式的理解與掌握便顯得清晰、容易起來(lái)。這是因?yàn)閱渭冇蓴?shù)字、字母與符號(hào)組合而成的數(shù)學(xué)公式，學(xué)生難記、難用、難理解，而利用圖形輔助公式的推導(dǎo)，公式便具體、鮮活起來(lái)，便于學(xué)生理解、掌握和記憶。

三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用途徑

（一）以形輔數(shù)，建立數(shù)感——幫助學(xué)生理解

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。所謂“數(shù)感”指的是人們對(duì)數(shù)學(xué)的感覺、感受乃至感情。簡(jiǎn)而言之，數(shù)感是人們理解數(shù)字、理解數(shù)學(xué)、理解抽象和具象之間關(guān)系的能力，是對(duì)數(shù)字與數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估算等方面的感悟。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施過程中，如果小學(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂上僅僅只是利用數(shù)字或其數(shù)量關(guān)系給學(xué)生講解，這樣往往會(huì)使學(xué)生們難以理解。如果巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法——以形象輔助數(shù)字，“以形輔數(shù)”，可以幫助學(xué)生形成良好的數(shù)感?！耙孕屋o數(shù)”是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中借助具體的幾何圖形將教材中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)加以具體化、直觀化，讓學(xué)生們便于理解，而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的途徑很多，一般可以采用聯(lián)系生活實(shí)際方法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。教師在數(shù)學(xué)課堂上可以用學(xué)生感興趣的生活問題吸引他們的注意力，使他們?cè)谂f知與新知之間建立起橫向聯(lián)系，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題。

例如，《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》是蘇教版三年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，主要是對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行大小比較。因?yàn)榇藭r(shí)學(xué)生剛剛接觸到分?jǐn)?shù)，由于受到“前攝抑制”的影響，學(xué)生會(huì)用比較整數(shù)大小的方法比較分?jǐn)?shù)。如在比較和兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小的時(shí)候，一般都會(huì)認(rèn)為大于；依據(jù)是4 比2 大。如果教師這時(shí)直接告知大家，要用“分子都是1 的情況下，分母越大，分?jǐn)?shù)值就越小”這條定律進(jìn)行比較，因此比大。這樣的教學(xué)方法就是讓學(xué)生死記硬背。這種機(jī)械化記憶法，不利于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)新知，也使學(xué)生難以靈活地運(yùn)用。對(duì)此，教師應(yīng)摒棄傳統(tǒng)教法，采用數(shù)形結(jié)合的方法教學(xué)。即利用兩個(gè)大小相同的圓片分一分、剪一剪，比一比。這時(shí)就可以使學(xué)生很直觀、很形象地感受有多大，又是多大，順理成章地得出大于的正確答案。至此，教師再讓學(xué)生們用剛才相同的方法自行比較與的大小，得出正確答案后，繼續(xù)比較與的大小。這樣，一步步地比較，一步步地深入，不僅讓學(xué)生們生動(dòng)、形象地理解了分子同是1 的分?jǐn)?shù)之間大小的比較方法，而且還有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯思維能力和空間想象能力，與此同時(shí)學(xué)生數(shù)感得以有效培養(yǎng)。

例如，《一億有多大》是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。一般而言，小學(xué)生對(duì)“十、百、千”的數(shù)感還是比較清晰的：一個(gè)班的同學(xué)數(shù)可以十計(jì)，一個(gè)年級(jí)學(xué)生可以百計(jì)，一個(gè)學(xué)校的學(xué)生數(shù)以千計(jì)，但超過萬(wàn)以及億的數(shù)，則遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了小學(xué)生的感知范圍，學(xué)生對(duì)這些數(shù)的認(rèn)識(shí)就顯得較抽象甚至模糊了。教師在課堂上可以讓學(xué)生聯(lián)系自己熟悉的生活進(jìn)行探索和感知，以形象地感知一億這個(gè)數(shù)字的大小。具體做法是讓學(xué)生以自己的數(shù)學(xué)課本為參照物進(jìn)行比較觀察：一本數(shù)學(xué)書約50 頁(yè)，兩本數(shù)學(xué)書是100 張紙的厚度，20本數(shù)學(xué)書厚度約1000 張紙厚，即10 厘米；由此再推算出1 億張紙層疊起來(lái)的厚度約1 萬(wàn)米，比世界最高峰珠穆朗瑪峰（8844.43m）還要高一些。這樣，學(xué)生對(duì)一億這個(gè)不常用數(shù)的感知，就從抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化為具體可感的一張紙、一本書、一座山峰常用數(shù)的感知了。

教師利用學(xué)生熟悉的生活，幫助他們構(gòu)建數(shù)與數(shù)之間大小關(guān)系，從而讓學(xué)生直觀、形象地感受大數(shù)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生對(duì)大數(shù)的數(shù)感。

（二）以數(shù)解形，描述圖形，培養(yǎng)空間觀念

數(shù)學(xué)科學(xué)的空間觀念是由長(zhǎng)、寬、高三個(gè)維度表現(xiàn)出來(lái)的客觀事物給人們的整體的形象。這里的“形”雖然直觀、形象，學(xué)生易懂、好理解，但多多少少也隱含數(shù)學(xué)語(yǔ)言及數(shù)量關(guān)系等一些抽象的成分在內(nèi)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)生借助一定的空間想象力觀察事物。由此可知，觀察是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的最基本、最重要的學(xué)習(xí)方法。小學(xué)生的空間知識(shí)來(lái)源于生活中的原型，其與學(xué)生生活環(huán)境密切關(guān)聯(lián)。教師只有讓學(xué)生認(rèn)真觀察生活中的各種實(shí)物原型，重視生活中一切和空間與圖形有關(guān)的現(xiàn)象，通過視覺感受空間觀念，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中親自動(dòng)手操作，動(dòng)腦感知，通過擺擺、折折、拼拼等觀察、比較活動(dòng)，“以數(shù)解形”才能形成初步的空間觀念。“以數(shù)解形”教學(xué)方法就是運(yùn)用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如數(shù)字、算式等，將其“形”中包含的內(nèi)容表現(xiàn)出來(lái)。借助簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述抽象的圖形，就可以使圖形的表象更清晰、簡(jiǎn)明，可以更好地提升學(xué)生空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

培養(yǎng)空間觀念，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用語(yǔ)言概括描述。如推導(dǎo)長(zhǎng)方體的體積公式時(shí)，教師可以先讓學(xué)生用幾個(gè)體積是1 立方厘米的小正方體擺出不同的長(zhǎng)方體，并將結(jié)果填入表格。再通過表格發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出規(guī)律：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)×寬×高=小正方體的個(gè)數(shù)。這里小正方體的個(gè)數(shù)與拼出的長(zhǎng)方體的體積是相關(guān)的，借此得出長(zhǎng)方體體積也可用“長(zhǎng)×寬×高”進(jìn)行表示。由此可見，學(xué)生通過“以數(shù)解形”動(dòng)手操作，自主觀察過程中推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的體積公式，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主、自能，有效培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

例如，蘇教版六年級(jí)的“平面圖形面積公式推導(dǎo)”教學(xué)中，教師可以準(zhǔn)備相關(guān)學(xué)具讓學(xué)生通過“擺一擺、拼一拼”等活動(dòng)推導(dǎo)出面積公式，如用兩個(gè)完全相等的三角形可拼成一個(gè)平行四邊形。教師設(shè)置問題：①平行四邊形的底和三角形的底是什么關(guān)系？②三角形的高與平行四邊形的高又是什么關(guān)系？③三角形的面積與平行四邊形的面積有什么關(guān)系？順著這條思路，學(xué)生很快就推導(dǎo)出三角形面積公式。學(xué)生通過觀察找出三角形和平行四邊形之間的關(guān)系及三角形面積的計(jì)算公式，借此形成了初步的空間觀念。

（三）數(shù)形融合，拓展解題思路，提高思維能力

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，“數(shù)”與“形”二者互補(bǔ)互立，缺一不可。缺“形”難直觀，缺“數(shù)”難入微。數(shù)學(xué)教師在課堂上要善于將“數(shù)”與“形”二者密切結(jié)合，融會(huì)貫通。由于小學(xué)生的形象思維有余，而抽象思維不足，學(xué)生更擅長(zhǎng)學(xué)習(xí)形象的知識(shí)。借此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)該綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)生解決問題的能力。

例如，蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“用畫圖的策略解決實(shí)際問題”一課的教學(xué)重點(diǎn)是用畫直觀示意圖的方法解決有關(guān)面積計(jì)算的實(shí)際問題。教師在黑板上出示了例題：“小明家的長(zhǎng)方形花圃長(zhǎng)8 米，爸爸把長(zhǎng)度增加3 米后，花圃面積就增加了18 平方米，花圃原來(lái)的面積是多少嗎？”面對(duì)此題，小學(xué)生抽象思維能力不足，根據(jù)例題所給的基本條件，他們難以想到原來(lái)花圃的寬應(yīng)該怎么求。這時(shí)教師如果能夠引導(dǎo)學(xué)生畫出一個(gè)“長(zhǎng)方形花圃”示意圖，接著再將這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度相應(yīng)延長(zhǎng)3 米。在寬度不變的情況下，花圃增加的面積是18 平方米。根據(jù)示意圖，學(xué)生便可迅速算出原來(lái)長(zhǎng)方形的寬是：18÷3=6（米），再根據(jù)面積＝長(zhǎng)×寬的公式求得原來(lái)長(zhǎng)方形的面積為：6×8=48（平方米）?？梢姡瑪?shù)形結(jié)合使原來(lái)例題中的隱形條件變得清晰了，題目的數(shù)量之間關(guān)系也愈加分明。這樣在教學(xué)中數(shù)形融合，有效拓展了學(xué)生的解題思路，他們的思維能力也得以相應(yīng)的提高。

四、結(jié)語(yǔ)

總而言之，教師在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法，可以讓抽象的數(shù)學(xué)概念與知識(shí)變得形象生動(dòng)、具體可感。同時(shí)還可以拓展學(xué)生們的數(shù)學(xué)解題思路，構(gòu)建塑造圖形的思維能力，讓學(xué)生更易理解數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化解題思維與解題技巧，優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。