胡家信 秦海鵬 朱小明

四足機器人腿部結(jié)構(gòu)設(shè)計與分析

胡家信 秦海鵬 朱小明

（長安大學(xué)工程機械學(xué)院，陜西 西安 710064）

為了提高四足機器人的能量密度和在復(fù)雜地形下的機動性，文章設(shè)計了一種具有四自由度的四足機器人單腿結(jié)構(gòu)。首先，參考哺乳動物的腿部仿生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，搭建了四足機器人的單腿三維模型。其次，通過DH模型法，對其進(jìn)行正逆運動學(xué)分析，求解機構(gòu)的正逆運動學(xué)方程。之后，根據(jù)求得的正向運動學(xué)方程，利用matlab對機器人足端的運動空間進(jìn)行分析，繪出足端運動空間云圖。最后，通過速度分析和靜力學(xué)分析，得出機器人各個關(guān)節(jié)的額定轉(zhuǎn)矩，驗證該機構(gòu)的可行性。

四足機器人；結(jié)構(gòu)設(shè)計；運動學(xué)分析；靜力學(xué)分析

引言

隨著人類文明的進(jìn)步，人們在執(zhí)行一些危險性較高、難以執(zhí)行的任務(wù)時，更希望通過機器人代替人們來執(zhí)行，如在抗震救災(zāi)、高空作業(yè)、污染土壤水質(zhì)取樣等許多方面。其中，四足機器人憑借其優(yōu)越的避障能力，高效的機動性，超高的靈活性，越來越受到人們的青睞[1]。然而目前四足機器人的負(fù)載重量較低，速度較慢，其性能有待進(jìn)一步提高，機械腿作為四足機器人的重要基礎(chǔ)部件，決定了四足機器人的核心應(yīng)用性能，當(dāng)前大多數(shù)機械腿在沖擊和推進(jìn)狀態(tài)下的機械強度、能量效率、總功率密度、載重量比等性能指標(biāo)都不理想[2]。為此，本文設(shè)計了一款高機動性和高能量效率的機械腿，旨在解決上述問題。

1 機器人的腿部總體結(jié)構(gòu)設(shè)計

常見的四足機器人的腿部結(jié)構(gòu)主要有關(guān)節(jié)腿和棱柱腿，棱柱腿型的腿部結(jié)構(gòu)顧名思義由諸多連桿相互鉸接而成，腿部結(jié)構(gòu)簡單、輕巧，慣性很小[3]。然而，這種類型的腿由于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)較少而限制了自身的運動性能，這導(dǎo)致了其對地形的適應(yīng)性不足。與棱柱腿相比，關(guān)節(jié)腿采用旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)代替直線棱柱關(guān)節(jié)來實現(xiàn)腿長控制，具有良好的幾何拓?fù)浞律?、更好的運動性能、更大的自穩(wěn)速度域、更寬的腿腳運動空間和更高的能量效率。它在復(fù)雜地形適應(yīng)和障礙物穿越方面顯示出更大的優(yōu)勢。因此，本文采用了關(guān)節(jié)腿的形式，設(shè)計了如圖1所示的四自由度（兩個主動自由度和兩個被動自由度）四足機器人單腿模型。

圖1 四足機器人單腿三維模型圖

圖1中，分別在單腿的髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)設(shè)計了一個主動的轉(zhuǎn)動自由度，用于控制腿部的運動；跖骨桿、大腿桿、小腿桿以及連接桿形成了一個四桿機構(gòu)，使踝關(guān)節(jié)變成了一個被動關(guān)節(jié)，跟隨髖關(guān)節(jié)和大腿關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動；脛骨桿、足端和跖骨桿也是一個四桿機構(gòu)，當(dāng)足端與地面接觸時，足端的位置自動跟隨地面，這樣連接關(guān)節(jié)也將被動確定，因此，足端關(guān)節(jié)也是一個被動自由度。在桿長的確定方面，結(jié)合實際應(yīng)用需求以及四桿機構(gòu)運動原理，選定大腿桿有效長80 mm，小腿桿有效長164 mm，跖骨桿有效長122 mm，連接桿的長度決定了整個機器人腿部能否達(dá)到預(yù)期位置，由于各個關(guān)節(jié)均沒有周轉(zhuǎn)副，雙搖桿機構(gòu)即可滿足需求，選定連接桿的有效長為176 mm。

2 單腿運動學(xué)分析

機器人的運動學(xué)分析就是在不考慮機構(gòu)所受力的情況下，分析系統(tǒng)的運動特性。具體來說就是描述末端執(zhí)行裝置與中間各桿件之間的運動學(xué)關(guān)系，一般可分為兩大類：正向運動學(xué)與逆向運動學(xué)。

正向運動學(xué)就是在已知機器人運動的各桿件的幾何信息和關(guān)節(jié)變量的情況下，將一個個坐標(biāo)系固結(jié)在各個桿件上，最終求解從固定不動的基礎(chǔ)坐標(biāo)系變換到與末端執(zhí)行裝置固結(jié)的坐標(biāo)系的變換過程。反之，所謂逆向運動學(xué)就是在已知從基礎(chǔ)坐標(biāo)系變換到末端執(zhí)行機構(gòu)的坐標(biāo)系的情況下，來求解中間各個關(guān)節(jié)變量[4]。

圖2 正向運動學(xué)與逆向運動學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系圖

本文的符號描述如下：

繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

為了將平移變換和旋轉(zhuǎn)變換結(jié)合起來，可以用齊次變換矩陣綜合表示：

2.1 基于DH模型法的正向運動學(xué)求解

機器人正向運動學(xué)的求解方法的一般方法是DH模型法，即在機器人腿部結(jié)構(gòu)圖上建立DH坐標(biāo)系（如圖3所示），然后將相關(guān)的參數(shù)列于DH Table中，進(jìn)而根據(jù)DH Table中的數(shù)據(jù)，求解齊次變換矩陣，最終列出末端執(zhí)行裝置相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的正向運動學(xué)方程[5]。

圖3 機器人腿部的DH坐標(biāo)系

根據(jù)DH模型法求解過程，將有關(guān)的DH參數(shù)列于表1中，其中，α-1為相鄰兩個Z坐標(biāo)的扭角，a-1為相鄰兩個Z坐標(biāo)的公法線的長度，d為相鄰兩個X坐標(biāo)在Z方向上的距離，θ為相鄰兩個X坐標(biāo)的夾角。

表1 單腿DH參數(shù)表

由坐標(biāo)系變換的鏈?zhǔn)椒▌t，可得出坐標(biāo)系{i-1}到坐標(biāo)系{i}的齊次變換矩陣為：

以上公式中1，2，3均為腿部各個桿件的長度，1，2，3為各關(guān)節(jié)處各個桿件的轉(zhuǎn)角。

2.2 逆向運動學(xué)分析

2.2.1 求解1

令兩式相等，可得：

將上式方程左右兩邊同時平方后，再相加整理可得：

為了求解式（7），可以利用三角代換得式（8），

其中，(,)是2幅角反正切函數(shù)。

將式（8）帶入式（7），并根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的平方和為1的關(guān)系，可得式（9）如下：

于是可令：

化簡后可得到1：

上式中的正負(fù)號分別對應(yīng)兩個1的可能解，可根據(jù)機器人實際位置進(jìn)行取舍。

2.2.2 求解2

令矩陣方程左右兩邊的元素分別對應(yīng)相等可以得到式（12）如下：

之后解法可參照求解1的過程，令式（12）方程左右兩邊同時平方后相加整理化簡后可得下式：

利用三角代換可得：

式中

將式（14）帶入式（13）可得式（16）和（17）如下：

令

上式中，正負(fù)號分別對應(yīng)2的兩個可能解，可根據(jù)機器人實際位置進(jìn)行取舍。

2.3 利用蒙特卡羅法分析足端運動空間

為了能夠更好地分析四足機器人在運動時足端所能達(dá)到的空間，需要對足端進(jìn)行運動仿真分析，以便進(jìn)一步驗證結(jié)構(gòu)設(shè)計時的合理性。足端空間分析在這里選擇的是蒙特卡羅分析法，首先，根據(jù)機器人腿部結(jié)構(gòu)的正向運動學(xué)，選定1，2，3為變量，并確定各個變量的取值范圍：

隨后，為每個變量抽取隨機數(shù)，使變量包含于以上范圍中，并帶入正向運動學(xué)方程，即可求得一個足端在笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)位置。將這個過程重復(fù)1 000 000次，可以得到足端運動空間云圖如圖3所示。

圖3-坐標(biāo)系下的足端運動空間圖

由圖3可知，足端在髖關(guān)節(jié)處的基礎(chǔ)坐標(biāo)系中所能達(dá)到的位置主體大多位于軸之下，且基本關(guān)于坐標(biāo)系對稱，基本符合哺乳動物后腿足端運動的要求。

3 靜力學(xué)分析與額定扭矩計算

為了合理的選擇關(guān)節(jié)處的驅(qū)動器，首先要對四足機器人的腿部進(jìn)行速度分析，得到從笛卡爾坐標(biāo)系映射到關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的雅可比矩陣，其次進(jìn)行靜力學(xué)分析，根據(jù)機器人腿部所受的足端力和足端速度，通過雅可比計算出所需的關(guān)節(jié)力和關(guān)節(jié)速度，據(jù)此選擇合理的關(guān)節(jié)驅(qū)動器。

3.1 速度分析

速度分析是研究機器人運動的基礎(chǔ)，它同運動學(xué)分析一樣，也分為正解和逆解，從關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動速度計算出笛卡爾坐標(biāo)系下的運動速度稱之為速度分析的正解，反之，從笛卡爾坐標(biāo)系下的運動速度計算出關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動速度稱之為速度分析的逆解。

在本此設(shè)計中，髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)是主動自由度，踝關(guān)節(jié)處的運動通過四桿機構(gòu)可以被動確定，因此，速度分析和靜力學(xué)分析時，只需要計算髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)處的速度和所受的外力即可。

圖4 四足機器人速度分析示意圖

此處可令

這里，J為雅可比矩陣。由此，式（21）可以簡化為：

上式便是四足機器人腿部結(jié)構(gòu)速度分析的正解，而速度分析的逆解便是在式（23）等式左右兩邊同時左乘雅可比矩陣的逆，即可得到速度分析的逆解：

3.2 靜力學(xué)分析

機器人的靜力學(xué)分析的是指機器人在靜止或者低速運動的情況下，研究機器人各部分桿件所受的外力或者各桿件之間的相互作用力[6]。本文中，主要根據(jù)機器人所受的足端力來求解各關(guān)節(jié)所需的驅(qū)動力矩。圖5為本文的四足機器人單腿結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)受力分析簡圖。

圖5 四足機器人單腿靜力學(xué)分析圖

根據(jù)圖5所示，四足機器人的足端受到來自地面對其的支撐反力，其大小和方向均已知，方向沿桿方向，其豎直方向上的分力大小等于機器人承受的載荷。為了方便求解膝關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)處所需的驅(qū)動力矩，可以將大腿桿、小腿桿分離出來單獨分析，其受力如圖6所示。

圖6 四足機器人單腿部分結(jié)構(gòu)受力分析簡圖

根據(jù)虛功原理，處于平衡狀態(tài)下的物體總虛功為零，得：

上式方程左右兩邊同時積分并簡化可得：

上式中，J為雅可比矩陣，展開得：

將具體數(shù)據(jù)代入計算可得，假定承載要求為20 kg，在靜止的情況下，單腿的承載能力最大為5 kg，再將足端載荷轉(zhuǎn)換到踝關(guān)節(jié)處可得踝關(guān)節(jié)的受力為3。因此，通過在3左乘雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置可得髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的額定扭矩為：

其中J為雅可比矩陣得轉(zhuǎn)置。

4 結(jié)束語

本文首先根據(jù)實際運用需求確定了機器人腿部的總體結(jié)構(gòu)和大致尺寸，利用solidworks對機器人腿部進(jìn)行三維建模。其次，利用DH模型法對其進(jìn)行正逆運動學(xué)分析，求解機構(gòu)的正逆運動學(xué)方程。之后，根據(jù)求得的正向運動學(xué)方程，利用matlab對機器人足端的運動空間進(jìn)行分析，繪出足端運動空間云圖。最后，對四足機器人單腿進(jìn)行速度分析和靜力學(xué)分析，得出機器人各個關(guān)節(jié)的額定轉(zhuǎn)速和額定轉(zhuǎn)矩。因此，本文對設(shè)計的四足機器人單腿進(jìn)行了充足的理論分析，具有很高的可行性，更好的幾何拓?fù)浞律?，運動性能，更大的自穩(wěn)速度域，更寬的腿腳運動空間和更高的能量效率，它在復(fù)雜地形適應(yīng)和障礙物穿越方面顯示出更大的優(yōu)勢。

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Design and Analysis of Leg Structure of Quadruped Robot

In order to improve the energy density and maneuverability of the quadruped robot in complex terrain, a single-leg structure of the quadruped robot with four degrees of freedom is designed in this paper. Firstly, referring to the mammalian leg bionic topology, a single-leg 3D model of the quadruped robot is built. Secondly, the forward and inverse kinematics of the quadruped robot are analyzed by DH model method, and the forward and inverse kinematics equations of the mechanism are solved. Afterwards, according to the obtained forward kinematics equations, use matlab to analyze the motion space of the robot foot, and draw a cloud map of the foot motion space. Finally, through speed analysis and static analysis, the rated torque of each joint of the robot are obtained to verify the feasibility of the mechanism.

quadruped robot; structural design; kinematics analysis; statics analysis

TP242

A

1008-1151(2022)11-0001-05

2022-08-23

胡家信（1997－），男，長安大學(xué)工程機械學(xué)院在讀碩士研究生，研究方向為機器人控制。