曹 進(jìn)，蔡 勇，李錫瑞，莊 迪

(1. 中國科學(xué)院上海天文臺，上海 200030；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

氫脈澤也稱為氫頻率標(biāo)準(zhǔn)，是一種利用氫原子固有特性提供精密時間頻率參考的微波激射器[1]。氫脈澤優(yōu)異的中長期頻率穩(wěn)定度使其長期在守時授時、導(dǎo)航定位、甚長基線干涉測量(Very Long Baseline Interferometry, VLBI)等系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用[2]，其頻率準(zhǔn)確度、穩(wěn)定性等各項指標(biāo)深刻影響著眾多關(guān)鍵設(shè)施的平穩(wěn)運行[3-5]。氫原子在磁場中超精細(xì)能級結(jié)構(gòu)分裂為F=1,mF=1;F=1,mF=0;F=1,mF=-1和F=0,mF=0共4個子能級，而氫脈澤就是基于F=1,mF=0和F=0,mF=0間的躍遷實現(xiàn)高穩(wěn)定的頻率輸出[6]。根據(jù)Rabi-Breit公式以及gJ=2.002 256可以計算氫原子基態(tài)超精細(xì)能級的躍遷頻率為[7]

(1)

其中，H0為提供量子化軸的弱外磁場，由氫脈澤中的C場組件產(chǎn)生。顯然空間不均勻的磁場H0會導(dǎo)致各部分原子共振頻率不同，而實際的原子躍遷譜線是各部分原子譜線的疊加，在空間磁場不均勻的情況下，總的譜線寬度必然增加。不僅如此，原子在強(qiáng)度不同的磁場中運動時可能存在復(fù)合躍遷的頻率成分，導(dǎo)致附加的受激躍遷，使原子能級壽命縮短，線寬增加[8]。由(1)式可以推得空間不均勻磁場導(dǎo)致的超精細(xì)能級躍遷頻率相對變化率為[9]

(2)

其中，f0=1.420 405 7 GHz；H0理論值為1 mGs，但實際上由于退磁等因素的影響，H0一般高于理論值。取H0=5 mGs，若使δf/f0< 5 × 10-13，相應(yīng)的磁場非均勻度δH/H0需要小于0.51%。

目前的空間主動型氫脈澤C場組件由一個單螺線管的主場筒和兩個輔助線圈組成[10]，中心螺線管與補償線圈上的電流分別為0.386 mA和0.246 mA。利用仿真軟件計算線圈中的磁場分布得到的非均勻度曲線如圖1。由圖1可知，該C場組件在儲存泡區(qū)域的磁場最大非均勻度可達(dá)4.45%，對應(yīng)的頻率相對變化率高于4.33 × 10-12。而空間氫脈澤頻率準(zhǔn)確度的指標(biāo)要求為5 × 10-13，顯然帶輔助線圈的單個螺線管產(chǎn)生的磁場不能滿足氫脈澤C場的均勻度要求。文[11]提出利用3個相同半徑的線圈增加磁場均勻性，文[12]證明并設(shè)計了9組線圈以內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場的方法，但線圈產(chǎn)生的磁場與螺線管產(chǎn)生的磁場并不相同，多組線圈疊加后勻強(qiáng)磁場的結(jié)果不能直接用于多段螺線管，需要重新計算。文[13]進(jìn)行了九段線圈式C場組件研究，但其方法為利用仿真軟件反復(fù)調(diào)整參數(shù)，研究過程繁瑣，不具有普適性。相較于前人的工作，本文創(chuàng)新之處在于將高階展式計算方法引入多段式螺線管的均勻度計算，并給出了高均勻度的不同寬度三段式螺線管的相應(yīng)參數(shù)，之后利用有限元仿真計算了其磁場分布及非均勻度。四段及以上螺線管由于計算高階展式系數(shù)時出現(xiàn)奇異矩陣，無法計算出相關(guān)參數(shù)，因此，本文采用線圈近似的計算方法，并給出了磁場分布的有限元仿真結(jié)果，計算了非均勻度分布。

圖1 帶輔助場的單螺線管非均勻度分布

1 三段螺線管構(gòu)建勻強(qiáng)C場

與線圈類似，雖然單個螺線管的磁場并不均勻，但可以通過在z軸疊加多個螺線管的方式產(chǎn)生磁場相對均勻的區(qū)域。理論上，螺線管段數(shù)越多，整體越接近于無限長螺線管，產(chǎn)生的磁場越均勻，但考慮到空間氫脈澤有限的容積，以及目前氫脈澤上的C場電流控制組件僅為三組，設(shè)計時首先考慮三段式螺線管。目前的C場螺線管加工工藝為印制電路板(PCB)上印刷導(dǎo)線，之后焊接為筒。由于不同寬度的螺線管在線路印刷以及焊接時的誤差對磁場產(chǎn)生影響，采用三段相同寬度的螺線管為當(dāng)前技術(shù)條件下的較優(yōu)選擇。圖2為所設(shè)計的三段螺線管式C場組件的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2 三段螺線管式C場組件示意圖Fig.2 Schematic diagram of three-segment solenoid C-field

對于三段螺線管，令每段螺線管的寬度和半徑分別均為2L和a，螺線管S1和S3關(guān)于S2對稱，與S2的距離都為d1。螺線管S2上的匝數(shù)與電流之積為ni，S1和S3上的匝數(shù)與電流之積為n1ni，n1為螺線管S1和S3的安匝比。單個螺線管內(nèi)的軸向磁場分布為[14]

(3)

其中，λ=r2+a2-2arcosθ；ξ±=z±l；z和r為軸向和徑向坐標(biāo)；μ為真空磁導(dǎo)率。令r=0并積分即可得到軸向磁場在中心軸上的場強(qiáng)分布，

(4)

因此，三段螺線管在中心軸上產(chǎn)生的復(fù)合磁場強(qiáng)度為

Bc=Bz,r=0(z)+Bz,r=0(z+d1)+Bz,r=0(z-d1) ，

(5)

在z=0處泰勒展開到四階可得

(6)

僅有偶數(shù)階是因為軸線上的磁場關(guān)于原點對稱，即Bc為偶函數(shù)。顯然，除了常數(shù)項其余高階項為0的Bc為勻強(qiáng)磁場，因此令

(7)

聯(lián)立后即可解得n1和d1，歸一化a,n,i后計算結(jié)果見表1。

由表1可知，隨著螺線管寬度2L增加，螺線管間的距離d1逐漸增大，而螺線管S1和S3的安匝比n1隨之減小。由于氫脈澤內(nèi)部的體積限制以及設(shè)計要求， C場筒總的高度與直徑之比應(yīng)當(dāng)在1～1.5之間，對應(yīng)于1≤L+d1≤1.5，因此只能選擇0.2≤L≤0.4的三段螺線筒。

由于螺線管的軸向磁場和徑向磁場的解析表達(dá)式都為積分形式，如果精確求解需要積分至無限遠(yuǎn)處，積分結(jié)果較為復(fù)雜，而利用有限元仿真軟件可以較為便捷地計算三段式螺線管的空間磁場強(qiáng)度分布，進(jìn)一步驗證不同寬度的三段螺旋管產(chǎn)生磁場的均勻程度，并給出非均勻度分布。三段式螺線管產(chǎn)生的磁場呈軸對稱分布，因此建模及剖分網(wǎng)格時采用軸對稱結(jié)構(gòu)。圖3 為三段式螺線管的仿真建模，建模由螺線管、空氣域以及無限元域三部分組成，引入無限元域是為了減小計算結(jié)果對空氣域的影響，比起有限大的空氣域更接近真實的物理環(huán)境，計算出的磁場分布也更加符合實際。螺線管區(qū)域位于r=20 cm處，寬度為0.5 cm，長度為12Lcm?？偟膱鰪?qiáng)計算區(qū)域為50 cm × 100 cm的矩形，其中無限元域位于右側(cè)、頂面及底面高度為5 cm的層。剖分網(wǎng)格后總的計算單元數(shù)為8 411，最大單元為0.4 cm，最小單元為0.002 cm，其中無限元域的單元數(shù)為5，單元大小比為1，增長公式為接近無限大的等差數(shù)列。為了方便結(jié)果的比較與分析，我們設(shè)置三組螺旋管線圈匝數(shù)均為20匝，切面的螺線管S2的單匝電流通量為1A，螺線管S1和S3的單匝電流通量為n1A，對應(yīng)不同的安匝比。

圖4為計算所得的不同寬度的三組螺線管產(chǎn)生磁場的空間分布以及磁力線。帶箭頭的黑色實線為磁力線，顏色深淺表示磁場強(qiáng)弱。由圖中藍(lán)色的深淺程度可知，三段螺線管中的磁場都較為均勻，在每段螺旋管匝數(shù)相同以及中心螺線管電流也相同的情況下，L越大，螺線管中的磁場越弱，越有利于降低躍遷頻率的相對變化率。六組螺線管中的磁力線均較為平直，證明磁場的徑向分量較小，可以有效減小由于磁場方向變換導(dǎo)致的頻移。計算不同L的三段螺線管在軸線上的場強(qiáng)并繪制儲存泡區(qū)域的非均勻度[H(z)-H(0)]/H(0)可得圖5。由圖5可知，隨著L增大，儲存泡區(qū)域的非均勻度最大值逐漸降低。對于L=0.45的三段線圈，最大非均勻度為0.105%，是帶輔助線圈的單螺線管非均勻度的1/42。理論上可將躍遷頻率相對變化率降低到原來的1/42，達(dá)到1.02 × 10-13。脈澤整體的頻率準(zhǔn)確度還取決于泡壁頻移、二階多普勒頻移、腔牽引頻移以及自旋交換頻移等多種因素[15]，三段螺線管式C場組件對脈澤的頻率準(zhǔn)確度的提高還需要進(jìn)一步實測。

表1 不同寬度三段式螺線管的安匝比及間距

圖3 三段螺線管磁場仿真建模

圖4 不同寬度的三段螺線管磁場分布Fig.4 Magnetic field distribution of three-segment solenoids with different widths

2 多組線圈構(gòu)建勻強(qiáng)C場

對于本文提出的多段螺線管構(gòu)建勻強(qiáng)磁場的參數(shù)解法，理論上可擴(kuò)展至三段以上螺線管，但在實際工作中，由于四段及以上螺線管的高階泰勒展式過于復(fù)雜，利用軟件數(shù)值求解的過程中產(chǎn)生奇異矩陣，無法生成有效的數(shù)值解。為此我們采用寬度與直徑比小于0.04的螺線管，如圖6，此時可以將螺線管模型簡化為線圈模型，求出四段及以上螺線管構(gòu)建勻強(qiáng)磁場時的各項參數(shù)。

圖5 不同寬度的三段螺線管磁場非均勻度分布

圖6 四組線圈及五組線圈示意圖

單個n匝線圈的軸向磁場在r=0處的磁場強(qiáng)度為[12]

(8)

因此，四組線圈在z軸上產(chǎn)生的軸向磁場強(qiáng)度為

(9)

五組線圈在z軸上產(chǎn)生的軸向磁場強(qiáng)度為

(10)

其中，n1和n2為安匝比；d1和d2為線圈間隔；μ為真空磁導(dǎo)率；a為線圈半徑；n為線圈匝數(shù)。與三段螺線管相同，無論是四組線圈還是五組線圈，由于軸向磁場關(guān)于原點對稱，其泰勒展式僅有偶數(shù)次項。對于四組線圈，有d1,n2和d23個未知數(shù)，將軸向磁場B4c在z=0處展開到7階，

(11)

并令

(12)

聯(lián)立即可解得d1,n2和d2。歸一化a,n和i后計算得到d1=0.243 2,n2=2.260 4,d2=0.940 7。而對于五組線圈，有n1,n2,d1和d24個未知數(shù)，因此將軸向磁場B5c在z=0處展開到9階，

(13)

令

(14)

聯(lián)立并歸一化a,n和i后，計算得到n1=1.223,d1=0.409 2,n2=3.000 7,d2=1.080 1。

采用與第1部分相同的建模形式對四組及五組線圈進(jìn)行磁場的有限元分析，仿真時每組線圈的匝數(shù)為20匝，寬度與半徑分別為1 cm和20 cm，中心線圈上電流為1 A，其余線圈上電流由安匝比計算得到。圖7為仿真分析的磁場分布，由圖7可知，五組線圈在匝數(shù)與中心線圈電流相同的情況下，產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度高于四組線圈，不利于降低頻率相對變化率。

圖8給出了四組線圈和五組線圈在z軸儲存泡區(qū)域的非均勻度分布。四組線圈在z軸的非均勻度最大值為0.066%，而五組線圈在z軸的非均勻度最大值為0.01%，顯然五組線圈非均勻度優(yōu)于四組線圈。理論上增加線圈組數(shù)可以進(jìn)一步降低非均勻度，且各組線圈間的安匝比以及位置已由文[12]計算得出，但由于每組線圈需要相應(yīng)的電流控制器，五組及以上線圈的C場組件設(shè)計將增加系統(tǒng)的復(fù)雜度，降低空間氫脈澤運行的可靠性。不僅如此，四組線圈對應(yīng)的頻率相對變化率為6.42 × 10-14，此時氫脈澤整體的頻率準(zhǔn)確度取決于泡壁頻移以及二階多普勒頻移等因素，繼續(xù)降低磁場不均勻所導(dǎo)致的頻率相對變化可忽略不計，因此，四組線圈的設(shè)計已滿足現(xiàn)有空間氫脈澤的均勻磁場要求。

圖7 四組線圈及五組線圈的磁場分布

圖8 四組線圈及五組線圈的非均勻度分布

3 結(jié) 論

為降低氫脈澤由C場不均勻?qū)е碌能S遷頻率相對變化率，本文提出了三段螺線管和四組線圈兩種C場組件設(shè)計。經(jīng)有限元仿真分析，L=0.45的三段螺線管式C場筒內(nèi)磁場在儲存泡區(qū)域的非均勻度最大值為0.105%，相應(yīng)的躍遷頻率相對變化率為1.02 × 10-13，而四組線圈式C場筒內(nèi)磁場在儲存泡區(qū)域的非均勻度最大值為0.066%，相應(yīng)的躍遷頻率相對變化率為6.42×10-14。目前C場組件為聚四氟乙烯薄板上刻等間距定位槽實現(xiàn)導(dǎo)線均布的螺線筒，加工工藝較為成熟，制作三段式螺線管只需在原有工藝的基礎(chǔ)上縮減聚四氟乙烯板的高度即可。對于四組線圈式C場組件，由于所需的每組線圈寬度過窄，現(xiàn)有工藝無法實現(xiàn)，目前正在重新設(shè)計每組線圈的纏繞以及固定方式，之后將進(jìn)行三段螺線管式C場組件與四組線圈式C場組件對氫脈澤輸出頻率、信號強(qiáng)度等指標(biāo)影響的進(jìn)一步比較研究。