鄒 政，馬 戈，汪 燦，謝 進

（西南交通大學機械工程學院，四川成都 610031）

1 引言

近年來，振動能量收集的研究引起人們的廣泛關注[1?2]。通常將振動能量轉化為電能的裝置稱為俘能器。由于壓電俘能器具有結構簡單、無污染、壽命長、易于實現(xiàn)裝置的微小化等優(yōu)點而成為了研究熱點[3]，其最常見結構為壓電懸臂梁。

環(huán)境中的振動是多方向，現(xiàn)有的研究大多是研究直接激勵（激勵方向垂于梁長）下的壓電俘能器，而對于參數(shù)激勵（激勵方向平行于梁長）的研究較少。

文獻[4]建立了參數(shù)激勵下的壓電俘能器集總參數(shù)模型，通過解析法和實驗研究了多個參數(shù)對俘能器的影響。

文獻[5]推導了受參數(shù)激勵懸臂梁的非線性分布參數(shù)模型，考慮了幾何、慣性、壓電材料等多種非線性因素的影響。與直接激勵相比，參數(shù)激勵引發(fā)的參數(shù)共振具有能將輸出功率提高一個數(shù)量級的潛力，但需要克服和阻尼相關的激勵閾值，否則系統(tǒng)不能發(fā)生參數(shù)共振，進而穩(wěn)態(tài)響應趨向于0。

文獻[6?7]采用實驗的方法，利用彈簧放大振動激勵，進而降低了參數(shù)共振的激勵閾值，但是俘能帶寬比較窄。

為了降低參數(shù)共振的激勵閾值，并拓展能量俘獲的頻率帶寬，提出了一種磁力T型壓電俘能器。

采用數(shù)值方法，分析、對比磁力T型雙梁壓電俘能器以及作為其特例的參數(shù)激勵單梁俘能器的俘能特性，從而說明磁力T型雙梁壓電俘能器在降低閾值和拓展俘能帶寬的主要優(yōu)點。

2 磁力T型壓電俘能器動力學模型建立

2.1 磁力T型壓電俘能器的物理結構

所提出的磁力T型壓電俘能器，如圖1所示。

圖1 磁力T型壓電俘能器結構示意圖Fig.1 Structure Diagram of Magnetic T?Shaped Piezoelectric Energy Harvester

該俘能器的水平梁1與豎直梁2正交，在梁1右端部有一個可以移動的質量塊，質量塊上附著磁鐵，磁鐵和質量塊的總質量為M1，磁鐵的初始間距為d0。

梁2的下末端位于為梁1的中部，通過質量塊M2與梁1連接，梁2的上末端裝有質量塊M3。梁1的長度為L1，厚度為t1，寬度為b1。梁2長度為L2，長度為Lp的壓電片貼在梁2的下末端，梁2基底層和壓電層的寬度分別為b2、bp，厚度分別為t2和tp。

壓電層由厚度可忽略的平面電極與負載電阻R相連，連接方式采用并聯(lián)，其產(chǎn)生的電壓為V。

2.2 磁力T型壓電俘能器動力學方程

在外部諧波激勵z（t）的作用下，梁1和梁2的一階振型，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)振動時梁1和梁2的振型Fig.2 Vibration Modes of Beam 1 and Beam 2 During System Vibration

梁1產(chǎn)生的橫向和軸向位移分別為w1（x，t）和u1（x，t）；梁2的橫向和軸向位移分別為w2（y，t）和u2（y，t）。

根據(jù)圖2，考慮梁1和梁2的橫向位移w1和w2的一階展開式，其表達式分別為：

式中：X（t）和Y（t）—梁1和梁2的位移幅值，即廣義坐標。系統(tǒng)的機電耦合動力學方程可由擴展哈密頓原理推導。根據(jù)擴展哈密頓原理[8]，得：

式中：L—拉格朗日函數(shù)，其計算式為：L=T－U；

T—系統(tǒng)的動能；U—系統(tǒng)的勢能；

δW—非保守力所做的虛功的變分。

為此，首先計算系統(tǒng)的動能和勢能，系統(tǒng)的動能為：

式中：TL1、TM1、TM2、TL2、TM3—梁1、質量塊M1、質量塊M2、梁2 及質量塊M3的動能，其計算式分別為：

式中：m1和m2—梁1和梁2單位長度的質量；IM3—質量塊M3的轉動慣量；ψ2—梁2的轉角。

在考慮重力勢能時，系統(tǒng)的勢能為：

式中：U1、U2、UG、Um—梁1、梁2 的勢能以及重力勢能和磁勢能。

在考慮梁的幾何非線性[9]時，U1、U2和UG的計算式分別為：

式中：E1I1，E2I2—梁1和梁2的抗彎剛度；E1和E2—梁1和梁2的楊式模量；ψ—機電耦合系數(shù)；Cp—壓電電容，這些參數(shù)的具體表達式見文獻[10]；V（t）—系統(tǒng)產(chǎn)生的電壓。

非保守力所做的虛功的變分可以表示為：

式中：c1和cf—梁1的粘性阻尼以及梁1右端質量塊所受的滑動摩擦阻尼；c2—梁2的粘性阻尼；Q—壓電層的電荷輸出，Q與負載電阻R之間滿足=V/R。

磁勢能Um可以采用磁偶極子模型推導，其計算式為：

式中：μ0—真空磁導率；rBA—磁鐵A中心到磁鐵B中心的向量；mB和mA—磁鐵B和A的磁矩向量。具體表達式為：

根據(jù)文獻[5]可知，梁1和梁2的橫向位移和縱向位移應滿足：

將式（1）、式（8）和式（9）代入式（7），利用泰勒公式在X=0處展開并保留到4次項，有：

將式（1）～式（2）、式（4）～式（6）和式（9）代入式（3）可以得到磁力T型壓電俘能器的動力學方程為：

式中：k1、g1—梁1和梁2的等效質量；C1、C2—梁1和梁2的等效阻尼；Cf—等效滑動摩擦阻尼；k2?K1、k3—梁1的等效剛度；g2、g3—梁2的等效剛度；k4、g4—梁1和梁2的慣性非線性系數(shù)；k5、k6、g5、g6—梁1和梁2的非線性耦合項系數(shù)；k7、g7—直接和參數(shù)激勵項系數(shù)；k8—等效重力；γ1、γ2—等效機電耦合系數(shù)。方程中諧波激勵：

式中：A—外部加速度激勵幅值；ωe—外部激勵圓頻率，Ω=ωe/（2π）。

根據(jù)式（11）可知，梁1和梁2的固有頻率f1和f2分別為：

為了對比參數(shù)激勵單梁壓電俘能器和磁力T型壓電俘能器的俘能特性，將梁1及質量塊M2去除，將梁2直接與激振器連接，則得到文獻[4]所提出的參數(shù)激勵單梁壓電俘能器。此時，將式（11）中的第二個方程含X的耦合項舍去，則可以得到參數(shù)激勵單梁壓電俘能器的動力學方程為：

式中：YS和VS—在沒有附加梁1時，梁2—單梁時的位移響應和輸出電壓。根據(jù)文獻[11]，俘能器的俘能效果可采用平均輸出功率為評價指標，計算式：

式中：Vrms—均方根電壓。

當負載電阻R為定值時，平均輸出功率與均方根電壓的平方成正比，因而，均方根電壓Vrms也可作為俘能效果的一個指標。

3 磁力T型壓電俘能器的特性分析

數(shù)值仿真時，利用MATLAB對式（11）和式（13）進行求解，若沒有特別說明，初始值都取0，負載電阻R取1MΩ。

磁力T型壓電俘能器的參數(shù)，如表1和表2所示。

表1 磁力T型壓電俘能器材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters of Magnetic T-Shaped Piezoelectric Energy Harvester

表2 磁力T型壓電俘能器結構參數(shù)Tab.2 Structural Parameters of Magnetic T-Shaped Piezoelectric Energy Harvester

3.1 參數(shù)激勵單梁俘能器的俘能特性

參數(shù)激勵下單梁壓電梁2的特性，如圖3所示。

圖3 參數(shù)激勵單梁梁2的運動及俘能特性Fig.3 Motion and Energy Harvesting Characteristics of Beam 2 Under Parametric Excitation

參數(shù)激勵單梁俘能器的結構中沒有梁1和質量塊M2，其動力學方程，如式（13）所示。

根據(jù)表中的參數(shù)可以得知梁2的固有頻率為6.95Hz，在仿真時，取激勵頻率約為梁2的2倍固有頻率，即Ω=14Hz。

對于參數(shù)激勵單自由度系統(tǒng)，初始值不能取為0，因此初始值取[0.01，0，0]。

激勵幅值為32m·s?2和35m·s?2時梁2的時域圖，圖3（a）和圖3（b）所示?？梢钥闯霎敿罘禐?2m·s?2，系統(tǒng)穩(wěn)定的動態(tài)響應趨于0；而當激勵幅值為35m·s?2，系統(tǒng)具有穩(wěn)定的運動。圖3（c）表明；當激勵幅值為35m·s?2時，梁2有明顯的功率輸出，即系統(tǒng)的激勵閾值為33.6m·s?2。

圖3（d）表明；當激勵幅值為33.6m·s?2，并且梁2 在其固有頻率的2 倍處（14Hz）發(fā)生主參數(shù)共振時，反向掃頻帶寬略寬于正向掃；梁2振動帶寬，即俘能器的俘能帶寬小于0.4Hz。

3.2 磁力T型壓電俘能器的俘能特性

3.2.1 磁鐵間距d0與系統(tǒng)的固有頻率

這里主要是利用調整磁鐵間距d0，改變作用于梁1末端質量塊M1的受力，從而改變梁1的固有頻率，達到產(chǎn)生共振的頻率條件f1=2f2。

按照式（12）可以計算出對應不同磁鐵間距d0，梁1的固有頻率f1、梁2的固有頻率f2以及他們之間的關系，如圖4所示。

圖4 磁鐵間距與梁的固有頻率之間的關系Fig.4 Relationship Between Magnet Distance and Natural Frequency of Beam

從圖4中可見，隨著d0的減小，梁1的固有頻率f1與梁2的固有頻率f2之比將單調地減小，當d0=20mm 時，梁2的固有頻率為6.95Hz，梁1的固有頻率約為14Hz，即梁1的固有頻率約為梁2的固有頻率的2倍。

如果假設梁1末端沒有磁力作用，d0無窮大時，則f1≈2.36f2，說明采用這里的系統(tǒng)參數(shù)，固有頻率比的極限值是2.36。

3.2.2 不同固有頻率比的系統(tǒng)頻率響應

隨著磁鐵間距d0的變化，梁1的固有頻率f1將發(fā)生變化，與梁2的固有頻率f2之比也隨之發(fā)生變化，因而系統(tǒng)的動態(tài)響應也會發(fā)生變化。

圖5（a）、圖5（b）所示分別為激勵幅值A=5m·s?2時，梁1和梁2的頻率響應。

從圖5（a）可以看出；當d0為無窮大時，頻率響應曲線與線性振動類似，說明此時系統(tǒng)中磁力非線性因素的影響比較??；隨著d0的減小，梁的固有頻率比逐漸減小，梁1的振幅逐漸減小，當d0=20mm和d0=18mm時，出現(xiàn)了雙峰；在此之后，繼續(xù)減小d0時，梁1的振幅又逐漸增大，而且頻率響應曲線峰值的右側出現(xiàn)了明顯的突變，意味著出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，表現(xiàn)為硬彈簧特性，說明磁力非線性因素的影響增大。

從圖5（b）可以看出；梁2的電壓響應也表現(xiàn)出類似的特性。在固有頻率比大于2而小于2.36的范圍內，隨著d0的減小，頻率響應的硬彈簧特性逐漸減弱，軟彈簧特性逐漸增強，當d0=20mm和d0=18mm時，出現(xiàn)了雙峰；在固有頻率比小于2的范圍內，減小d0，將導致硬彈簧特性徹底消失，只表現(xiàn)出軟彈簧特性，形成單一峰值的左側出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

圖5 磁鐵間距對頻率響應的影響Fig.5 Influence of Magnet Distance on Frequency Response

就系統(tǒng)的俘能性能而言，隨著d0的減小，梁2頻率響應的最大均方根電壓也進一步減小，而梁2的帶寬則表現(xiàn)出先增加后減小的趨勢，其轉折點出現(xiàn)在d0=20mm附近，即f1≈2f2。此時，系統(tǒng)發(fā)生了1；2的內共振。

3.2.3 系統(tǒng)內共振時的動力及俘能特性

當d0=20mm 時，梁1的固有頻率f1與梁2的固有頻率f2之間滿足f1≈2f2，則系統(tǒng)發(fā)生1；2的內共振。激勵頻率為14Hz時，系統(tǒng)隨激勵幅值的響應，如圖6所示。

從圖6（a）可以看出；當激勵幅值小于0.5m·s?2時，梁1的均方根位移隨激勵幅值的增大而增大，但當激勵幅值大于0.5m·s?2時，梁1的均方根位移基本保持不變。這是由于1；2內共振而發(fā)生了飽和現(xiàn)象，梁1的能量傳遞給了梁2。

從圖6（b）可以看出；磁力T型壓電俘能器系統(tǒng)的激勵閾值為0.5m·s?2，相比于2.1節(jié)中參數(shù)激勵單梁俘能器的閾值33.6m·s?2，得到了很大程度的減小。

由圖6（c）、圖6（d）所示梁1和梁2位移的時域圖可見；系統(tǒng)在激勵幅值為0.6m·s?2時梁2能發(fā)生參數(shù)共振，梁1的位移在運動約30s之后變小并在此之后又保持不變，說明了系統(tǒng)的確發(fā)生了飽和現(xiàn)象。

圖6 磁力T型壓電俘能器的俘能特性Fig.6 Characteristics of Magnetic T?Shaped Piezoelectric Harvester

當激勵幅值為A=3m·s?2，磁鐵間距d0=20mm 時，系統(tǒng)的正向和反向掃頻時的頻率響應，如圖7所示。

圖7 磁力T型壓電俘能器頻率響應Fig.7 Frequency Response of Magnetic T?Shaped Piezoelectric Energy Harvester

從圖7（a）可以看出；梁1的頻率響應出現(xiàn)了雙峰，從圖7（b）～圖7（d）可以看出，梁2的頻率響應既有軟彈簧特性，也有硬彈簧特性，表現(xiàn)出雙跳躍現(xiàn)象[12]，并且由于參數(shù)共振，響應曲線較為平坦。雖然正向和反向掃頻頻率響應略有差異，但梁2的電壓響應帶寬均約為0.9Hz，已經(jīng)比參數(shù)激勵單梁俘能器的0.4Hz提高了125%。

當d0=20mm時，隨著激勵幅值的增大，磁力T型壓電俘能器均方根電壓的頻率響應，如圖8所示。

從圖8可見；隨著激勵幅值的增大，系統(tǒng)輸出的均方根電壓增大，頻率響應帶寬也會增加；并且頻率響應曲線向右彎曲的部分更多，表現(xiàn)出更強的硬彈簧特性，當激勵幅值為9m ?s?2時，帶寬可以增加到3Hz。

圖8 激勵幅值對系統(tǒng)頻率響應的影響Fig.8 Influence of Excitation Amplitude on Frequency Response of System

4 結論

這里提出了一種磁力T型壓電俘能器，通過調節(jié)磁鐵間距d0使系統(tǒng)固有頻率滿足f1≈2f2時，不僅能在很大程度上降低發(fā)生參數(shù)共振的激勵閾值，并且由于結合了軟硬彈簧特性，頻率響應帶寬提升100%以上。

研究表明：（1）梁1在主參數(shù)共振頻率處發(fā)生了飽和現(xiàn)象，其振幅不受激勵幅值的影響，在遠離主參數(shù)共振頻率處，其振幅隨著激勵幅值的增大而增大。增大激勵幅值不僅能增加梁2的電壓輸出，同時也能增大頻率帶寬。（2）隨著磁鐵距離d0的減小，梁2的帶寬表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢。當d0滿足使系統(tǒng)的固有頻率之比近似滿足f1≈2f2時，系統(tǒng)的頻率響應的帶寬達到最大。

最后，這里得到的數(shù)值仿真的結論，可作為系統(tǒng)設計的依據(jù)和參考。未來的工作包括對系統(tǒng)的參數(shù)進行優(yōu)化，使系統(tǒng)能在較低的激勵幅值下產(chǎn)生更寬的頻率響應；另外，當減小磁鐵間距使梁1變?yōu)榍簳r，系統(tǒng)的俘能特性也是值得研究的課題。