周 鑫，劉 淼，湯建鋼

(1.伊犁師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學 應用數(shù)學研究所，新疆 伊寧 835000)

1965 年，Zadeh[1]引入了模糊集的概念.模糊集作為經(jīng)典集合理論的推廣，可以用來刻畫客觀事物的不確定性數(shù)據(jù)和信息，從而在信息科學、語義學等多方面都有廣泛的應用，這也使得模糊理論在理論研究和實踐應用兩方面都得到了長足的發(fā)展.為了滿足現(xiàn)代科學技術進步需求及自身理論發(fā)展需要，Goguen[2]在1967 年引入了L?模糊集范疇的概念.對于L?模糊集范疇的研究，對象類選取為經(jīng)典集合或是模糊集合，態(tài)射類選取為不同的模糊函數(shù)，會得到完全不同的范疇結(jié)構.文獻[3]中展示了對象類選取為經(jīng)典集合，態(tài)射類為幾類常見模糊函數(shù)的范疇.文獻[4]中討論了對象類選取為模糊集合，態(tài)射類選取為模糊關系等范疇的性質(zhì).由于模糊關系與Zadeh 擴張原理，矩陣理論等方面有密切的關系，所以態(tài)射為模糊關系的范疇得到了許多數(shù)學工作者的關注[5-12].

范疇理論可以將不同數(shù)學對象的共同特征抽取出來，給出統(tǒng)一的描述，因而在現(xiàn)代數(shù)學研究中具備獨有的優(yōu)勢.為了更深入理解態(tài)射為模糊關系的范疇，討論其范疇性質(zhì)是重要的基礎性工作.1967 年，Goguen[2]討論了經(jīng)典集合作為對象類，模糊關系作為態(tài)射類的模糊關系范疇L?Rel的一些基本性質(zhì)，如態(tài)射合成對并的分配律等，也進一步引入了模糊關系集上的模糊集，即模糊L?關系的概念.1992 年，Min[6]證明了經(jīng)典集合構成對象類，集合間模糊關系構成態(tài)射類的范疇L?Rel是卡式閉的.2021 年，Alcantara 等[4]指出了范疇L?Rel 是??對稱幺半范疇，并給出了其內(nèi)蘊幺半群和內(nèi)蘊余半群結(jié)構.

一方面，模糊L?關系是模糊關系的L?集合，屬于更高一階的模糊理論，所以研究模糊L?關系范疇是研究n?階模糊理論時的必要過程.另一方面，鑒于經(jīng)典系統(tǒng)論中的模糊L?關系對應著模糊系統(tǒng)的模糊類[13]，序代數(shù)中的交和并運算都是模糊L?關系，所以研究模糊L?關系范疇對于充實模糊數(shù)學的理論研究及應用也十分有益.本文結(jié)合模糊關系范疇L?Rel的結(jié)構性質(zhì)，討論了模糊L?關系范疇 L?Rel的相關范疇性質(zhì).首先，給出了 L?Rel 中2 個對象的積和余積的結(jié)構.進而，定義出雙函子 ? 和?? 函子，得到 L?Rel 是??對稱幺半范疇.最后，指出了 L?Rel是一個2?范疇.

1 基本概念

1.1 格設 (L,≤)是一個偏序集，即集合L上有一個偏序關系 ≤.任意a,b∈L，稱a,b的最小上界a∨b是a與b的并，a,b的最大下界a∧b是a與b的交.若任意的a,b∈L最小上界a∨b和最大下界a∧b總是存在的，則稱(L,≤)是一個格.集合T(a,b)={c∈L|c∧a≤b} 的最大元，稱為a在b中的相對偽補元，記為a→b.若a在b中相對偽補元總是存在的，則稱 (L,≤)是一個 Brouwerian 格.若L的任意子集A有極大元 ∨A和極小元 ∧A，則稱 (L,≤)是一個完備格.本文 L={L,≤,∨,∧,→,⊥,?}表示具有最小元 ⊥和最大元 ?的完備Brouwerian 格.

若 L上有一個二元運算 ?:L×L →L 和幺元u∈L，滿足：

(1)保持序結(jié)構：若a≤b，則a?c≤b?c；

(2)結(jié)合律：a?(b?c)=(a?b)?c；

(3)交換律：a?b=b?a；

(4)單位：a?u=a=u?a，其中a,b,c是L中任意元.

則稱*是L上的一個三角模，或稱為一個t?模.

若 L 上的一個t?模 ?滿足：

(1)雙函子性：若a≤b,c≤d，則a?c≤b?d；

(2)冪等律：a?a=a；

(3)分配律：a?(∨ibi)=∨i(a?bi)；

(4)伴隨性：a?b≤c?a≤b→c，其中a,b,c,d,bi是L中任意元.

則稱 (?,u)是L上的一個幺半結(jié)構.

1.2 模糊L?集和模糊L?關系 定義1[2]設 (L,≤)是一個偏序集，A∈Ob(S et)，A上模糊集 μ指映射：μ:A→L，其中A稱為 μ的承載集，L稱為真值集.

注1從文獻[16]可以看出上述內(nèi)容中所描述的定義都屬于范疇 C為集合范疇S et時的模糊理論.

1.3 范疇定義2[17]若范疇具有：

(3) 3 個自然同構：

(a) 結(jié)合性：αA,B,C: (A?B)?C?A?(B?C)，滿足：

(b) 左單位：λA:A?I?A；

(c) 右單位：ρA:A?A?I，滿足：

使得下述Maclane 五邊形

和三角形

可換.

(2) 1?胞腔(或態(tài)射)：f:A→B；

(3) 2?胞腔(或自然變換)：

(a)合成：2?胞腔的合成有縱橫2 種，分別如下：

(b)單位元：2?胞腔的單位元有縱橫2 種，分別為Idf:f?f和IdA,2:IdA?IdA.且縱單位元的橫合成仍為縱單位元.

(c)結(jié)合律：2?胞腔的縱合成和橫合成都滿足嚴格結(jié)合律.

(d)互換律：對于圖表

則稱 C是一個2?范疇.

例1對象為集合，態(tài)射為集合間關系構成的范疇 Rel是一個2?范疇，其中0?胞腔A∈Ob(Set)，1?胞腔R∈HomRel(A,B)，2?胞腔R?R′，這里

2 主要結(jié)果

文獻[4]研究了對象為集合，態(tài)射為集合間模糊關系構成的范疇L?Rel范疇性質(zhì)，討論了該范疇中的積、余積、張量積、內(nèi)蘊半群和內(nèi)蘊余半群等范疇性質(zhì)，并證明了該范疇具有對稱幺半范疇結(jié)構，而且是一個??范疇.本節(jié)中我們給出模糊L?關系范疇 L?Rel的相關范疇性質(zhì).

定義4設 L={L,≤,∨,∧,→,⊥,?}是一個完備Brouwerian 格，(?,u)是 L 上的一個幺半結(jié)構.定義模糊L?關系范疇 L?Rel 如下：

其中R∈HomL?Rel(A,A)，EA是范疇L?Rel中的單位.

注3可以看出，模糊關系范疇L?Rel的態(tài)射為模糊關系，定義4 中模糊L?關系范疇 L?Rel 的態(tài)射為模糊模糊關系(模糊L?關系)，所以其屬于更高一階的模糊理論.

注4定義范疇 L?Rel中序關系如下：

2.1 L?Rel 中的積和余積從文獻[4]可以看出范疇 Rel，L?Rel中2 個對象的積和余積都是它們的不交并得到.下面證明在范疇 L?Rel中2 個對象的積和余積也由它們的不交并得到.

定理1設A,B∈Ob(L?Rel)，則A,B在范疇 L?Rel 中的積A×B是不交并

及模糊L?關系：

其中R,π1∈HomL?Rel(A+B,A)，S,π2∈HomL?Rel(A+B,B)，且

A,B在范疇 L?Rel 中的余積A∏B是不交并

及模糊L?關系：

其中R,i1∈HomL?Rel(A,A+B)，S,i2∈HomL?Rel(B,A+B)，且

證明只證余積的情況，積的情況類似可得.

其次，U的唯一性由其定義可得.

最后，驗證可得

證畢.

2.2 L?Rel 的對稱幺半結(jié)構 定理2設 L={L,≤,∨,∧,→,⊥,?}是一個完備Brouwerian 格，(?,u) 是 L上的一個幺半結(jié)構.在范疇 L?Rel 中定義 ?如下：