胡曉會(huì), 玄東平, 南 華

(延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002)

量子相干性在低溫?zé)崃W(xué)、量子生物學(xué)和納米物理學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.文獻(xiàn)[1]提出了量化相干資源理論框架；文獻(xiàn)[2]提出了另一個(gè)量化相干框架.在量子信息處理進(jìn)程中存在不同相干度量, 如l1-范數(shù)相干度量、相對(duì)熵相干度量和魯棒相干度量等.與量子糾纏類似, 不同的量子相干度量可表征不同量子態(tài), 一個(gè)給定的量子態(tài)可能在一次信息處理中表現(xiàn)較好, 但在其他信息處理中該量子態(tài)的適用性可能相對(duì)較差.若2個(gè)糾纏度量對(duì)純態(tài)有相同排序, 則任意2個(gè)態(tài)就會(huì)有相同排序, 從而純態(tài)中存在的排序關(guān)系即可延拓至任意的量子態(tài)[3].若2個(gè)相干度量對(duì)所有量子態(tài)有相同排序, 則可在某種程度上識(shí)別它們.由于不同的相干度量有不同排序, 因此在不同的量子相干度量下如何對(duì)量子態(tài)進(jìn)行排序已引起人們廣泛關(guān)注[4].

文獻(xiàn)[5-7]研究了l1-范數(shù)相干度量、相對(duì)熵相干度量以及α親和相干度量的量子態(tài)排序關(guān)系；文獻(xiàn)[8]研究了Tsallis-α相對(duì)熵相干度量的量子態(tài)排序.本文基于相對(duì)熵相干度量、斜信息相干度量和Hellinger距離相干度量等研究單量子系統(tǒng)中的態(tài)排序.

1 幾種相干度量和態(tài)排序

(1)

其中Dmax(ρ‖σ)=min{λ:ρ≤2λσ}是量子態(tài)ρ相對(duì)于量子態(tài)σ的最大相對(duì)熵.

定義1[6]設(shè)CA和CB是2個(gè)相干度量, 對(duì)于Hilbert空間H中任意2個(gè)態(tài)ρ1和ρ2, 若

CA(ρ1)≤CA(ρ2) ?CB(ρ1)≤CB(ρ2),

則稱CA和CB提供相同的態(tài)排序.否則, 稱這2個(gè)度量不能提供相同的態(tài)排序.

由于C(ρ)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù), 因此根據(jù)不同相干度量, 所有的態(tài)總可以進(jìn)行排序.

2 基于相干度量的純態(tài)排序

根據(jù)不同相干度量研究純態(tài)的單量子比特系統(tǒng)中態(tài)排序問題.

結(jié)論1對(duì)于單量子比特系統(tǒng)中的純態(tài), 相對(duì)熵相干度量Cr、斜信息相干度CI以及Hellinger距離相干度量CH提供相同的態(tài)排序.

證明： 單量子系統(tǒng)中任意量子態(tài)設(shè)為

(2)

(3)

以及Hellinger距離相干度量

(4)

由式(3)和式(4)可知,CI(ρ)和CH(ρ)均為關(guān)于|b|的增函數(shù), 因此相干度量CI(ρ)和CH(ρ)具有相同的態(tài)排序.即對(duì)任意2個(gè)純態(tài)ρ1和ρ2, 有CI(ρ1)≤CI(ρ2)?|b1|≤|b2|?CH(ρ1)≤CH(ρ2).

任意的單量子比特態(tài)ρ通常還可表示為

(5)

其中x2+y2+z2≤1(純態(tài)時(shí)等號(hào)成立).令

(6)

例1考慮如下2個(gè)單量子比特純態(tài):

通過計(jì)算可得

Cr(σ1)=0.721 9

CH(σ1)=0.350 8

從而驗(yàn)證了上述相干度量提供相同的態(tài)排序.

例2考慮如下2個(gè)單量子比特混合態(tài):

由定義可得

Cr(σ1)=0.627 1>Cr(σ2)=0.533 8,CI(σ1)=0.241 0>CI(σ2)=0.201 2,

CH(σ1)=0.257 6>CH(σ2)=0.212 5.

3 基于相干度量的混合態(tài)排序

下面討論混合態(tài)Cr,CI,CH的態(tài)排序問題.根據(jù)CI(ρ)和CH(ρ)的定義解析表達(dá)式可知, 由于CI(ρ)和CH(ρ)對(duì)任意態(tài)提供相同的態(tài)排序, 因此僅需討論Cr(ρ)和CI(ρ)的態(tài)排序,Cr(ρ)和CH(ρ)必有類似的結(jié)果.

圖1 當(dāng)時(shí), ΔCI的三維圖像Fig.1 Three-dimensional image of ΔCI when t1=4/5,

(7)

結(jié)論2對(duì)單量子比特系統(tǒng)中的混合態(tài),Cr和CI及Cr和CH不能提供相同的態(tài)排序.

例3對(duì)單量子系統(tǒng)中的2個(gè)量子態(tài):

可直接計(jì)算求得基于不同度量的相干性：

CI(σ1)=0.32>CI(σ2)=0.304 0,CH(σ1)=0.350 8>CH(σ2)=0.331 5,

Cr(σ1)=0.721 9

例2中Cr(ρ)和CI(ρ)及Cr(ρ)和CH(ρ)同序, 但在這里是反序, 因此Cr和CI及Cr和CH不能提供相同的態(tài)排序.

結(jié)論3對(duì)單量子比特系統(tǒng)中的混合態(tài),Cv-max(ρ)和Cr(ρ),Cv-max(ρ)和CI(ρ)及Cv-max(ρ)和CH(ρ)均不能提供相同的態(tài)排序.

例4對(duì)如下3個(gè)混合態(tài):

Cv-max(σ1)=0.334 9>Cv-max(σ2)=0.201 2

(8)

CI(σ1)=0.241 0>CI(σ2)=0.201 2

(9)

Cr(σ1)=0.627 1>Cr(σ2)=0.533 8

(10)

式(8)～(10)中至少有一個(gè)不等號(hào)方向不一致, 表明Cv-max(ρ)和Cr(ρ),Cv-max(ρ)和CI(ρ)及Cv-max(ρ)和CH(ρ)均不能提供相同的態(tài)排序.

結(jié)論4對(duì)單量子比特系統(tǒng)態(tài)(純態(tài)或混合態(tài)), 最大相對(duì)熵相干度量Cmax(ρ)與l1-范數(shù)相干度Cl1提供相同的態(tài)排序.

由此可得Cmax(ρ)與其他相干度量的態(tài)排序關(guān)系.

綜上, 本文研究了在單量子比特系統(tǒng)中基于幾個(gè)相干度量的態(tài)排序問題, 并討論了Cv-max(ρ)以及Cmax(ρ)與其他相干度量的態(tài)排序問題.結(jié)果表明：l1-范數(shù)相干度量、相對(duì)熵相干度量、斜信息相干度量及Hellinger距離相干度量對(duì)純態(tài)提供相同的態(tài)排序, 對(duì)混合態(tài)則不能提供相同的態(tài)排序, 并給出了例證; 基于von Neumann測(cè)量的最大相干度量、相對(duì)熵相干度量及斜信息相干度量對(duì)混合態(tài)也不能提供相同態(tài)排序.