王盼，李文博

圓盤(pán)滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析

王盼1，李文博2

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 1. 航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)院，2. 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136）

圓盤(pán)；動(dòng)力學(xué)；純滾動(dòng)；平面運(yùn)動(dòng)微分方程

圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題在日常生活中隨處可見(jiàn)，如汽車(chē)車(chē)輪的滾動(dòng)、齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、圓柱形水杯的滾動(dòng)等．圓盤(pán)按質(zhì)量是否均勻分布可分為均質(zhì)圓盤(pán)和偏心圓盤(pán)2類(lèi)．萬(wàn)邦良[1]等對(duì)均質(zhì)圓盤(pán)在平面純滾動(dòng)這一現(xiàn)象做了較為詳細(xì)的理論分析，分析了此類(lèi)圓盤(pán)在平面純滾動(dòng)的充分必要條件．偏心圓盤(pán)較均質(zhì)圓盤(pán)滾動(dòng)有更加有趣的現(xiàn)象，在第七屆周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題中，就有一道關(guān)于水平面偏心輪跳滾現(xiàn)象的解釋題[2]；在第十一屆周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽團(tuán)體賽中，有關(guān)偏心輪在斜面跳滾現(xiàn)象的題再次出現(xiàn)[3]．本文對(duì)圓盤(pán)在水平面和斜面上的滾動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了較詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)分析．

1 均質(zhì)圓盤(pán)

1.1 均質(zhì)圓盤(pán)平面滾動(dòng)

在圓盤(pán)上施加一水平力后，圓盤(pán)繼續(xù)做純滾動(dòng)，摩擦力的方向可能會(huì)發(fā)生變化．以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系（見(jiàn)圖2）．

圖1 圓盤(pán)平面滾動(dòng)

圖2 圓盤(pán)受外力后滾動(dòng)

1.2 均質(zhì)圓盤(pán)斜面滾動(dòng)

式（5）是斜面上未施加外力時(shí)圓盤(pán)做純滾動(dòng)的必要條件．考慮施加一沿斜面向上的外力后（見(jiàn)圖４），與圓盤(pán)水平面施加外力分析相似，這里也是在質(zhì)心處建立坐標(biāo)系，軸方向沿斜面方向．

圖3　圓盤(pán)斜面滾動(dòng)

圖4　圓盤(pán)受外力后滾動(dòng)（斜面）

2 偏心圓盤(pán)

在上述分析中，所針對(duì)的圓盤(pán)均為均質(zhì)圓盤(pán)，但在生活中，很難保證圓盤(pán)質(zhì)量均勻分布．就非均質(zhì)圓盤(pán)（偏心圓盤(pán)）在平面和斜面進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析．

2.1 偏心圓盤(pán)平面滾動(dòng)

當(dāng)偏心圓盤(pán)以一定角速度在粗糙水平面滾動(dòng)時(shí)，與均質(zhì)圓盤(pán)基本相似，但質(zhì)心加速度略有不同．以圓心為基點(diǎn)，質(zhì)心的加速度為

圖5 偏心圓盤(pán)平面滾動(dòng)

由于水平面存在摩擦，圓盤(pán)在水平面滾動(dòng)時(shí)，角速度逐漸減小，最終使得圓盤(pán)在水平面滾動(dòng)而不會(huì)跳起，出現(xiàn)偏心圓盤(pán)往回滾的現(xiàn)象．

2.2 偏心圓盤(pán)斜面滾動(dòng)

圖6 偏心圓盤(pán)斜面滾動(dòng)

偏心圓盤(pán)在斜面上的運(yùn)動(dòng)與在水平面運(yùn)動(dòng)一樣，也會(huì)出現(xiàn)跳滾現(xiàn)象[5]，偏心圓盤(pán)在斜面跳起的條件為

偏心圓盤(pán)離開(kāi)斜面后，豎直方向速度變化與水平面起跳后豎直速度方向變化一樣，也是先做加速上升運(yùn)動(dòng)，再做減速上升運(yùn)動(dòng)，最后做加速下降運(yùn)動(dòng)．偏心圓盤(pán)與斜面碰撞后，速度會(huì)發(fā)生變化，這里不再做具體分析．

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)均質(zhì)和偏心2種圓盤(pán)在水平面及斜面的滾動(dòng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析．均質(zhì)圓盤(pán)在水平面和斜面做純滾動(dòng)時(shí)，摩擦力不做功．在均質(zhì)圓盤(pán)上作用外力時(shí)，外力的大小以及作用線(xiàn)位置不同，摩擦力的方向會(huì)發(fā)生變化．偏心圓盤(pán)在水平面和斜面滾動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)跳滾現(xiàn)象，偏心圓盤(pán)發(fā)生跳滾的角速度臨界條件為，只與偏心距和接觸面傾斜角度有關(guān)．當(dāng)偏心圓盤(pán)離開(kāi)接觸面時(shí)，先做加速上升運(yùn)動(dòng)，再做減速上升運(yùn)動(dòng)，最后做加速下降運(yùn)動(dòng)．偏心圓盤(pán)在水平面做跳滾運(yùn)動(dòng)，由于有摩擦阻力，圓盤(pán)的角速度減小到臨界角速度后，不會(huì)再跳起，甚至在水平面還會(huì)往回滾動(dòng)．計(jì)算了偏心圓盤(pán)離開(kāi)斜面后圓心運(yùn)動(dòng)方程和第一次與斜面的碰撞點(diǎn)坐標(biāo)．

[1] 萬(wàn)邦良，邱支振．均質(zhì)圓盤(pán)平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析[J]．華東冶金學(xué)院學(xué)報(bào)，1989（4）：82-85，81．

[2] 西北工業(yè)大學(xué)．第七屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題[J]．力學(xué)與實(shí)踐，2009，31（4）：103-105．

[3] 任毅如，方棋洪，肖萬(wàn)伸，等．第十一屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽“理論設(shè)計(jì)與操作”團(tuán)體賽命題和競(jìng)賽總結(jié)[J]．力學(xué)與實(shí)踐，2018，40（5）：599-608．

[4] 陳小亮．圓環(huán)跳滾現(xiàn)象的力學(xué)分析[J]．力學(xué)與實(shí)踐，2010，32（6）：120-121．

[5] 彭凡，劉文洋，方棋洪，等．偏心圓輪沿斜面純滾動(dòng)至連續(xù)彈跳的動(dòng)力學(xué)分析[J]．力學(xué)與實(shí)踐，2019，41（1）：72-75．

Dynamic analysis of disc rolling

WANG Pan1，LI Wenbo2

（1. School of Aero Engine，2. School of Science，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China）

disc；dynamics；pure rolling；differential equation of plane motion

1007-9831（2023）01-0042-05

O313.3

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.009

2022-07-08

沈陽(yáng)航空航天大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（X202110143029）

王盼（2001-），男，湖南婁底人，在讀本科生．E-mail：wangpan0244@163.com

李文博（1986-），女，黑龍江牡丹江人，講師，博士，從事應(yīng)用物理研究．E-mail：20180047@sau.edu.cn