郭春　黃土森

摘 要： 為了研究平面解析系統(tǒng)在何種坐標(biāo)變換下單值軌道具有不變性，首先給出平面解析系統(tǒng)的軌線沿固定方向進(jìn)入奇點(diǎn)的兩個(gè)定義，并證明了它們是等價(jià)的；其次引入判別軌線沿固定方向進(jìn)入奇點(diǎn)的一個(gè)充要條件，得到平面解析系統(tǒng)在非正則變換下系統(tǒng)軌道可以具有不同的單值性；最后通過對(duì)平面解析系統(tǒng)做正則變換，證明了變換前后的系統(tǒng)軌線具有相同的單值性。該結(jié)果對(duì)研究平面解析系統(tǒng)單值軌道的不變性具有參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞： 平面解析系統(tǒng)；軌線；奇點(diǎn)；單值性問題；正則坐標(biāo)變換

中圖分類號(hào)： O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1673-3851 （2023） 11-0775-09

引文格式：郭春，黃土森.坐標(biāo)變換下平面解析系統(tǒng)單值軌道的不變性［J］. 浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2023，49（6）：775-783.

Reference Format： GUO Chun， HUANG Tusen. Invariance of monodromic orbits of planar analytic system under coordinate transformation［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2023，49（6）：775-783.

Invariance of monodromic orbits of planar analytic system under coordinate transformation

GUO Chun， HUANG Tusen

（School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract：? In order to study the invariance of monodromic orbits under which coordinate transformation of planar analytic system， firstly， two definitions of orbits of planar analytic system entering singular point along a fixed direction are given， and they are proved to be equivalent. Secondly， a necessary and sufficient condition for discriminating that orbits enter singular point along a fixed direction is introduced， and it is obtained that the orbits for the planar analytic system and the associated system under non-regular coordinate transformation have a different monodromy. Finally， by making a regular coordinate transformation on the planar analytic system， it is proved that the orbits for the planar analytic system and the associated system have the same monodromy. The result can provide a reference for studying the invariance of monodomic orbits of planar analytic system.

Key words： planar analytic system; orbit; singular point; monodromy problem; regular coordinate transformation

0 引 言

非線性微分方程出現(xiàn)在應(yīng)用科學(xué)的許多分支中，而中心與焦點(diǎn)的區(qū)分問題（簡(jiǎn)稱中心問題或穩(wěn)定性問題）是平面微分系統(tǒng)定性理論中尚未完全解決的經(jīng)典問題之一［1］。

在中心問題中，首先要確定系統(tǒng)的奇點(diǎn)是否為單值的，即在該點(diǎn)的某鄰域中是否可以定義Poincar第一返回映射［2］；然后進(jìn)一步確定它是中心還是焦點(diǎn)。對(duì)平面解析系統(tǒng)而言，如果有軌線進(jìn)入奇點(diǎn)，那么只能螺旋形進(jìn)入或沿固定方向進(jìn)入［3］，當(dāng)系統(tǒng)沒有軌線沿固定方向進(jìn)入奇點(diǎn)，則該奇點(diǎn)只能是單值奇點(diǎn)。因此人們可以根據(jù)系統(tǒng)有無軌線沿固定方向進(jìn)入奇點(diǎn)研究單值性問題。

當(dāng)奇點(diǎn)的線性化矩陣不恒為零時(shí)，單值性問題已經(jīng)完全解決；當(dāng)線性化矩陣的特征值是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)（本文稱這樣的奇點(diǎn)為簡(jiǎn)單奇點(diǎn)）時(shí)，單值性問題由Poincar［4］解決；當(dāng)線性化矩陣是冪零矩陣（本文稱這樣的奇點(diǎn)為冪零奇點(diǎn)）時(shí)，單值性問題由Andreev［5］解決；當(dāng)線性化矩陣恒等于零（本文稱這樣的奇點(diǎn)為線性零奇點(diǎn)）時(shí)，單值性問題的研究要困難很多，目前學(xué)界仍然沒有完全解決。目前判別中心和焦點(diǎn)的一種常用方法是Blow-up技術(shù)［6］，它通過對(duì)這樣的系統(tǒng)在線性零奇點(diǎn)附近做一系列變量變換，把奇點(diǎn)變?yōu)橐粋€(gè)不可定向曲面上的一條封閉曲線，進(jìn)而只需研究其上的簡(jiǎn)單奇點(diǎn)或冪零奇點(diǎn)，再通過反變換得到原系統(tǒng)線性零奇點(diǎn)的單值性。然而，為確定參數(shù)比較多的平面線性零奇點(diǎn)單值性，一方面Blow-up技術(shù)過程就會(huì)變得十分繁雜；另一方面，每一次變量變換前后兩個(gè)系統(tǒng)的單值性有可能發(fā)生了改變（見例1）。正因?yàn)槿绱?，使用Blow-up技術(shù)研究線性零奇點(diǎn)單值性僅僅取得了部分結(jié)果［7-9］。較好的結(jié)果是Algaba等［10］給出的一種新算法，這種算法雖然繁雜，但還是能有效地確定形式比較簡(jiǎn)單的線性零奇點(diǎn)的單值性。

坐標(biāo)變換是研究系統(tǒng)奇點(diǎn)單值性的另外一個(gè)有力工具，其基本思想是通過坐標(biāo)變換，將平面解析系統(tǒng)化簡(jiǎn)為更簡(jiǎn)單的形式，特別是可以減少系統(tǒng)中一些不起作用的參數(shù)的項(xiàng)，使得變換后的系統(tǒng)在形式上更為簡(jiǎn)單，從而能更好地解決問題。例如正規(guī)形理論［11］就是一種典型的工具，它通過尋找合適的近恒等變量變換，在形式上盡可能多地消去一些不影響系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的參數(shù)，簡(jiǎn)化系統(tǒng)以方便研究［12-15］。針對(duì)平面解析系統(tǒng)奇點(diǎn)單值性的判定，人們自然希望經(jīng)過坐標(biāo)變換，不但要把系統(tǒng)變得簡(jiǎn)單，而且還應(yīng)保持變換前后兩個(gè)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)奇點(diǎn)具有相同的單值性。然而，事實(shí)并非如此：連續(xù)且可逆的坐標(biāo)變換（即拓?fù)渥儞Q）或可微但不可逆的坐標(biāo)變換（比如Blow-up技術(shù)中的變換），都可以把一個(gè)非單值奇點(diǎn)變?yōu)閱沃灯纥c(diǎn)，或反之。

本文研究平面解析系統(tǒng)在不同坐標(biāo)變換下單值軌道的不變性。首先，用兩個(gè)實(shí)例說明系統(tǒng)在非正則變換下，變換前后系統(tǒng)的軌道的單值性是不同的；其次，在正則變換下，將變換表達(dá)式的非線性部分表示為積分形式，結(jié)合微分定義得到軌線函數(shù)的極限存在，從而證明了坐標(biāo)變換是正則時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)經(jīng)過坐標(biāo)變換，使得變換前與變換后的兩個(gè)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)奇點(diǎn)具有相同的單值性，這為中心焦點(diǎn)的判別問題提供了一定的理論依據(jù)。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了平面解析系統(tǒng)的單值軌道的不變性問題。若系統(tǒng)是解析的但坐標(biāo)變換是拓?fù)涞幕蚴牵ǚ强赡妫┛晌⒌?，則這樣的坐標(biāo)變換不能保證變換前后的系統(tǒng)有相同的單值性。本文證明：如果坐標(biāo)變換是正則的，則能保證變換前后系統(tǒng)有相同的單值性。正規(guī)型理論中所做的近恒等變換顯然是正則變換，因此任何解析系統(tǒng)與它的正規(guī)型具有相同的單值性。這個(gè)結(jié)果在平面解析系統(tǒng)經(jīng)典的中心問題的研究中具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)橐环矫妫谘芯恐行膯栴}前，需要先解決奇點(diǎn)的單值性問題；另一方面，研究奇點(diǎn)的單值性問題，可以利用正規(guī)型理論把系統(tǒng)中那些不重要的項(xiàng)通過近恒等坐標(biāo)變換消去，從而得到形式更簡(jiǎn)單的系統(tǒng)以易于研究。尤其對(duì)含線性零奇點(diǎn)的系統(tǒng)，有例子表明，通過Blow-up技術(shù)是難以實(shí)現(xiàn)的，盡管任何解析系統(tǒng)可以通過做有限次的可微但不可逆的Blow-up變換，把線性零奇點(diǎn)化為一般是不可定向曲面上的一條封閉曲線，并且可進(jìn)一步通過時(shí)間尺度變換化為有限個(gè)簡(jiǎn)單奇點(diǎn)去研究。

由于可逆的可微坐標(biāo)變換一般未必是正則變換，對(duì)于這種變換能否保證變換前后系統(tǒng)有相同的單值性仍有待繼續(xù)研究。另外，如果系統(tǒng)不是解析的，何種坐標(biāo)變換能保證變換前后系統(tǒng)有相同的單值性也是一個(gè)有待研究的問題。

參考文獻(xiàn)：

［1］Algaba A， Freire E， Gamero E， et al. Monodromy， center-focus and integrability problems for quasi-homogeneous polynomial systems［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 2010， 72（3/4）： 1726-1736.

［2］Arnold V I， Ilyashenko Y S. Ordinary Differential Equations［M］. Berlin： Springer-Verlag， 1988： 1-148.

［3］張芷芬， 丁同仁， 黃文灶， 等. 微分方程定性理論［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 1985： 19-96.

［4］Poincar H. Mmoire Sur Les Courbes Dfinies Par Une quation Diffrentielle Oeuvres［M］. Paris： Gauthier-Villars， 1957： 251-290.

［5］Andreev A F. Investigation of the behaviour of the integral curves of a system of two differential equations in the neighborhood of a singular point［J］. Transactions of the American Mathematical Society， 1958， 8（2）：183-207.

［6］lvarez M J， Ferragut A， Jarque X. A survey on the blow up technique［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2011， 21（11）： 3103-3118.

［7］Algaba A， García C， Reyes M. Characterization of a monodromic singular point of a planar vector field［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 2011， 74（16）： 5402-5414.

［8］Maosa V. On the center problem for degenerate singular points of planar vector fields［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2002， 12（4）： 687-707.

［9］García I A， Gin J， Grau M. A necessary condition in the monodromy problem for analytic differential equations on the plane［J］. Journal of Symbolic Computation， 2006， 41（9）： 943-958.

［10］Algaba A， García C， Reyes M. A new algorithm for determining the monodromy of a planar differential system［J］. Applied Mathematics and Computation， 2014， 237： 419-429.

［11］Ashkenazi M， Chow S N. Normal forms near critical points for differential equations and maps［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems， 1988， 35（7）： 850-862.

［12］Algaba A， García C， Gin J. Analytic integrability around a nilpotent singularity［J］. Journal of Differential Equations， 2019， 267（1）： 443-467.

［13］Algaba A， García C， Reyes M. Algebraic integrability of nilpotent planar vector fields［J］. Chaos， Solitons &? Fractals， 2021， 145： 110765.

［14］Queiroz L， Pessoa C. Nilpotent centers in R3［EB/OL］. （2021-10-05）［2022-10-22］. https：//arxiv.org/abs/2110.02383v1.

［15］Pessoa C， Queiroz L. Monodromic nilpotent singular points with odd Andreev number and the center problem［J］. Qualitative Theory of Dynamical Systems， 2022， 21（4）： 1-24.

［16］唐敏， 黃土森. 關(guān)于平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)［J］. 浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2015， 33（1）： 140-145.

［17］陸啟韶， 彭臨平， 楊卓琴. 常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)［M］. 北京： 北京航空航天大學(xué)出版社， 2010： 74-103.

（責(zé)任編輯：康 鋒）

收稿日期： 2022-09-15網(wǎng)絡(luò)出版日期：2022-12-05

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11671359，11672270）

作者簡(jiǎn)介： 郭 春（1998— ），女，河南南陽(yáng)人，碩士研究生，主要從事微分方程定性理論方面的研究。

通信作者： 黃土森，E-mail：huangtusen@sina.com