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      關(guān)于二維線性自治系統(tǒng)的相圖的教學

      2021-06-16 01:25:48樊自安
      湖北工程學院學報 2021年3期
      關(guān)鍵詞:同號軌線奇點

      樊自安

      (湖北工程學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北 孝感 432000 )

      解的穩(wěn)定性理論是“常微分方程”課程中的一個重要知識點,如何正確作出二維線性自治系統(tǒng)的相圖是一個教學重點。在幾本經(jīng)典的教材中[1-5],僅給出了相圖的大致思路,但要作出二維線性自治系統(tǒng)的相圖,特別是奇點是兩向結(jié)點的二維線性自治系統(tǒng)的相圖,學生一般感覺較困難。文獻[6]以極坐標為基礎(chǔ),借助仿射變換,研究了二維線性自治系統(tǒng)的相圖;文獻[7]對平面齊次多項式系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性進行了分析,并給出對應(yīng)系統(tǒng)的全局相圖及具體系統(tǒng),關(guān)于微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性,參考文獻[8-10]。

      對于二維線性自治系統(tǒng):

      (1)

      系數(shù)矩陣A的特征方程為:

      (2)

      特征根為:

      (3)

      顯然,λ1≥λ2。

      考慮二維線性自治系統(tǒng)(1),對于初等奇點(0,0),當λ1和λ2為相等實數(shù)時,奇點為單向結(jié)點或星形結(jié)點;當λ1和λ2為復(fù)數(shù)時,軌線為向內(nèi)或向外盤旋的螺線;當λ1和λ2為異號實數(shù)時,軌線以y=k1x和y=k2x為漸進線。這些都比較容易作出相圖;但當奇點是兩向結(jié)點時,畫相圖是教學中的一個難點,本文僅討論λ1和λ2為同號不等實數(shù)即奇點是兩向結(jié)點的相圖。

      1 主要結(jié)果及證明

      當λ1和λ2為同號不等實數(shù)時, (a-d1)2+4bc>0,λ1≠λ2,由式(3)λ1>λ2,這時奇點是兩向結(jié)點。分三種情見討論。

      1)b(λ-a)≠0,設(shè)矩陣A的特征值λ1和λ2對應(yīng)的特征向量分別設(shè)為ξ1,ξ2,取

      (4)

      方程組(1)的通解為:

      即當t→+∞,軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ1,當t→-∞,軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ2。

      下面我們將證明向量ξ1、ξ2的斜率為k1,k2,其中k1,k2這樣解出:

      即:

      bk2+(a-d1)k-c=0

      (5)

      (6)

      由式(3)和式(4)得向量ξ1的斜率:

      =k1,

      向量ξ2的斜率:

      =k2,

      軌線X(t)逐漸趨向于(0,0)或遠離(0,0),直線y=k1x,y=k2x都經(jīng)過原點(0,0),因此t→+∞,軌線X(t)的切線趨于y=k1x,當t→-∞,軌線X(t)的切線趨于y=k2x。

      2)b=0,由式(3)知λ1=a,λ2=d1,不妨設(shè)a>d1,λ1>λ2。

      設(shè)矩陣A的特征值λ1和λ2對應(yīng)的特征向量分別設(shè)為ξ1,ξ2,則由(A-λE)x=0,可取

      (7)

      由于λ1>λ2,由第一種情況的討論可知,當t→+∞,軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ1,

      3)λ=a,由式(2)知bc=0,這時b≠0,c=0;若b=0第二種情況已討論。由式(3)知λ1=a,λ2=d1,不妨設(shè)a>d1,λ1>λ2。

      設(shè)矩陣A的特征值λ1和λ2對應(yīng)的特征向量分別設(shè)為ξ1,ξ2,則由(A-λE)x=0,可取

      (8)

      由于λ1>λ2,由第一種情況的討論知當t→+∞,軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ1,

      當t→-∞時,軌線X(t)的切線趨于平行于向量ξ2,由式(8)得ξ1的斜率k11=0,向量ξ2的斜率:k12=(d1-a)/b,而由式(6)解出k1=0,k2=(d1-a)/b,則k11=k1,k12=k2仍然成立,因此式(6)仍成立。

      因此我們得到下面的定理:

      定理1 當二維線性自治系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣A的特征根λ1,λ2為同號不等實數(shù)時,系統(tǒng)(1)的軌線與直線y=k1x,y=k2x的其中一條切于原點(0,0),其中k1,k2由式(6)給出(當只解出一條直線斜率k1時,另一條直線為x=0)。

      軌線究竟與哪一條直線相切呢?

      由式(6)知,k1>k2,t→+∞,軌線X(t)的切線趨于y=k1x,這說明,當t→+∞,軌線X(t)的切線的斜率在逐漸增大,在y=k1x與y=k2x之間,軌線上的點的二階導(dǎo)數(shù)大于0,這說明在y=k1x與y=k2x之間,軌線是向下凹的。根據(jù)這個性質(zhì),我們畫出第一或第二象限內(nèi)系統(tǒng)的相圖(這里沒有畫箭頭的方向,箭頭的方向不影響相圖的上述性質(zhì)),如圖1和圖2所示。

      從圖1和圖2可以看出,在y=k1x與y=k2x之間,在第一象限內(nèi), 軌線X(t)與y=k2x相切或在第二象限內(nèi),軌線X(t)與y=k1x相切。因此我們得到下面的定理:

      圖1 k1>k2>0

      圖2 k2

      圖3 k1=3,k2=1

      定理2 當二維線性自治系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣A的特征根λ1,λ2為同號不等實數(shù)時,在y=k1x與y=k2x之間,在第一象限內(nèi),系統(tǒng)(1)的軌線與y=k2x相切或在第二象限內(nèi),系統(tǒng)的軌線與y=k1x相切。其中k1>k2,k1,k2由式(6)給出(當只解出一條直線斜率k1時,另一條直線為x=0)。

      2 例子說明

      例確定系統(tǒng)

      的奇點類型,并作出相圖。

      解(0,0)是唯一奇點,特征方程λ2+4λ+3=0,特征根λ1=-1,λ2=-3是同號相異實根,奇點(0,0)是穩(wěn)定結(jié)點。由

      解出k1=3,k2=1,k1>k2,兩條漸進線方程y=3x,y=x,由定理2,在第一象限內(nèi),系統(tǒng)的軌線與y=x相切,如圖3所示。

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