摘 要 學(xué)科教學(xué)知識(PCK)體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨特性,是衡量教師專業(yè)水平的重要標(biāo)志。作為數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題以及訓(xùn)練方式往往承載著豐富的信息,折射出教師的教學(xué)觀念、教學(xué)理解、教學(xué)策略以及教學(xué)藝術(shù)等視角,是構(gòu)成教師學(xué)科教學(xué)知識重要且特別的部分。而對數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題的解讀與借鑒,也是教學(xué)實踐與研究的一項重要內(nèi)容?;赑CK視角探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾道經(jīng)典習(xí)題所蘊(yùn)含的教學(xué)法價值,可以豐富教師的學(xué)科教學(xué)知識,提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特別是數(shù)學(xué)訓(xùn)練的針對性和有效性。
關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 經(jīng)典習(xí)題 教學(xué)價值 學(xué)科教學(xué)知識(PCK)
引用格式 李繼軍.PCK視角下幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題教學(xué)價值的探討[J].教學(xué)與管理,2023(08):36-40.
數(shù)學(xué)習(xí)題是組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練的主要載體,也是教材中最有利于展現(xiàn)學(xué)生才能和創(chuàng)新能力的、最具活力的成分。長期以來,廣大數(shù)學(xué)教師在用好教材配套例題、習(xí)題的同時,創(chuàng)造性地改編或設(shè)計了許多數(shù)學(xué)題,有些習(xí)題如同文化和藝術(shù)領(lǐng)域?qū)?yōu)秀作品的評價一樣堪稱經(jīng)典之作。這些經(jīng)典習(xí)題以及具體的訓(xùn)練方式往往承載著豐富的信息,折射出教師的教學(xué)觀念、教學(xué)理解、教學(xué)策略以及教學(xué)藝術(shù)等諸多視角,成為教師知識結(jié)構(gòu)中獨特且重要的組成部分。這種帶有濃厚情境性、實踐性,并指向解決學(xué)科具體問題、特定內(nèi)容的教學(xué)經(jīng)驗與方法,按照有關(guān)教師知識的理論,可歸入美國學(xué)者舒爾曼提出的“學(xué)科教學(xué)知識”(pedagogical content knowledge,簡稱PCK)的范疇。所謂PCK,是指教師將自己所掌握的學(xué)科知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的形式,它具體表現(xiàn)為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類比等來呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容,知道學(xué)生的理解難點[1]。學(xué)科教學(xué)知識體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨特性,是衡量教師專業(yè)水平的重要標(biāo)志。而對經(jīng)典習(xí)題的解讀與借鑒,也是教學(xué)實踐與研究的一項重要內(nèi)容。下面以幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題為例[2],基于PCK視角探討它們的教學(xué)法價值,以豐富教師的學(xué)科教學(xué)知識,提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特別是數(shù)學(xué)訓(xùn)練的針對性和有效性。
一、變式性訓(xùn)練,促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的深刻理解
習(xí)題1:如圖1所示:甲、乙兩人分別按規(guī)定路線從A點出發(fā)回到A點,那么誰走得路程多?正確的選項是(? ? ? ? ? )。
①甲走的路程多;
②乙走的路程多;
③兩人走的路程一樣多;
④無法比較。
本習(xí)題作為“周長初步認(rèn)識”鞏固應(yīng)用階段的變式訓(xùn)練題,旨在考察學(xué)生對“周長”概念的理解與把握。周長的認(rèn)識屬于概念學(xué)習(xí),小學(xué)教材一般將周長定義為“封閉圖形一周的長度”。理解周長概念需從兩個要點入手:一是封閉圖形的一周,二是長度。周長的本質(zhì)是長度,是相同單位長度的累加,度量結(jié)果可以用一個數(shù)來表達(dá)。隨著對周長概念的本質(zhì)理解,從定性描述到定量刻畫已成為當(dāng)前周長概念教學(xué)的目標(biāo)定位和行為追求。對于一個封閉的平面圖形而言,它具有一維的“邊線”和二維的“面”,區(qū)域是通過封閉圖形來反映的,也就是說用一維的邊“圍”出了二維的面。教學(xué)實踐表明,在較復(fù)雜情境中,它們之間往往會相互干擾,容易混淆,難以區(qū)分“邊線”和“面”,無法達(dá)成對周長和面積概念的準(zhǔn)確理解和掌握。上海版數(shù)學(xué)教材在“圖形與幾何”領(lǐng)域的編寫上作了新的嘗試,吸收了皮亞杰關(guān)于兒童幾何認(rèn)知發(fā)展的有關(guān)觀點,即兒童對圖形的認(rèn)識與幾何學(xué)的建立、發(fā)展順序相反[3],教材按照“體—面—線”的線索安排圖形的認(rèn)識,不同于國內(nèi)其他版本,該教材在編排上先認(rèn)識面積(三年級上),再認(rèn)識周長(三年級下)。但教材順序的改變?nèi)匀粵]有取得預(yù)期的教學(xué)效果。有研究指出,兒童在認(rèn)識周長和面積上所遭遇的認(rèn)知困惑和障礙,在一定程度上具有歷史相似性[4]。數(shù)學(xué)史還表明,在古代一段時期內(nèi)甚至有關(guān)數(shù)學(xué)家對周長與面積之間的關(guān)系都存在誤解,即認(rèn)為周長長短和面積大小之間具有同向變化關(guān)聯(lián)[5]。
認(rèn)知心理研究指出,在概念學(xué)習(xí)過程中存在“編碼效應(yīng)”,即情境將影響學(xué)生的信息加工過程。為了克服記憶編碼中對特定情境的依賴性,避免將無關(guān)特征當(dāng)成概念的本質(zhì)特征,教師應(yīng)當(dāng)使用適當(dāng)?shù)淖兪角榫砙6]。本習(xí)題作為小學(xué)數(shù)學(xué)的一道傳統(tǒng)經(jīng)典習(xí)題,一直以來為學(xué)科教師所傳承和借鑒。這一習(xí)題兼有過程性變式和概念性變式的雙重功能:一是通過創(chuàng)設(shè)實際生活情境,將周長概念蘊(yùn)含于實際問題之中,要解決“誰走得路程多?”需要轉(zhuǎn)化和抽象為 “一周的長度即周長”這一概念來解答;二是要理解各自周長,需結(jié)合長方形的特征且不為“面的大小”這一天然背景所干擾,通過理解和把握周長概念的兩個要點,達(dá)到對概念對象的“守恒”,從而實現(xiàn)對周長的實質(zhì)性理解。實踐表明,變式教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解和能力形成的重要方法與手段。本題作為變式性習(xí)題,對促進(jìn)學(xué)生理解周長實質(zhì)具有良好教學(xué)法價值。一方面,由于“面”和“線”共存于一個圖形之中,加上對圖形背景“面”的“夸張”處理,即用曲線分成兩個大小懸殊的面,從而干擾學(xué)生對周長概念的清晰認(rèn)識,也就是對各自區(qū)域邊線的正確把握。通過本題的數(shù)學(xué)訓(xùn)練,借助現(xiàn)代媒體技術(shù)演示有關(guān)“面”和“邊線”(即“一周”)的圖形要素,以觀察、對比、分離、比劃的方式引領(lǐng)學(xué)生區(qū)分“面”和“邊線”,從而達(dá)到對周長概念的真正理解和把握。另一方面,這一習(xí)題也是一道在復(fù)雜情境中運(yùn)用概念命題的變式題,可以看作知識應(yīng)用過程中的問題解決,承擔(dān)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生高認(rèn)知水平的教學(xué)訴求。
經(jīng)過歲月沉淀的經(jīng)典習(xí)題往往蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)法價值,有教師把它作為“周長的初步認(rèn)識”新知學(xué)習(xí)的情境引入題,如有教師這樣改編:甲、乙兩人按如圖的規(guī)定路線從A點出發(fā)回到A點,這樣的比賽公平嗎?這樣的設(shè)計與安排,其價值就在于:教師對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行心理化、問題化的組織,即從小學(xué)生普遍具有的“公正判斷”的道德認(rèn)知出發(fā)設(shè)計問題,旨在通過問題轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識活動,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突和初步思考,了解學(xué)生真實的教學(xué)起點,繼而揭示課題,引導(dǎo)學(xué)生積極主動地投入到新知識、新概念的學(xué)習(xí)之中。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識周長概念之后,教師在練習(xí)環(huán)節(jié)加以呼應(yīng),把它作為變式題再次引導(dǎo)學(xué)生加以思考與討論。這一前后呼應(yīng)的教學(xué)處理,既激發(fā)學(xué)生的求知欲望和內(nèi)在動機(jī),又通過知識應(yīng)用促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的切實理解和把握,體現(xiàn)經(jīng)典習(xí)題所承載的豐富的學(xué)科育人價值。
二、逆向型思考,感悟數(shù)學(xué)抽象的力量和價值
習(xí)題2:(分步呈現(xiàn)題目)
第一步(如圖2),出示4本相同的字典,并在下方顯示“4a”。教師提問:“看到 4a,你想到它可能表示什么?”
第二步,媒體隱去4本字典的具體形象,放大4a,教師繼續(xù)提問:“只看 4a,這個含有字母的式子還可以表示什么?”
弗賴登塔爾就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實質(zhì)指出:“與其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?!盵7]實際上,數(shù)學(xué)化包括兩個方面:一是學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點考察現(xiàn)實,即學(xué)會數(shù)學(xué)地思考與研究各種現(xiàn)象,形成數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算的法則,構(gòu)成數(shù)學(xué)模型[8];二是運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決問題,即讓學(xué)生將通過抽象化、符號化和形式化所獲得的諸如數(shù)學(xué)概念、方法以及模型等成果,應(yīng)用和遷移到具體問題的解決過程中。用字母表示數(shù)量關(guān)系的教學(xué),教材一般借助典型加法模型結(jié)構(gòu)和乘法模型結(jié)構(gòu)的具體情境,引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的概括過程,實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的理解和建構(gòu)。實踐表明,這種經(jīng)歷抽象化、符號化和形式化的數(shù)學(xué)化過程不是一蹴而就的,而是一個逐漸達(dá)成的過程。數(shù)學(xué)史上從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過程有時要經(jīng)歷漫長的演變,甚至是充滿矛盾、曲折和反復(fù)的認(rèn)識過程,相當(dāng)不易?;谏鲜稣J(rèn)識,用字母表示數(shù)的新知建構(gòu)以及后續(xù)相關(guān)數(shù)學(xué)訓(xùn)練,通常都是凸顯從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過程,往往忽視從抽象到具體這一相反的數(shù)學(xué)化過程。
本題同樣是一道變式性習(xí)題,在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時,作為練習(xí)鞏固階段的訓(xùn)練題,分兩步進(jìn)行:第一步旨在圍繞字典素材把含有字母的式子以開放題的形式進(jìn)行具體意義的回歸訓(xùn)練,即a可以表示其中一本字典的頁數(shù)、字?jǐn)?shù)、價錢、重量、厚度等,則4a分別表示4本字典的總頁數(shù)、總字?jǐn)?shù)、總價錢、總重量、總厚度等。第二步,隱去4本字典的具體形象,只留下代數(shù)式4a,那么這個式子表示的范圍則更廣、具體事例則更多。如有學(xué)生回答道:若a表示1袋大米的售價,則4a 表示這樣的4袋大米的售價;若a表示一輛汽車每小時行駛的路程,則4a 表示這輛汽車行駛4小時的路程,若a表示正方形的一條邊長,則4a 表示這個正方形的周長,等等。
可見,本題的數(shù)學(xué)訓(xùn)練價值在于改進(jìn)了以往數(shù)學(xué)教學(xué)中同方向、單通道的訓(xùn)練方式以及目標(biāo)視角,即以往教師比較重視從具體到抽象的概括過程,而忽視了從抽象到具體的想象、解釋過程。大家知道,用字母表示數(shù)是小學(xué)階段正式學(xué)習(xí)代數(shù)知識的開始,從算術(shù)思維到代數(shù)思維是學(xué)生認(rèn)識上的一次飛躍和重要轉(zhuǎn)折。顯然,這正是本題所展現(xiàn)的學(xué)科教學(xué)法的價值所在。從數(shù)學(xué)思維方式而言,可逆性思維的訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生思維靈活性的重要途徑和手段。從抽象化的對象或結(jié)果,成為含有字母式子的抽象模型,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)具有高度的抽象性以及應(yīng)用的廣泛性等特點。本習(xí)題的分步呈現(xiàn)處理以及不斷挑戰(zhàn)的任務(wù)驅(qū)動,既激發(fā)了學(xué)生的探求欲望和學(xué)習(xí)興趣,又彌補(bǔ)了以往數(shù)學(xué)訓(xùn)練的不足,在重視具體到抽象的過程的基礎(chǔ)上,增加新的教學(xué)功能。即引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從抽象到具體的解釋和想象過程,發(fā)展學(xué)生的可逆性思維,以及提升學(xué)生的靈活性、創(chuàng)造性思維品質(zhì);同時,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象的力量和魅力,體會代數(shù)思想和結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性。的確,本題是一道與具體教學(xué)內(nèi)容相配套的創(chuàng)新設(shè)計題,以開放題的形式引領(lǐng)學(xué)生多角度地思考與解答,并強(qiáng)調(diào)多解和求異,學(xué)生在解答過程中展現(xiàn)了與新知概念認(rèn)識過程相反的思維過程,豐富了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的方式。因此,在數(shù)學(xué)新課程的推進(jìn)過程中,這一習(xí)題逐漸被教師所認(rèn)可與推廣。
三、心理化處理,寓規(guī)律掌握于游戲活動之中
習(xí)題3:轉(zhuǎn)盤游戲(如圖3)
出示游戲規(guī)則:一位小朋友轉(zhuǎn)動,停止時指針?biāo)傅臄?shù),再加上這個數(shù)的本身,和是奇數(shù),就有獎!和是偶數(shù),就沒有獎!
(1)當(dāng)有3-4位學(xué)生嘗試后,教師介入并提問:為什么沒人得獎?
(2)如何修改規(guī)則,才有可能獲獎呢?
本題是“奇數(shù)和偶數(shù)”新授課教學(xué)中一位教師開發(fā)的一道習(xí)題(上教版《數(shù)學(xué)》二年級上冊數(shù)學(xué)廣場“點圖與數(shù)”)。本節(jié)課的教學(xué)主要包括兩項學(xué)習(xí)內(nèi)容:一是借助點圖初步認(rèn)識奇數(shù)和偶數(shù),屬于概念學(xué)習(xí);二是探索兩個自然數(shù)之和的規(guī)律性,即奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù),屬于規(guī)則學(xué)習(xí)或規(guī)律性知識的學(xué)習(xí)。針對規(guī)律性知識的學(xué)習(xí),教學(xué)中以“觀察猜想—舉例驗證—尋找反例—得出結(jié)論—鞏固應(yīng)用”為推進(jìn)線索,基于學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點借助不完全歸納,引領(lǐng)學(xué)生開展知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程,體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)對規(guī)律性知識學(xué)習(xí)的內(nèi)在訴求。在鞏固應(yīng)用階段,教師精心設(shè)計本題作為考察學(xué)生是否真正達(dá)到對有關(guān)規(guī)律的理解和掌握。從教學(xué)效果來看,由于把教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的游戲活動有機(jī)結(jié)合起來,學(xué)生的參與熱情較高。當(dāng)三位同學(xué)參與轉(zhuǎn)盤游戲后,都沒有得獎。這時,教師及時介入并提問:“為什么都沒有得獎?”引導(dǎo)學(xué)生把對游戲本身的關(guān)注轉(zhuǎn)移到相關(guān)數(shù)學(xué)思考上,即引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察游戲活動,用數(shù)學(xué)的思維思考游戲活動,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)與分析游戲活動。當(dāng)學(xué)生用“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”的規(guī)律性知識,表達(dá)和分析出“這樣永遠(yuǎn)不會得獎”時,教師及時介入:“如何修改規(guī)則,才有可能獲獎呢?”課堂暫時恢復(fù)了平靜,學(xué)生經(jīng)過沉思后,又爭先恐后地提出修改建議,引發(fā)熱烈討論:①“可以這樣規(guī)定:和是奇數(shù),沒有獎!和是偶數(shù),可以獲獎!”“我認(rèn)為不好,這樣人人都會獲獎!”②“每人轉(zhuǎn)動兩次,把兩次所指到的數(shù)相加,就有可能得獎!”③“每人轉(zhuǎn)動一次所指到的數(shù)和對面的數(shù)相加,可能得獎!”“不對,一定不會得獎!”“為什么?”“轉(zhuǎn)盤上相對應(yīng)的兩數(shù)恰好同為奇數(shù),或同為偶數(shù)”。規(guī)則修改的互動環(huán)節(jié),再次圍繞著兩數(shù)之和的規(guī)律性知識引發(fā)學(xué)生開展積極思考和討論,在師生對話和生生對話中不時閃現(xiàn)出分析、評價和創(chuàng)造等高階認(rèn)知思維的火花。
數(shù)學(xué)教學(xué)游戲作為學(xué)科教學(xué)獨特的教學(xué)方式和訓(xùn)練方式,一直得到學(xué)科教師尤其是低年級教師的重視。正如維果茨基指出的:“游戲創(chuàng)造了兒童的最近發(fā)展區(qū)”,這一最近發(fā)展區(qū)意味著兒童在力所能及的范圍內(nèi),在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行探索和思考。本題的關(guān)鍵是游戲活動的創(chuàng)設(shè)應(yīng)與學(xué)生對知識的理解與掌握相關(guān)聯(lián),為考察學(xué)生對規(guī)律性知識的理解與掌握程度,教師采用兒童最感興趣的游戲形式加以呈現(xiàn)與表達(dá),把數(shù)學(xué)問題置于游戲情境之中。游戲活動是兒童最喜歡的教學(xué)形式,對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行心理化與問題化組織,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教與學(xué)的心理規(guī)律。借助游戲活動,按照學(xué)生最感興趣或最樂于參與的方式表達(dá)出來,使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動特別是數(shù)學(xué)訓(xùn)練活動,做到既具“意義”又有“意思”,既獲得認(rèn)知發(fā)展又經(jīng)歷情感體驗。在數(shù)學(xué)訓(xùn)練過程中,凸顯從程式化訓(xùn)練到游戲運(yùn)用的轉(zhuǎn)變,可以體現(xiàn)優(yōu)秀教師所具有的教學(xué)創(chuàng)新意識以及習(xí)題開發(fā)能力。
四、賦能型增值,變封閉習(xí)題為策略性開放題
習(xí)題4:有一板雞蛋,每個雞蛋的質(zhì)量如下:
56g,55g,54g,58g,55g,53g,54g。
這板雞蛋平均一個有多重?同一批次的100個雞蛋大約有多重?
本題是一位教師基于教材配套習(xí)題的改編題,原題只有第一問。大多數(shù)教師認(rèn)為,這是一道常規(guī)的習(xí)題,其安排目的無非是鞏固平均數(shù)的一般計算方法,即方法1:(56+55+54+58+55+53+54)÷7=385÷5=55(g)。但在課堂實踐與交流活動中,這位教師通過對平均數(shù)統(tǒng)計意義的教學(xué)法處理以及習(xí)題功能的挖掘與開發(fā),使之由常規(guī)的封閉性習(xí)題變成一道策略性開放習(xí)題,其所蘊(yùn)藏的豐富的教學(xué)法價值被其他教師所理解和接受,逐漸成為平均數(shù)統(tǒng)計意義教學(xué)中的一道經(jīng)典習(xí)題。學(xué)生的解題策略與方法還有:
方法2:(如圖4)即通過“移多補(bǔ)少”的操作方法獲得答案55g;
方法3:50+(6+5+4+8+5+3+4)÷7=50+35÷7=55(g);
方法4:(如圖5)
由于解題策略的開放性,在反饋評講的師生互動交流中,充分展示了“一個生動活潑的、主動的和富有個性的”學(xué)習(xí)過程[9]。為何一道普通習(xí)題在課堂上會展現(xiàn)出豐富的教學(xué)內(nèi)涵和目標(biāo)訴求,變得如此富有教學(xué)活力呢?
首先,是教師對平均數(shù)統(tǒng)計意義的過程性教學(xué)。平均數(shù)作為反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量,在小學(xué)課堂一般是如何演繹的呢?據(jù)課堂觀察,隨著新課程的不斷推進(jìn)以及課堂教學(xué)交流活動的不斷深入,學(xué)科教師大多能從實際問題情境出發(fā),結(jié)合學(xué)生的操作活動,引領(lǐng)學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義。即在總數(shù)量不變的前提下,通過“移多補(bǔ)少”的方法,得到平均數(shù),并把學(xué)生的操作活動借助“條形統(tǒng)計圖”的方式給予展示,繼而感悟并初步理解平均數(shù)的意義。在此基礎(chǔ)上得出平均數(shù)計算的基本數(shù)量關(guān)系與一般方法:平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)。這種基于學(xué)生認(rèn)知水平和思維特點的教學(xué)法處理,彰顯了有經(jīng)驗教師豐富的學(xué)科教學(xué)知識,使得數(shù)學(xué)課堂充滿教學(xué)活力。
其次,是教師對習(xí)題所蘊(yùn)含的學(xué)科育人價值的深入挖掘。方法2在學(xué)生的解題過程中是否被允許?涉及到我們數(shù)學(xué)教師的教學(xué)理念問題,隨著對“問題解決”教學(xué)的深入探討,這樣的解題形式也逐漸被教師認(rèn)可與接受。實際上,方法2的解答中,體現(xiàn)了重視過程教學(xué)所給予的積極回報:一是學(xué)生感悟與理解了平均數(shù)的統(tǒng)計意義,特別是在遇到一組很有特點的數(shù)據(jù)時,借助“移多補(bǔ)少”的方法加以解決,并留下了思維過程可視化的痕跡。當(dāng)然,其數(shù)學(xué)的原理或?qū)嵸|(zhì)在于“離差的代數(shù)和為零”。二是采用這種方法的學(xué)生,不是沒有掌握求平均數(shù)的一般方法,而恰恰是認(rèn)知水平高、且對平均數(shù)有深刻理解的那部分學(xué)生的個性化解答與表達(dá),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的“減縮”[10]。因而作為學(xué)科教師應(yīng)該給予充分理解與肯定。方法3和方法4,解題思路相同,即根據(jù)數(shù)據(jù)特點,分別以50和55為標(biāo)準(zhǔn),把平均數(shù)的計算與學(xué)過的靈活運(yùn)算結(jié)合起來,同樣說明學(xué)生對平均數(shù)概念的深刻理解并展現(xiàn)出相關(guān)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的核心目標(biāo)和學(xué)科內(nèi)在訴求。當(dāng)然,方法4只是個別學(xué)生的解答方法,涉及正負(fù)數(shù)知識,但值得稱道的是學(xué)生基于經(jīng)驗用抵消思想給予順利解決??梢?,學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展以及創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識的培養(yǎng),所涉及的并非僅僅是題型的改變,更重要的是教學(xué)思想的轉(zhuǎn)變。一個問題能否成為開放性問題,不僅取決于問題本身的特征以及學(xué)習(xí)者現(xiàn)有的知識準(zhǔn)備,更重要的是教師對所教知識的本質(zhì)理解、寬容態(tài)度以及站位視角。
再次,是教師對平均數(shù)意義教學(xué)的認(rèn)識高度以及相應(yīng)教學(xué)行為的表現(xiàn)。平均數(shù)從典型應(yīng)用題教學(xué)到作為統(tǒng)計知識的教學(xué),經(jīng)歷了從理念到行為的變化過程。教師為平均數(shù)賦予統(tǒng)計意義的教學(xué)站位,體現(xiàn)了教師前后兼顧的教學(xué)理念以及教學(xué)行為,滲透平均數(shù)的重要用途之一——用樣本平均數(shù)估計、推斷總體平均數(shù),初步體會平均數(shù)的統(tǒng)計推斷作用,發(fā)展學(xué)生利用統(tǒng)計知識解決問題的能力與意識。
由于教師充分挖掘習(xí)題潛在的教學(xué)與訓(xùn)練功能,讓一道普通習(xí)題成為“平均數(shù)”統(tǒng)計意義教學(xué)的多維度檢測題,即借助本題訓(xùn)練,從不同視角體現(xiàn)過程性教學(xué)的目標(biāo)訴求,實現(xiàn)對通則通法的理解與掌握,順應(yīng)靈活解決問題的個性化需求。一道教材配套的普通習(xí)題,經(jīng)過教師的內(nèi)涵挖掘以及改進(jìn)設(shè)計,從訓(xùn)練功能上增厚學(xué)科育人價值,成就課堂教學(xué)的精彩,逐漸成為區(qū)域教師心目中的經(jīng)典數(shù)學(xué)訓(xùn)練題。
以上基于PCK視角就幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題的教學(xué)法價值進(jìn)行了具體探討與分析,其主要目的在于幫助教師更新教育教學(xué)理念,改進(jìn)課堂教學(xué)行為,豐富教師的學(xué)科教學(xué)知識,從而提升教師的學(xué)科專業(yè)能力??梢?,小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題承載著知識、教育、發(fā)展以及評價等諸多功能,蘊(yùn)含著豐富的學(xué)科育人價值。數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)知識的載體,選用、改編和創(chuàng)編數(shù)學(xué)習(xí)題既是一門科學(xué),也是一門藝術(shù),特別是數(shù)學(xué)習(xí)題的創(chuàng)新設(shè)計更需要教師的專業(yè)知識和實踐智慧。讓經(jīng)典習(xí)題的研究與應(yīng)用成為豐富教師學(xué)科教學(xué)知識,激發(fā)課堂教學(xué)活力,促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的有效策略與途徑。
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[責(zé)任編輯:陳國慶]