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      一道導(dǎo)數(shù)聯(lián)考題的命制創(chuàng)新與解法分析*

      2023-04-03 11:00:48湖北省恩施州教育科學(xué)研究院445000
      關(guān)鍵詞:細(xì)目綜合題零點(diǎn)

      湖北省恩施州教育科學(xué)研究院 (445000) 周 威

      湖南省長沙市雷鋒學(xué)校 (410217) 童繼稀

      一、命題靈感與創(chuàng)新

      2022屆湖北省七市(州)3月聯(lián)考,備受學(xué)校和社會(huì)關(guān)注,命題質(zhì)量要求較高,而其經(jīng)典壓軸的導(dǎo)數(shù)綜合題,自然成為關(guān)注焦點(diǎn).結(jié)合近幾年的高考考查趨勢,此次聯(lián)考導(dǎo)數(shù)綜合題的多維雙向細(xì)目表設(shè)置如下:

      表1 導(dǎo)數(shù)綜合題雙向細(xì)目表

      那么,如何根據(jù)表中必備知識(shí)、關(guān)鍵能力要求命好這道導(dǎo)數(shù)綜合題呢?這肯定少不了高考導(dǎo)向與靈感創(chuàng)新.

      1.高考導(dǎo)向下的命題靈感

      首先,根據(jù)必備知識(shí)要求,從2021年新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)題中尋找靈感.

      例1 (2021年新高考Ⅰ卷22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

      (1)討論f(x)的單調(diào)性;

      其次,注意到2021年新高考Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)題綜合考查了含雙參數(shù)的關(guān)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,試題呈現(xiàn)如下:

      例2 (2021年新高考Ⅱ卷22題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b.

      (1)討論f(x)的單調(diào)性;

      思考到這里,雙向細(xì)目表中的“初等函數(shù)的組合、零點(diǎn)與參數(shù)范圍問題”要求,就有了命題靈感,那就是y=xlnx與二次函數(shù)的組合成一個(gè)新函數(shù)g(x)=xlnx-ax2+b+cx.

      接下來的問題是考查一個(gè)參數(shù)還是兩個(gè)參數(shù)問題,以及如何確定參數(shù)a,b,c的值?考慮到文[2]中對(duì)含雙參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論的復(fù)雜性,還是選擇單參數(shù).另外,注意到對(duì)g(x)求導(dǎo)后有g(shù)′(x)=lnx+1-2ax+c,設(shè)置c=-1方便進(jìn)一步計(jì)算.同時(shí),設(shè)置b=1,此時(shí)g(1)=-a恰好只含有參數(shù)部分.因此,新函數(shù)確定為g(x)=xlnx-ax2-x+1,從而設(shè)置試題命制初稿如下:

      例3 已知函數(shù)g(x)=xlnx-ax2-x+1.

      (1)當(dāng)a=0時(shí),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

      (2)試討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

      2.基于“解決問題能力”的命題創(chuàng)新

      在對(duì)例3第(2)問的計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn),

      如圖1所示,g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減,在(m,n)上單調(diào)遞增,在(n,+∞)上單調(diào)遞減.

      圖1

      由g(m)=mlnm-am2-m+1=am2-m+1<0,可知g(n)=nlnn-an2-n+1有三種情況,如圖2所示,且g(n)=0時(shí)n為“隱零點(diǎn)”,n的值求不出來,這為后面的討論帶來了困難,因此這就需要對(duì)題目進(jìn)行再修改.

      g(n)=0

      (1)證明:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

      (2)假設(shè)常數(shù)λ>1,且滿足f(λ)=0,試討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

      二、試題解法分析

      例4第(1)問的證明較為簡單,分值設(shè)置為3分,具體證明過程如下:

      結(jié)合單調(diào)性得f(x)在(1,+∞)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

      例4第(2)問可以從分類討論角度進(jìn)行求解,也可以從半分離參數(shù)或分離參數(shù)的角度進(jìn)行求解,思路入口寬,即實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)綜合題兩種常用方法的考查,考查了學(xué)生在具體實(shí)踐中的問題解決能力.

      解法1:(分類討論)由題意

      當(dāng)a=0時(shí),g(x)=xlnx-x+1,g′(x)=lnx.令g′(x)=0,解得x=1,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=0,可得g(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

      當(dāng)a=0時(shí),y=ax圖像與φ(x)圖像有一個(gè)交點(diǎn);

      當(dāng)a<0時(shí),y=ax圖像經(jīng)過二、四象限,與φ(x)圖像無交點(diǎn);

      結(jié)合(1)可知,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,0在(1,λ)上單調(diào)遞增,在(λ,+∞)上單調(diào)遞減,如圖3所示.又

      圖3

      令函數(shù)φ(x)=ax2-x+1,x∈(0,+∞).

      同(1)問,可證函數(shù)f(x)在x∈(0,1)單調(diào)遞減,則h(x)min=f(x0)>f(1)=0,可得函數(shù)h(x)在(0,+∞)無零點(diǎn).

      當(dāng)a=0時(shí),可得x∈(0,1)時(shí),φ(x)>0,即h′(x)<0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;x∈(1,+∞)時(shí),φ(x)<0,即h′(x)>0,則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,有h(x)min=h(1)=0,故h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn).

      當(dāng)a>0時(shí),根據(jù)判別式Δ=1-4a的符號(hào)分情況討論.

      可得函數(shù)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn).

      則函數(shù)h(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn);而在(1,+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由極大值h(x2)的符號(hào)決定,函數(shù)h(x)圖象有圖4的3種情況如下:

      圖4

      三、考試結(jié)果評(píng)價(jià)與結(jié)語

      結(jié)合上述命題意圖和考試結(jié)果分析,在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,依然要注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本解題技能的滲透,對(duì)優(yōu)秀學(xué)生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化化歸能力、直觀想象能力進(jìn)行專項(xiàng)突破,對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)板塊知識(shí)做好分層教學(xué),因材施教,使得不同思維水平的學(xué)生的得分均得到體現(xiàn).

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