定比點(diǎn)差法在圓錐曲線定值定點(diǎn)問題中的應(yīng)用

湖北省荊門市龍泉中學(xué) (448000) 范明輝

解析幾何中的圓錐曲線問題一直以來是高考數(shù)學(xué)中的一座“高地”，難于攻克，不少人都望而生畏，究其原因，不外乎是苦于圓錐曲線問題繁瑣的運(yùn)算.定比點(diǎn)差法，則可以解決繁復(fù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化解題過程.

一、定比點(diǎn)差法

所謂定比點(diǎn)差法，本質(zhì)就是充分利用定比分點(diǎn)和圓錐曲線方程中橫、縱坐標(biāo)表達(dá)式的一致性，而采用的一種優(yōu)化運(yùn)算過程的變形手段.

1.定比分點(diǎn)

2.調(diào)和點(diǎn)列

圖1

二、典例精析

1.定點(diǎn)問題

分析(1)聯(lián)立方程即可求解橢圓C的方程；(2)將|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|轉(zhuǎn)化為向量形式，利用定比分點(diǎn)公式，結(jié)合定比點(diǎn)差法，得出點(diǎn)Q的軌跡過定點(diǎn).

2.定值問題

∴λ+μ=6，又

經(jīng)過探究可以發(fā)現(xiàn)，類似于例1，例2的圓錐曲線定點(diǎn)、定值問題，通過“定比點(diǎn)差法”都可以較為容易的解決，解決的過程是有跡可循的，熟練掌握定比分點(diǎn)公式后可當(dāng)作“模板”一樣快速完成，并且整個(gè)解答過程并沒有復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算.由此可見，“定比點(diǎn)差法”在解決圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題時(shí)有著不可忽視的優(yōu)化作用，值得在日常教學(xué)中多加訓(xùn)練和應(yīng)用.