巧用直線的斜率公式解三類題

張淼

若 A（x1，y1）、B（x2，y2），則直線AB的斜率為 k = y2 - y1 x2 - x1 ， 該式即為直線的斜率公式.直線的斜率公式的應(yīng)用比 較廣泛，不僅可以用于求直線的斜率和傾斜角，還可 以用于求圓錐曲線中點(diǎn)弦的方程、證明分式不等式、 求分式函數(shù)的最值.下面結(jié)合實(shí)例來進(jìn)行探討.

一、求圓錐曲線中點(diǎn)弦的方程

圓錐曲線中點(diǎn)弦是指直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)時(shí)，過這兩點(diǎn)所在弦的中點(diǎn)的直線.求圓錐曲線中點(diǎn)弦的方程，需先將兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓錐曲線的方程并作差；再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式將差式化簡，得到只含有兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差、橫坐標(biāo)之差的式子，這樣便可直接根據(jù)直線的斜率公式求得中點(diǎn)弦的斜率和方程.運(yùn)用直線的斜率公式求圓錐曲線中點(diǎn)弦的方程，能有效地簡化運(yùn)算，大大提升解題的正確率.

例1.

解：

我們將兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線和圓的方 程中，并作差，便可得到關(guān)于兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和、差的 關(guān)系式，再結(jié)合中點(diǎn)的坐標(biāo)公式和直線的斜率公式， 即可化未知為已知，順利求得弦的方程.

二、證明分式不等式

有些分式不等式的結(jié)構(gòu)較為特殊，單憑觀察或計(jì) 算并不能證明不等式，此時(shí)可以將分子、分母視為兩 點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之差的關(guān)系式，將分式看作某條直線的斜 率，通過比較直線斜率的大小來證明不等式.

例2

證明：

通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)所要證明的式子與直線斜率 的公式相似，于是構(gòu)造出直線，運(yùn)用斜率和傾斜角之 間的關(guān)系來證明不等式.證明分式不等式，要將不等式 與直線的斜率公式相關(guān)聯(lián)，根據(jù)斜率公式以及直線傾 斜角的取值范圍來建立新關(guān)系.

三、求分式函數(shù)的最值

對(duì)于與直線斜率公式的結(jié)構(gòu)類似的分式函數(shù)，我 們可將其與直線的斜率公式關(guān)聯(lián)起來，將函數(shù)式看作 兩點(diǎn)所在直線的斜率，通過討論直線的斜率和傾斜角 的取值范圍，來間接求得函數(shù)式的最值.

例3

解：

根據(jù)分式函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，將其看作點(diǎn) P（2， 1）和點(diǎn) M（-cosa，-sina）連線的斜率，并構(gòu)造單位圓，即可從幾何角度，通過討論直線與圓的位置關(guān)系，確定直線斜率的最值，從而確定函數(shù)的最值.

可見，運(yùn)用直線的斜率公式來解題，可使解題的思路更加清晰，更加有條理性，這樣往往會(huì)大大降低解題的難度，縮短解題的時(shí)間.

（作者單位：華東師范大學(xué)鹽城實(shí)驗(yàn)中學(xué)）