張 峰

（北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081）

一、背景

集合的勢與基數(shù)是關(guān)于集合非常重要的概念，在數(shù)學(xué)專業(yè)課程代數(shù)、分析、拓?fù)渲卸加幸欢ǔ潭鹊慕榻B［1］。在抽象的數(shù)學(xué)中，研究的對象都是從集合的概念出發(fā)進(jìn)行描述的。集合分為有限集和無限集，對于有限集而言，很多性質(zhì)是人們所熟知、容易想象的，無限集則具有很多與人們直觀感覺相悖的性質(zhì)。無限集和有限集是從集合的容量上對集合進(jìn)行區(qū)分，而集合的勢與基數(shù)就是在集合容量上對集合進(jìn)行描述刻畫，其重要性不言而喻。

集合的勢與基數(shù)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必備的知識，屬于集合論的內(nèi)容。鑒于集合論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)性［2-3］，以及集合論對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng)的重要性［4］，筆者面向全校開設(shè)了“集合論”公選課程，授課對象主要為信息與電子學(xué)院、機(jī)械與車輛學(xué)院、宇航學(xué)院、自動化學(xué)院、計(jì)算機(jī)學(xué)院等工科專業(yè)的學(xué)生。如何使工科專業(yè)學(xué)生夯實(shí)集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、提高數(shù)學(xué)素質(zhì)是筆者長期思考的問題。張景中院士認(rèn)為，為成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)教育改革，要根據(jù)教育規(guī)律，對教材施以數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造［5-6］。在“集合論”課程中，集合的勢與基數(shù)是最后一個部分，也是學(xué)生普遍反映較難的一個部分。為了便于學(xué)生理解和掌握這部分內(nèi)容，筆者對課堂教學(xué)進(jìn)行了相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體實(shí)施過程如下。

二、具體的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

（一）集合的等勢

首先，引入集合等勢的概念：對于集合A和集合B，如果存在一個從集合A到集合B的雙射，則稱集合A與集合B是等勢的，記為A≈B。在引入等勢這個概念之后，筆者首先以有限集為例進(jìn)行說明。比如，三把椅子的集合與三張桌子的集合是等勢的，可以使得一把椅子對應(yīng)一張桌子；再比如，規(guī)定教室里每個學(xué)生只能坐一個座位，如果沒有座位空著，也沒有學(xué)生站著，那么教室里的學(xué)生之集合與教室里的座位之集合是等勢的，這說明教室里的學(xué)生數(shù)與教室里的座位數(shù)一樣多。在這里任課教師需要強(qiáng)調(diào)，相對于第一個例子中等勢的集合的元素?cái)?shù)目3是給出的，第二個例子中并沒有給出等勢的集合的元素?cái)?shù)目。集合之間的等勢是兩個集合本身在集合容量上的比較，并非一定要引入其他的集合來完成這種比較。

有了前面關(guān)于有限集之間的等勢的鋪墊，就可以引入無限集的集合等勢的例子了。比如，自然數(shù)集與偶數(shù)集之間是等勢的。這里，教師提示學(xué)生偶數(shù)集是自然數(shù)集的真子集，并說明從這個角度上看，“整體并不總是大于部分的”；然后讓學(xué)生找出其他的一些集合與其真子集等勢的例子。此時，一些學(xué)生會試著找出等勢的集合例子，教師在課堂上對學(xué)生給出的一些例子進(jìn)行分析、判斷；再提示學(xué)生這些能與自身的真子集等勢的集合都具有何種特點(diǎn)，此時，通過再審視這些例子，個別學(xué)生會發(fā)現(xiàn)上述例子中所涉及的都是無限集。教師在課堂上講解，目前還沒有給出有限集和無限集的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，并且，不同的無限集之間還可能在集合容量上存在不同，關(guān)于這些問題，目前暫時放下。

接著，說明集合的等勢具有如下符合直觀的性質(zhì)：A≈A；如果A≈B，則有B≈A；如果A≈B，并且B≈C，則有A≈C。這些性質(zhì)說明集合間的等勢具有反身性、對稱性、傳遞性。通過這些等勢性質(zhì)的介紹，也回顧了映射復(fù)合的概念。下面是一個兩個無限集之間一定不等勢的重要例子：N?R。在證明這個命題之前，授課教師可以先證明R≈（0,1），然后利用前面已說明的集合等勢的傳遞性，只需要再證明N?（0,1）即可。在該命題的具體證明中，采用了十進(jìn)制無限小數(shù)的唯一表示方法，假設(shè)（0,1）與自然數(shù)集等勢，那么（0,1）之間的所有元素就可以排成一個數(shù)列，接著采用了對角線方法去構(gòu)造一個形式上在（0,1）之間但是并不在已排成數(shù)列之內(nèi)的某個小數(shù)，以構(gòu)成假設(shè)上的矛盾。通過這個例子，可以向?qū)W生展示集合論創(chuàng)始人Cantor所使用的對角線方法，更為重要的是，作為經(jīng)常使用的數(shù)集的例子，自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集雖然都是直觀上的無限集，然而兩個數(shù)集之間一定是不會等勢的，這說明無限集之間并不總是等勢的。此刻，授課教師需要在課堂上向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，事實(shí)上，如果各個無限集之間都是等勢的話，那么等勢這個概念的建立就沒有太多意義了，也正是各個無限集之間并不總是等勢的，無限集與無限集之間就可以加以區(qū)分，呈現(xiàn)出層次萬千的“無限世界”。

（二）集合的優(yōu)勢

集合的等勢是建立集合之間在容量上的相等，而集合容量之間的比較，除了相等的概念之外，還有大小之分，前面的自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間的不等勢需要進(jìn)一步細(xì)化它們之間的大小關(guān)系。從而自然地引入了集合之間的優(yōu)勢關(guān)系：對于集合A和集合B，如果存在一個從集合A到集合B的單射，那么稱集合B優(yōu)勢于集合A，或者等價地，集合A劣勢于集合B，記為A≤B。此時，任課教師需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：首先，如果集合A到集合B之間存在一個單射，那么說明集合A到集合B的子集之間一定存在一個雙射，這僅需要取這個單射的值域即可，這就說明了集合A劣勢于集合B，等價于集合A與集合B的一個子集等勢；其次，在等勢的定義中，采用了雙射進(jìn)行集合之間等勢的描述，現(xiàn)在又采用了單射進(jìn)行了集合之間優(yōu)勢或者劣勢的描述。此時向?qū)W生提問，從映射的性質(zhì)來說已用到的映射的種類，目前還有哪類沒有用到。學(xué)生會回答還有一個滿射沒有用到，進(jìn)而再提問，這個滿射在集合的勢的概念中怎么用，因?yàn)楝F(xiàn)在已經(jīng)有等勢和優(yōu)勢的定義了。接著畫出一個有限集合之間存在單射的例子，又畫出了一個有限集合之間存在滿射的例子，并說明在直觀上，集合A到集合B存在一個單射的話，確實(shí)集合B的元素?cái)?shù)目比集合A的元素?cái)?shù)目多；集合A到集合B存在一個滿射的話，由于映射滿足單值性，可能集合A的多個元素對應(yīng)集合B的一個元素，這就說明集合A的元素?cái)?shù)目比集合B的元素?cái)?shù)目多。所以，下面很自然地引入滿射在集合優(yōu)勢定義中的等價性命題：A≤B，當(dāng)且僅當(dāng)存在集合B到集合A的滿射。筆者在集合的優(yōu)勢概念方面的引入，首先在直觀上借助于有限集進(jìn)行說明，然后在對一般的集合上的優(yōu)勢的命題，進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯上的演繹證明，這樣的處理方法會使得具有工科專業(yè)背景的學(xué)生更容易接受和理解。

此外，在集合優(yōu)勢的表示方面，單射和滿射的等價性命題的證明過程中，筆者采用了對待滿射，利用映射的等值去建立等價關(guān)系，進(jìn)而在等價類中選取代表元，從而從集合B到集合A的滿射中，構(gòu)造出了一個集合A到集合B的單射。這里借助于此命題的證明方法，自然地引入了選擇公理的概念。對于利用映射的等值關(guān)系建立的等價類，可能這些等價類有無限多個，這時將面對從無限多個非空集合中同時選取一個元素出來的問題。此時，筆者先拿出有限的情況進(jìn)行課上提示，對于有限多個非空集合，如果需要從這有限多個集合中的每個集合選取一個元素出來，是可以實(shí)施的，所以可以完成這個選擇操作。對于無限的情況，此時，因?yàn)橛袩o限多個集合，所以不可以按照有限集的情形一個一個地去選取，只能提供一種規(guī)則，如果按照這種規(guī)則是可以實(shí)施的話，就也視為可以完成選取操作。然后以羅素的形象比方為例進(jìn)行說明：如果現(xiàn)在有無限多雙鞋子，那么從這無限多雙鞋中的每一雙當(dāng)中選擇一只鞋的話，這是可以完成的，因?yàn)榭梢园堰x擇規(guī)則定為選取每一雙鞋的左腳穿的鞋；與之形成對比的是，如果現(xiàn)在有無限多雙襪子，那么上述操作就不可以完成了，因?yàn)槊侩p襪子不區(qū)分左右腳。可見，當(dāng)對無限多個集合進(jìn)行選擇時，并不總是可以完成選取操作的，這需要選擇公理的保證。通過這種在證明單射和滿射在表示集合之間優(yōu)勢關(guān)系等價性的命題中，嵌入選擇公理的簡單說明，就可以對選擇公理進(jìn)行初步的介紹。這種方法在課時數(shù)有限而不能對選擇公理進(jìn)行專門講解的情況下，可以考慮采用。

由于前面已有命題表示，不是所有的無限集之間都是等勢的，自然會有學(xué)生會對是否存在一個優(yōu)勢于其他無限集的無限集這個問題產(chǎn)生疑問。此時，有了上面優(yōu)勢的概念，可緊接著引入了如下命題：對于任意的集合A，其冪集P（A）一定優(yōu)勢于集合A自身。通過該命題的證明，解答了學(xué)生對于是否存在“最優(yōu)勢”集合的這個疑問。這樣，對于任何集合而言，總是可以通過取其冪集的方法，找到一個在集合容量上比原集合還要大的集合。

在集合的優(yōu)勢方面，有一個非常重要的命題，稱為Bernstein定理：對于集合A和集合B，如果A≤B，并且B≤A，則有A≈B。這個定理的證明比較長，講解起來比較費(fèi)時，在課時數(shù)只有32學(xué)時的情況下是否需要詳細(xì)講解其證明過程，是一個值得思考的問題。目前，筆者比較傾向于詳細(xì)講解其證明過程。這是基于如下的考慮：首先，該命題結(jié)論本身非常重要，為了證明兩個集合之間的等勢，需要找到它們之間的一個雙射，而對于無限集的情形，很多時候很難找到兩個無限集之間的一一對應(yīng)關(guān)系，而找到它們之間的一個單射則容易得多，Bernstein定理將集合等勢之間的雙射問題轉(zhuǎn)化為單射問題，從而顯著降低了難度；其次，該證明過程本身對學(xué)生掌握集合等勢和優(yōu)勢的概念與使用方法特別有用，在該證明過程中，通過不斷構(gòu)造相互等勢的集合形成了一個集合鏈，這種方法在其他構(gòu)造集合間等勢的地方也特別有效，比如，如果集合A?B?C，并且A≈C，那么利用A≈C可以得到存在映射f是集合C到集合A的雙射，再將該雙射限制于集合B上，從而構(gòu)造出集合A1?A，且A1≈B，這說明集合B與集合A的一個子集等勢，而顯然集合A與集合B的子集A又等勢，所以根據(jù)Bernstein定理可得A≈B≈C。

（三）集合的基數(shù)

前面的集合間等勢和優(yōu)勢的概念給出了集合容量的一個比較。其中，涉及有限集和無限集的概念，但是目前還沒有給出其準(zhǔn)確數(shù)學(xué)定義。此時，結(jié)合集合的基數(shù)概念，正好可以引入無限集和有限集的概念。

筆者所講授的“集合論”課程只有32學(xué)時，所以，課程是以樸素集合論的基本內(nèi)容進(jìn)行講授的，因而自然數(shù)集，包括自然數(shù)的集合表示就沒有介紹。故在給出有限集定義的時候，并不是按照集合A等勢于某個自然數(shù)n進(jìn)行的，而是先給出標(biāo)準(zhǔn)度量有限集的集合Mn={1,2,…,n}，通過集合A等勢于某個Mn來完成定義的。自然地，不是有限集的集合就是無限集，從而給出無限集的定義。

接著對學(xué)生看起來是“顯然的”結(jié)論——有限集不會與其真子集等勢——進(jìn)行邏輯推導(dǎo)?？紤]到有限集是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)度量集合Mn={1,2,…,n}來定義的，所以在講授時首先給出了Mn這個集合不會與其真子集等勢的結(jié)論，然后順理成章地給出任意有限集不會與其真子集等勢的結(jié)論。繼而提示學(xué)生，有限集與某個Mn等勢是否意味著只存在著唯一的一個Mn與其等勢。然后，提示學(xué)生根據(jù)自然數(shù)集所滿足的三分性，從而得到僅存在唯一的Mn與有限集等勢，進(jìn)而可以把n作為有限集的所唯一對應(yīng)的“計(jì)數(shù)”——稱之為基數(shù)。至此，課程中首次引入了集合的基數(shù)這個重要的概念。回顧前面的無限集可以與其某個真子集等勢的例子，再結(jié)合剛才已得到的有限集不會與其真子集等勢的結(jié)論提示學(xué)生猜想：無限集一定會與其某個真子集等勢，并完成該猜想的證明。有了這個命題，說明了一個集合可以和其某個真子集等勢，當(dāng)且僅當(dāng)該集合是無限集。這樣就可以把無限集定義為可以與其某個真子集等勢的集合，而有限集自然就可以定義為不會與其任意真子集等勢的集合。

基數(shù)部分最后的內(nèi)容就是以兩類常見的無限集——自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集為例，引入無限集中的可列集和不可列集的概念，并給出了一些重要的性質(zhì)，最后以實(shí)數(shù)集與自然數(shù)集的冪集等勢來作為基數(shù)部分的結(jié)尾。

結(jié)語

集合的勢與基數(shù)這部分內(nèi)容，無論是在公理集合論中，還是在樸素集合論中，都是相對較難的部分。特別是授課學(xué)時有限、學(xué)生主要來源于工科專業(yè)的情形下，如何有效講解這部分內(nèi)容，使得學(xué)生可以較為容易地接受這些概念，對純粹數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，是值得長期思考的問題。筆者通過“集合論”校公選課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，取得了良好的課堂教學(xué)效果，為進(jìn)一步將該課程建設(shè)為優(yōu)秀課程打下了基礎(chǔ)。