孟占峰，高珊，盛瑞卿

北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094

嫦娥五號(hào)任務(wù)完成了國(guó)際上首次月球軌道無(wú)人交會(huì)對(duì)接。其導(dǎo)引方案與以往空間交會(huì)任務(wù)并不相同，具有鮮明的中國(guó)特色和中國(guó)智慧。為了最大限度地提供故障應(yīng)急處置能力，確保任務(wù)穩(wěn)妥可靠實(shí)施，嫦娥五號(hào)制定了遠(yuǎn)程導(dǎo)引各次變軌過(guò)程全程測(cè)控可見(jiàn)的設(shè)計(jì)原則。而月球背面天然遮擋造成環(huán)月軌道每圈都有約1/3 的時(shí)間測(cè)控站不可見(jiàn)。在月球測(cè)控弧段受限條件下，既要滿足變軌全程可見(jiàn)又要兼顧變軌過(guò)程能量較優(yōu)，這是以往空間交會(huì)任務(wù)從未面臨過(guò)的全新挑戰(zhàn)。

已有學(xué)者對(duì)交會(huì)導(dǎo)引策略設(shè)計(jì)開(kāi)展了大量的研究工作，主要包括理論研究和工程設(shè)計(jì)2 個(gè)方向。理論研究學(xué)者將交會(huì)導(dǎo)引策略設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為燃料最優(yōu)的控制問(wèn)題，采用理論最優(yōu)和數(shù)值優(yōu)化方法進(jìn)行求解。這主要包括：Prussing 等［1-3］研究了不同邊界條件和不同脈沖數(shù)量下的圓軌道最優(yōu)能量交會(huì)問(wèn)題；Carter 和Humi［4-6］采用理論簡(jiǎn)化模型系統(tǒng)地研究了圓軌道的無(wú)攝動(dòng)條件下的燃料最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題。Chen 和Xie［7］研究了共面的橢圓軌道到圓軌道的最優(yōu)脈沖轉(zhuǎn)移問(wèn)題。他們研究的結(jié)果可以獲得速度增量的理論最小值，對(duì)工程方案確定速度增量需求的下確界有理論指導(dǎo)意義。

Luo 等［8-12］則采用數(shù)值優(yōu)化方法對(duì)相同的多圈多脈沖交會(huì)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，將交會(huì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。另外，周軍和常燕［13］考慮地球J2項(xiàng)扁率的影響用非線性規(guī)劃方法求解了多脈沖異面橢圓軌道的最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題；Arzelier 等［14］用多項(xiàng)式優(yōu)化算法求解線性脈沖最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題。

國(guó)外工程任務(wù)的交會(huì)策略設(shè)計(jì)主要集中在美國(guó)和俄羅斯，分為兩大類(lèi)：第1 類(lèi)是以美國(guó)航天飛機(jī)交會(huì)策略為代表的特殊點(diǎn)變軌方案，其平面內(nèi)的變軌位置均在遠(yuǎn)地點(diǎn)或近地點(diǎn)，平面外的軌道參數(shù)采用獨(dú)立的脈沖進(jìn)行控制［15］；第2 類(lèi)是以俄羅斯聯(lián)盟號(hào)飛船為代表的綜合變軌策略，其每次變軌均包括平面內(nèi)和平面外的2 個(gè)分量，可同時(shí)修正面內(nèi)和面外的軌道參數(shù)，變軌位置也不固定，從而達(dá)到與變軌速度增量聯(lián)合優(yōu)化的目的。Baranov［16］以聯(lián)盟飛船交會(huì)任務(wù)為背景，提出了近圓軌道偏差方程，其將非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在參考圓軌道附近進(jìn)行線性化，獲得了變軌速度增量與軌道要素偏差的線性關(guān)系，對(duì)綜合變軌策略進(jìn)行求解。該方法由于物理概念清楚，可以靈活安排變軌位置，因而得到了廣泛的應(yīng)用。

中國(guó)工程任務(wù)的交會(huì)策略研究主要在載人航天工程第2 步第1 階段交會(huì)對(duì)接任務(wù)牽引下開(kāi)展。該階段的任務(wù)目標(biāo)是：發(fā)射天宮一號(hào)（TG-1）目標(biāo)飛行器， 發(fā)射神舟八號(hào)（SZ-8）、神舟九號(hào)（SZ-9）和神舟十號(hào)（SZ-10）飛船，通過(guò)3 次交會(huì)對(duì)接飛行試驗(yàn)， 突破和基本掌握航天器交會(huì)對(duì)接技術(shù)［17］。相關(guān)學(xué)者圍繞這一任務(wù)開(kāi)展了大量的工程實(shí)踐研究：王忠貴［17］系統(tǒng)設(shè)計(jì)了中國(guó)首次空間交會(huì)對(duì)接遠(yuǎn)距離導(dǎo)引方案，并給出了飛行驗(yàn)證結(jié)果；李革非等［18］給出了神舟八號(hào)到神舟十號(hào)飛控實(shí)施階段的交會(huì)對(duì)接遠(yuǎn)程導(dǎo)引軌道控制方案；胡軍等［19］給出了神舟八號(hào)飛船交會(huì)對(duì)接制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制（Guidance， Navigation， and Control， GNC）系統(tǒng)的設(shè)計(jì)以及飛行驗(yàn)證情況；解永春等［20］系統(tǒng)總結(jié)了神舟飛船GNC 系統(tǒng)交會(huì)對(duì)接自動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容，并給出了在軌驗(yàn)證結(jié)果。載人航天工程第2 步第1 階段的交會(huì)對(duì)接任務(wù)突破了地球軌道的交會(huì)對(duì)接技術(shù)，大量的技術(shù)成果已被成功應(yīng)用于月球軌道交會(huì)對(duì)接任務(wù)中，為中國(guó)成功實(shí)施嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)對(duì)接奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

通過(guò)以上調(diào)研可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的研究大多數(shù)以地球軌道為目標(biāo)，僅有少數(shù)對(duì)月球軌道交會(huì)進(jìn)行研究，但其也未考慮實(shí)際月球軌道測(cè)控弧段的約束。而且現(xiàn)有的算法的計(jì)算模型都是以變軌點(diǎn)時(shí)刻為設(shè)計(jì)變量，變軌點(diǎn)的位置無(wú)法直接約束。另一方面，以往研究雖然獲得了數(shù)值上的最優(yōu)解，但通常只是數(shù)值意義上的某個(gè)特定解，大量滿足要求的次優(yōu)解及其分布規(guī)律并未揭示，這對(duì)于必須考慮參數(shù)可行變化范圍包絡(luò)的工程任務(wù)并不能直接采用。

以嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)工程任務(wù)設(shè)計(jì)為背景，在中國(guó)載人航天地球軌道交會(huì)對(duì)接技術(shù)的基礎(chǔ)上，本文的主要貢獻(xiàn)如下：

1）建模。針對(duì)現(xiàn)有以變軌點(diǎn)時(shí)刻為設(shè)計(jì)變量的模型無(wú)法直接約束變軌點(diǎn)角位置的問(wèn)題，建立了以變軌點(diǎn)緯度俯角和月心軌道坐標(biāo)系（Radia Tangenial Normal， RTN）速度增量3 個(gè)分量為設(shè)計(jì)變量的交會(huì)導(dǎo)引求解模型。通過(guò)引入徑向變軌控制量，提出了一種新的四脈沖交會(huì)策略，約束各次變軌點(diǎn)的緯度幅角，從而滿足測(cè)控條件的要求。

2）求解。針對(duì)變軌點(diǎn)緯度幅角約束下的新交會(huì)導(dǎo)引模型，采用近圓軌道偏差方程推導(dǎo)了一種新的迭代計(jì)算方法，解決了傳統(tǒng)方法初值猜測(cè)難收斂的問(wèn)題。構(gòu)造了以緯度幅角為變量的微分修正的精確數(shù)值求解算法，并推導(dǎo)了問(wèn)題相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解析表達(dá)形式。

3）優(yōu)化。將測(cè)控約束轉(zhuǎn)化成變軌點(diǎn)緯度幅角的邊界約束條件，將總速度增量作為優(yōu)化變量進(jìn)行求解，構(gòu)建了問(wèn)題的優(yōu)化求解模型，并揭示了變軌點(diǎn)位置約束條件下，交會(huì)問(wèn)題最優(yōu)解的全局特性。

4）應(yīng)用。在中國(guó)首次月球軌道交會(huì)對(duì)接任務(wù)中應(yīng)用了本文的方法，通過(guò)嫦娥五號(hào)實(shí)際工程任務(wù)實(shí)施，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方案的正確性和有效性。

1 嫦娥五號(hào)交會(huì)任務(wù)概述

1.1 嫦娥五號(hào)交會(huì)導(dǎo)引過(guò)程

嫦娥五號(hào)交會(huì)導(dǎo)引是一種典型的雙交會(huì)過(guò)程。雙交會(huì)是指目標(biāo)航天器和追蹤航天器分別通過(guò)軌道調(diào)整，在規(guī)定的時(shí)間到達(dá)規(guī)定的目標(biāo)軌道狀態(tài)，以滿足自主控制段的相對(duì)關(guān)系。雙交會(huì)方案可以在追蹤航天器實(shí)施導(dǎo)引前將目標(biāo)航天器的軌道形狀和相位提前調(diào)整到位，從而標(biāo)準(zhǔn)化追蹤航天器交會(huì)過(guò)程的飛行時(shí)序，進(jìn)而更好地滿足變軌過(guò)程測(cè)控條件，并創(chuàng)造自主控制初始條件。由于雙交會(huì)方案的以上優(yōu)點(diǎn)，其在中國(guó)載人航天領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［17］。

嫦娥五號(hào)任務(wù)的交會(huì)包括上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引過(guò)程和軌返組合體器調(diào)相2 個(gè)過(guò)程。上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引過(guò)程從上升器進(jìn)入月面上升目標(biāo)軌道開(kāi)始，至上升器到達(dá)近程自主控制的初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)為止。上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引持續(xù)約2 d，期間通過(guò)4 次變軌，將上升器導(dǎo)引到軌返組合體前方50 km 左右、上方10 km 左右的高度210 km 的環(huán)月圓軌道指定位置。軌返組合體調(diào)相過(guò)程從著陸器環(huán)月降軌開(kāi)始，至上升器月面起飛前為止。軌返組合體調(diào)相持續(xù)約2 d 時(shí)間，共執(zhí)行4 次變軌，目的是保證軌返組合體在交班點(diǎn)時(shí)刻到達(dá)軌道高度為200 km 環(huán)月圓軌道的預(yù)定相位。

在上升器和軌返組合體到達(dá)交班點(diǎn)后，軌返組合體將作為主動(dòng)航天器完成后續(xù)自主控制、對(duì)接和樣品轉(zhuǎn)移過(guò)程。嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)過(guò)程如圖1 所示。圖中，E0和E*f分別表示上升器入軌點(diǎn)和交班點(diǎn)的軌道要素；Δv1T為上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引第1 次變軌的切向分量；Δv2N為上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引第2 次變軌的法向分量；Δv3T為上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引第3 次變軌的切向分量；Δv4R和Δv4T為上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引第4 次變軌的徑向分量和切向分量。

圖1 嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)過(guò)程示意圖Fig.1 Rendezvous profile of Chang’e 5 mission

由于軌返組合體調(diào)相從設(shè)計(jì)模型和方法上與上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引類(lèi)似，限于篇幅，本文僅對(duì)上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引進(jìn)行介紹。

1.2 工程任務(wù)設(shè)計(jì)約束

嫦娥五號(hào)上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引策略工程設(shè)計(jì)時(shí)需要滿足如下要求：

1）交會(huì)時(shí)間要求。過(guò)長(zhǎng)的交會(huì)時(shí)間不利于整個(gè)飛行任務(wù)的安排。在保證測(cè)控條件約束下，應(yīng)盡快完成交會(huì)任務(wù)，嫦娥五號(hào)任務(wù)要求在2 d左右的時(shí)間完成月球軌道交會(huì)，整個(gè)交會(huì)任務(wù)時(shí)間最長(zhǎng)不能超過(guò)3 d。

2）測(cè)控要求。在變軌過(guò)程中，地面測(cè)控站需要保證變軌全過(guò)程（含變軌前調(diào)姿過(guò)程）對(duì)上升器進(jìn)行跟蹤測(cè)軌、遙控遙測(cè)和數(shù)據(jù)通訊；在每次變軌前，需要確保至少2 圈的測(cè)軌弧段和1 圈的策略注入弧段。

3）入軌點(diǎn)參數(shù)要求。入軌點(diǎn)是交會(huì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引的初始狀態(tài)。入軌點(diǎn)近月點(diǎn)高度需要確保上升器入軌后可安全運(yùn)行1 圈以上并兼顧考慮上升器入軌能量的最優(yōu)；遠(yuǎn)月點(diǎn)高度需要考慮入軌安全性和后續(xù)遠(yuǎn)程導(dǎo)引策略最優(yōu)。為了留有更多的測(cè)控弧段用于入軌后的測(cè)軌，入軌時(shí)刻安排在中國(guó)雙站共視弧段進(jìn)站后5 min。

4）初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)要求。初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)（Initial aim point），又稱(chēng)為交班點(diǎn)，是交會(huì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引的終端目標(biāo)，也是交會(huì)近程自主控制的起始點(diǎn)，是遠(yuǎn)程導(dǎo)引與近程自主控制的接口和界面。為了給自主控制段創(chuàng)造良好的條件，在初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)刻，上升器和軌返組合體均為圓軌道且共面飛行。由于是首次月球軌道交會(huì)對(duì)接任務(wù)，嫦娥五號(hào)選擇了較為容易實(shí)現(xiàn)的負(fù)V-bar 交會(huì)策略，即：作為主動(dòng)追蹤器的軌返組合體在交班點(diǎn)需要略低于上升器幾千米到十幾千米，并在上升器的后下方幾十到上百千米的距離，以保證相對(duì)測(cè)量設(shè)備良好的測(cè)量條件。交班點(diǎn)時(shí)刻的安排需要綜合考慮交班點(diǎn)的測(cè)控要求以及后續(xù)自主控制段的測(cè)控要求，還要保證在誤差條件下交班點(diǎn)的測(cè)控依然滿足要求。

1.2.1 ～1.2.3 節(jié)將對(duì)各個(gè)約束條件進(jìn)行詳細(xì)討論。

1.2.1 測(cè)控約束條件

對(duì)于變軌點(diǎn)的測(cè)控約束是通過(guò)設(shè)計(jì)變軌點(diǎn)的圈次和緯度幅角來(lái)滿足的，通過(guò)圈次設(shè)計(jì)可以滿足每次變軌前的測(cè)定軌弧段要求和注入弧段要求；通過(guò)緯度幅角設(shè)計(jì)可以滿足變軌全過(guò)程測(cè)控可見(jiàn)的要求。而緯度幅角設(shè)計(jì)是與交會(huì)策略求解耦合的，這將在5.4 節(jié)進(jìn)行介紹，這里僅給出變軌點(diǎn)圈次的設(shè)計(jì)考慮。

變軌點(diǎn)的圈次設(shè)計(jì)主要考慮：各次測(cè)定軌精度對(duì)測(cè)控弧段的需求，以及用于變軌前注入數(shù)據(jù)的測(cè)控站安排，這需要與定軌精度分析工作和飛行時(shí)序安排工作反復(fù)迭代最終確定。與文獻(xiàn)［8-11］中將其作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化不同，在嫦娥五號(hào)軌道設(shè)計(jì)時(shí)，通常不將其作為任務(wù)規(guī)劃的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代，而是根據(jù)各方的協(xié)調(diào)匹配的結(jié)果提前確定。嫦娥五號(hào)任務(wù)確定的從發(fā)射入軌到交班點(diǎn)的圈次安排如表1 所示。

從表1 可以看出，嫦娥五號(hào)交會(huì)任務(wù)在25 圈完成，整個(gè)任務(wù)時(shí)長(zhǎng)約50 h，滿足“在2 d 左右的時(shí)間完成，整個(gè)交會(huì)任務(wù)時(shí)間最長(zhǎng)不能超過(guò)3 d”的任務(wù)要求。安排的圈次可以保證每次變軌前至少有2圈定軌弧段和1圈注入弧段的要求。

表1 圈次安排Table 1 Schedule of maneuvers

1.2.2 入軌軌道參數(shù)

上升器從月面起飛后的入軌點(diǎn)是交會(huì)過(guò)程的起始點(diǎn)，入軌點(diǎn)參數(shù)主要由確定軌道形狀的近月點(diǎn)高度、遠(yuǎn)月點(diǎn)高度、入軌時(shí)刻3 部分組成。

1） 近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)高度的確定

近月點(diǎn)高度的確定主要考慮上升器入軌安全性，根據(jù)月面地形分析結(jié)果及軌道演化情況，最終將近月點(diǎn)高度確定為15 km。

遠(yuǎn)月點(diǎn)高度的確定主要考慮上升器入軌偏差以及入軌后的變軌策略最優(yōu)。為了避免交會(huì)對(duì)接過(guò)程中出現(xiàn)減速脈沖，在誤差條件下遠(yuǎn)月點(diǎn)必須低于200 km 的目標(biāo)器環(huán)月軌道高度。為了確定誤差條件下的遠(yuǎn)月點(diǎn)高度范圍，GNC 系統(tǒng)考慮了的月面初始對(duì)準(zhǔn)偏差、上升過(guò)程中的慣導(dǎo)累積偏差、以及發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小、比沖和安裝偏差等因素進(jìn)行了打靶仿真。結(jié)果表明，上升器入軌后的遠(yuǎn)月點(diǎn)高度變化范圍為±19 km。因此，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度確定為180 km。

2） 入軌時(shí)刻的確定

入軌時(shí)刻主要決定了初始非公面度和初始相位差。分析表明，僅存在唯一的圈次可以保證入軌非共面度為零，因此月面上升理論上是“零窗口”。標(biāo)稱(chēng)入軌時(shí)刻是根據(jù)下降和起飛共面的要求設(shè)計(jì)得到的，具體如圖2 所示。

圖2 月面上升時(shí)刻采樣點(diǎn)與軌道面相對(duì)關(guān)系示意圖Fig.2 Geometric relation between sample area and orbit plane

為了給上升器入軌后保留盡可能多的測(cè)控弧段用于定軌，上升器的起飛時(shí)刻被安排在起飛當(dāng)天進(jìn)入中國(guó)首個(gè)深空站共視弧段后5 min 實(shí)施，根據(jù)測(cè)控弧段分析結(jié)果，可以確定出起飛的絕對(duì)時(shí)刻。入軌點(diǎn)緯度幅角可以根據(jù)動(dòng)力上升的航程和上升時(shí)刻采樣點(diǎn)與軌道面的相對(duì)幾何關(guān)系確定，嫦娥五號(hào)任務(wù)的計(jì)算結(jié)果為108.7°。入軌點(diǎn)的傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)根據(jù)入軌時(shí)刻上升器與軌返組合體的軌道非共面度最小的條件進(jìn)行確定。

1.2.3 初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)

初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)的確定包括瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)刻和瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)2 部分。瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)刻主要由瞄準(zhǔn)點(diǎn)相對(duì)測(cè)控弧段的角位置決定；瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)包括軌返組合體和上升器2 部分內(nèi)容：軌返組合體的瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)是根據(jù)近程自主控制的要求確定，主要考慮的是近程自主控制過(guò)程與測(cè)控弧段的匹配要求；而上升器的瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)設(shè)計(jì)是根據(jù)軌返組合體瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)和二者相對(duì)位置關(guān)系決定。

1） 軌返組合體瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)確定

近程導(dǎo)引需要對(duì)2 個(gè)探測(cè)器同時(shí)進(jìn)行測(cè)控，因此需要安排在2 個(gè)深空站同時(shí)可見(jiàn)的弧段內(nèi)。設(shè)計(jì)結(jié)果表明近程導(dǎo)引過(guò)程需要210 min 的時(shí)間，因此需要安排在3 個(gè)連續(xù)測(cè)控弧段內(nèi)。另外，對(duì)接后完成樣品轉(zhuǎn)移需要20 min 時(shí)間，且還需要預(yù)留用于處理對(duì)接過(guò)程和樣品轉(zhuǎn)移故障的時(shí)間，這對(duì)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的設(shè)計(jì)提出了很多限制。

另一方面，瞄準(zhǔn)點(diǎn)設(shè)計(jì)不但要考慮標(biāo)稱(chēng)情況，還要考慮誤差條件下的包絡(luò)情況滿足任務(wù)要求。這就要求瞄準(zhǔn)點(diǎn)在一定范圍內(nèi)滑動(dòng)后，各項(xiàng)約束條件依然滿足。

圖3 給出了標(biāo)稱(chēng)近程自主控制段的飛行時(shí)序設(shè)計(jì)結(jié)果。其中，T表示首個(gè)測(cè)控弧段的開(kāi)始時(shí)刻，T+83 min 表示第1 個(gè)測(cè)控弧段結(jié)束時(shí)刻，T+256 min 表示第3 個(gè)測(cè)控弧段開(kāi)始時(shí)刻；Taim表示交班點(diǎn)時(shí)刻，Taim+192 min 表示出100 m 停泊點(diǎn)的時(shí)刻。為了確保100 m 停泊點(diǎn)在測(cè)控弧段內(nèi)，需要確保：Taim+185 min ＞T+256 min，可以求得Taim＞T+64 min?？紤]到交班點(diǎn)必須在第1 個(gè)測(cè)控弧段內(nèi)，因此Taim＜T+83 min。因此，初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)的可行范圍為

圖3 近程自主控制段飛行時(shí)序Fig.3 Profile of close range rendezvous phase

根據(jù)誤差打靶仿真結(jié)果，初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)切向有±6.4 km 的變化范圍，對(duì)應(yīng)的到達(dá)初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)的時(shí)刻有±9 min 的變化范圍。將初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)確定為T(mén)+74 min，也就是出第1 個(gè)測(cè)控弧段前9 min，能夠確保初始瞄準(zhǔn)點(diǎn)在±9 min 范圍內(nèi)漂移的情況下的測(cè)控可見(jiàn)，滿足任務(wù)設(shè)計(jì)要求。

根據(jù)測(cè)控弧段分析結(jié)果可以確定出其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)時(shí)刻以及對(duì)應(yīng)的緯度幅角。嫦娥五號(hào)任務(wù)的具體的計(jì)算結(jié)果為108.7°。再加上200 km的圓軌道、軌道外推后得到的升交點(diǎn)赤經(jīng)和軌道傾角等參數(shù)，就可以完全確定瞄準(zhǔn)點(diǎn)軌返組合體的目標(biāo)軌道參數(shù)。

2） 上升器瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)確定

上升器瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)刻與軌返組合體瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)刻相同，軌道參數(shù)根據(jù)上升器與軌返組合體的相對(duì)參數(shù)導(dǎo)出。與以往交會(huì)任務(wù)不同，嫦娥五號(hào)上升器在交會(huì)段作為主動(dòng)航天器，而在自主控制段又轉(zhuǎn)變?yōu)楸粍?dòng)航天器，因此，上升器的目標(biāo)瞄準(zhǔn)點(diǎn)不是在傳統(tǒng)方案的共面后下方，而是在與軌返組合體共面的前上方。這主要是受整個(gè)系統(tǒng)重量限制，將交會(huì)對(duì)接的主動(dòng)測(cè)量、控制和對(duì)接機(jī)構(gòu)放在了軌道器上，減少不必要的重量落到月面后再回到環(huán)月軌道。這也是嫦娥五號(hào)無(wú)人月球軌道交會(huì)方案的一個(gè)重要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)，為整個(gè)探測(cè)器系統(tǒng)方案優(yōu)化做出了重大貢獻(xiàn)。

上升器與軌返組合體在瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)需要共面且共圓。因此采用平面內(nèi)的高度差和距離差2 個(gè)參數(shù)來(lái)描述二者的相對(duì)位置關(guān)系。高度差主要是考慮近程自主控制的相位調(diào)整能力（時(shí)間調(diào)整能力）以及瞄準(zhǔn)點(diǎn)的高度控制精度。距離差主要是根據(jù)近程自主控制相對(duì)導(dǎo)航設(shè)備的捕獲能力決定的。經(jīng)過(guò)仿真分析，最終確定的相對(duì)高度差為10 km，相對(duì)距離為50 km。

因此，上升器的目標(biāo)瞄準(zhǔn)點(diǎn)在與軌返組合體共面的210 km 高的圓軌道上，在軌返組合體的前上方50 km。圖4 給出了瞄準(zhǔn)點(diǎn)的兩器相對(duì)位置關(guān)系。

圖4 瞄準(zhǔn)點(diǎn)兩器相對(duì)位置示意圖Fig.4 Relative position of two vehicles at aim point

2 坐標(biāo)系定義

2.1 月心J2000.0 坐標(biāo)系（MCI）

月心J2000.0 坐標(biāo)系（Moon Center Inertial，MCI）的原點(diǎn)在月心，坐標(biāo)系的X、Y、Z三軸與地心J2000.0 平赤道平春分點(diǎn)坐標(biāo)系平行。

2.2 月心平赤道慣性坐標(biāo)系（MCE）

由于月心J2000.0 坐標(biāo)系的XY平面是與地球赤道面相關(guān)的參考平面，在描述環(huán)月軌道參數(shù)時(shí)，軌道參數(shù)的物理不明確，因此參考地心J2000.0 與地球赤道面的關(guān)系，定義如下月心赤道 慣 性 坐 標(biāo) 系（Moon-Centered Equatorial， MCE）：該坐標(biāo)系與J2000.0 時(shí)刻IAU月心平赤道固連系XY基本平面重合，x軸指向基本面與J2000 系XY面的交線，y軸由右手定則決定。根據(jù)DE421 星 歷 表［21］，可 以 查 得J2000.0 時(shí) 刻MCI 系到MCF 系的Euler3-1-3 轉(zhuǎn)序?qū)?yīng)的轉(zhuǎn)角為(αJ2000.0，βJ2000.0，γJ2000.0)，則MCI 系到MCE 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣可以寫(xiě)為

不難看出，RMCEMCI是一個(gè)常值坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。由于MCE 坐標(biāo)系可以表征環(huán)月軌道傾角的真實(shí)物理意義，因此在嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)任務(wù)中，用于軌道計(jì)算的慣性坐標(biāo)系統(tǒng)一采用MCE坐標(biāo)系。

2.3 月心軌道坐標(biāo)系（RTN）

根據(jù)位置和速度(r，v)，可以求得對(duì)應(yīng)的月心軌道坐標(biāo)系坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的方向余弦陣為

式中：位置方向（R 方向）的單位矢量為?=r|r|；速度方向單位矢量為?=v|v|；軌道面法線方向（N 方向）單位矢量為T(mén) 方 向?yàn)榍邢蚍较?，單位矢量?/p>

3 交會(huì)問(wèn)題描述

采用脈沖模型建立多圈多脈沖的交會(huì)導(dǎo)引策略。設(shè)初始狀態(tài)的下標(biāo)為0，終端瞄準(zhǔn)點(diǎn)（交班點(diǎn)）狀態(tài)的下標(biāo)為f，各次變軌點(diǎn)的下標(biāo)為i（i=1，2，…，n）。記第i次變軌前后的位置速度分別為和；變軌的速度增量為，Δvi在RTN 坐標(biāo)系下的分量分別記為ΔviR、ΔviT和ΔviN。各次變軌點(diǎn)所在的圈次為Ni（i=1，2，…，n），初始狀態(tài)所在的圈次記為N0，瞄準(zhǔn)狀態(tài)所在的圈次記為Nf，變軌點(diǎn)的緯度幅角為ui。初始狀態(tài)為X0=(r0，v0)，對(duì)應(yīng)的絕對(duì)時(shí)刻為T(mén)0，目標(biāo)瞄準(zhǔn)狀態(tài)為Xf*=(r*f，v*f)，對(duì)應(yīng)的絕對(duì)時(shí)刻為T(mén)f。

交會(huì)導(dǎo)引問(wèn)題可以描述成如下非線性方程組解的問(wèn)題：在給定X0、T0、Tf、Ni給定的條件下，在[ΔviR，ΔviT，ΔviN，ui]（i=1，2，…，n）中選出p個(gè)設(shè)計(jì)變量矢量Cp×1，在X*f中選出q個(gè)目標(biāo)瞄準(zhǔn)變量Dq×1，組成如式（4）所示非線性方程組：

求解方程組的根Pp×1稱(chēng)為交會(huì)導(dǎo)引策略求解。

交會(huì)問(wèn)題的瞄準(zhǔn)變量Dq×1一般為交班點(diǎn)時(shí)刻的6 個(gè)軌道要素。為了避免偏心率為0 的情況下，定義近圓軌道要素E為

式中：a為半長(zhǎng)軸；i為軌道傾角；Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；ω為近月點(diǎn)幅角；θ為真近點(diǎn)角；u為緯度幅角u=ω+θ；ex和ey為偏心率矢量e在軌道平面內(nèi)的分量，分別可以表達(dá)為ex= ||ecosω，ey= ||esinω。

近圓軌道要素E與狀態(tài)矢量X有唯一的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，X0和Xf可以分別轉(zhuǎn)換為初始和終端軌道要素E0和Ef。

4 交會(huì)方案設(shè)計(jì)

目前國(guó)際上已有的交會(huì)任務(wù)方案分為兩大類(lèi)：一是多圈多脈沖交會(huì)；二是快速交會(huì)。由于月球軌道上沒(méi)有地球軌道上的導(dǎo)航星座進(jìn)行自主定軌，受重量功耗限制上升器上無(wú)法配置作用距離上千千米的相對(duì)導(dǎo)航雷達(dá)，因此嫦娥五號(hào)任務(wù)選擇了2 d 的多圈多脈沖方案實(shí)施月球軌道交會(huì)任務(wù)，從而增加個(gè)測(cè)控時(shí)長(zhǎng)并保留相對(duì)大的誤差修正和相位調(diào)整能力，這對(duì)于首次實(shí)施月球軌道交會(huì)的嫦娥五號(hào)是相對(duì)最優(yōu)的方案。參考我國(guó)神舟飛船的五脈沖交會(huì)導(dǎo)引策略，考慮測(cè)控弧段數(shù)量緊張，將第5 個(gè)綜合修正脈沖去掉后，從而構(gòu)成了一種最常采用的四脈沖交會(huì)導(dǎo)引策略。如表2 所示。

表2 傳統(tǒng)四脈沖交會(huì)導(dǎo)引策略Table 2 Classical 4-impulse rendezvous guidance law

該方案雖然已經(jīng)約束了第1 次和第3 次的變軌點(diǎn)緯度幅角位置，但由于該方案第4 個(gè)脈沖的緯度幅角u4為設(shè)計(jì)變量，變軌點(diǎn)的測(cè)控條件無(wú)法保證，這不能滿足嫦娥五號(hào)任務(wù)的要求。因此，需要約束各次變軌點(diǎn)位置以保證變軌全過(guò)程的測(cè)控條件。針對(duì)這一要求，本文提出一種新的四脈沖交會(huì)策略，將第4 次變軌點(diǎn)緯度幅角固定，并引入徑向變軌控制量，通過(guò)約束各次變軌點(diǎn)的緯度幅角達(dá)到滿足測(cè)控條件的要求，具體的策略如表3 所示。

表3 變軌點(diǎn)緯度幅角指定的新四脈沖交會(huì)導(dǎo)引策略Table 3 New 4-impulse rendezvous guidance law with angular position constraint of maneuvers

與表2 方案相比，第4 次的變軌設(shè)計(jì)變量由緯度幅角u4變?yōu)閺较蚍至喀4R，從而將第1、3 和4 次變軌的緯度幅角均固定下來(lái)，進(jìn)而通過(guò)對(duì)變軌點(diǎn)緯度幅角位置的設(shè)計(jì)，滿足變軌過(guò)程的測(cè)控條件。對(duì)于第2 次平面外修正，由于修正點(diǎn)可在2 個(gè)平面交線處且相位相差180°的2 個(gè)位置中任選其一，考慮到測(cè)控弧段覆蓋范圍約占單圈時(shí)長(zhǎng)的2/3 左右，因此總能通過(guò)選擇其中一端作為變軌位置保證變軌過(guò)程測(cè)控條件。具體計(jì)算時(shí)根據(jù)計(jì)算得到的緯度幅角對(duì)應(yīng)的測(cè)控條件進(jìn)行判斷，進(jìn)而可以確保所有的變軌點(diǎn)均在測(cè)控弧段覆蓋范圍內(nèi)。

根據(jù)表3 可知，上升器四脈沖交會(huì)方案的目標(biāo)瞄準(zhǔn)變量為交班點(diǎn)時(shí)刻的6 個(gè)軌道根數(shù)E*f。設(shè)計(jì)變量C6×1為

因此，上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引策略求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求非線性方程式（7）根的問(wèn)題：

即：求 解C*，滿 足E*f=G(C*)。第5 節(jié) 將 給 出式（7）的具體求解方法。

5 交會(huì)策略求解

多圈多脈沖交會(huì)策略的求解本質(zhì)上是求解式（7）描述的非線性方程根的問(wèn)題。由于問(wèn)題的非線性，一般采用基于微分修正算法的迭代求解策略。對(duì)于一般的非線性方程求根問(wèn)題，需要建立設(shè)計(jì)變量C與終端狀態(tài)E*f偏差傳遞關(guān)系然后在給定的初值CIG后，采用如下牛頓迭代格式求解：

當(dāng)|ΔCk|＜ε后，迭代在第n步停止，最終獲得方程的解：C*=Ck+1。其中，ε為預(yù)設(shè)的收斂精度閾值，矩陣Φ+為矩陣Φ的偽逆，可以采用奇異值分解的方法進(jìn)行求解。首先根據(jù)近圓軌道偏差方程求得初始估計(jì)，然后采用微分修正獲得精確數(shù)值解。

5.1 近圓偏差方程

根據(jù)初始軌道參數(shù)E0和目標(biāo)瞄準(zhǔn)軌道參數(shù)，可以構(gòu)造一個(gè)參考圓軌道，具體軌道參數(shù)為：半長(zhǎng)軸ar=(a0+a*f)/2，根據(jù)ar進(jìn)而可以求得參考圓軌道的速度Vr；軌道傾角ir=(i0+i*f)/2；升交點(diǎn)赤經(jīng)

將交會(huì)過(guò)程的軌道參數(shù)相對(duì)參考圓軌道進(jìn)行線性化，可以得到相對(duì)參考圓軌道要素a，ex，ey，i，Ω的偏差與RTN 坐標(biāo)系下速度增量分量間關(guān)系的近圓軌道偏差方程

1）平面內(nèi)方程

2）平面外方程

3）相位方程

式中：Δa=a-ar，為半長(zhǎng)軸偏差；Δex和Δey為偏心 率 矢 量 分 量 的 偏 差，Δex=ex，Δey=ey；Δi=i-ir，為軌道傾角偏差；ΔΩ=Ω-Ωr為升交點(diǎn)赤經(jīng)偏差；Δφi為各次變軌到終端時(shí)刻的相位差：

Δθ為初始狀態(tài)不變軌預(yù)報(bào)到終端時(shí)刻的總相位差：

5.2 初值猜測(cè)算法

根據(jù)近圓軌道偏差方程的相位方程式（11），第1 個(gè)脈沖對(duì)調(diào)相起到最主要的作用。忽略其他脈沖對(duì)相位的影響，可以計(jì)算出第1 個(gè)切向脈沖Δv1T的初始估計(jì)ΔvIG1T為

根據(jù)初始軌道參數(shù)E0，采用二體軌道外推到首脈沖的緯度幅角u1，加上變軌速度增量Δv1T后，就可以計(jì)算得到Δv1T后的軌道參數(shù)E+1為

進(jìn)而可計(jì)算出第1 次變軌后的平面內(nèi)軌道參數(shù)偏差為

根據(jù)平面內(nèi)近圓軌道偏差方程式（9），可以得出平面內(nèi)的線性方程為

令狀態(tài)矩陣Φ為

因此，平面內(nèi)變軌參數(shù)的初始估計(jì)為

式中：

根據(jù)平面外的近圓軌道偏差方程式（10），可以求得第2 次法向變軌參數(shù)的初始估計(jì)為

根據(jù)式（21）計(jì)算得到2 組不同的ΔvIG2N和uIG2結(jié)果，選擇滿足測(cè)控可見(jiàn)性緯度幅角范圍內(nèi)的uIG2，以及對(duì)應(yīng)的ΔvIG2N作為第2 次法向變軌參數(shù)的初始估計(jì)。

至此，已經(jīng)獲得了所有設(shè)計(jì)變量的初始估計(jì)：

將式（22）代入二體軌道預(yù)報(bào)模型，可以計(jì)算出第k次迭代的脫靶量具體可以寫(xiě)為

根據(jù)式（14），可以構(gòu)建Δukf與首脈沖速度增量的更新值Δvk1T+1為

根據(jù)ΔEkf再按照式（14）～式（21）進(jìn)行計(jì)算，直至脫靶量Δukf滿足要求。

5.3 微分修正迭代

為了獲得問(wèn)題的精確解，需要在給定初值CIG后，構(gòu)造式（8）給出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ的表達(dá)式。下面給出推導(dǎo)過(guò)程。

在初始狀態(tài)X0，終端狀態(tài)Xf和各次變軌點(diǎn)間的自由飛行過(guò)程的軌道預(yù)報(bào)同時(shí)，可以同時(shí)獲得各段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φi+1，i(i=0，1，2，…，n-1)和Φf，n，由此可以獲得各次變軌點(diǎn)到目標(biāo)狀態(tài)的

狀態(tài)轉(zhuǎn)移Φf，i(i=1，2，…，n-1)，表達(dá)為

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義，各次變軌點(diǎn)位置和速度偏差ΔXi=(Δri，Δvi)與終端狀態(tài)的偏差ΔXf=( Δrf，Δvf)的關(guān)系可以表示為

根據(jù)實(shí)際工程任務(wù)需要，將各次變軌點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量約定為軌道RTN 坐標(biāo)系的3 個(gè)方向速度增量分量(ΔviR，ΔviT，ΔviN)以及變軌點(diǎn)的緯度幅角ui共4 個(gè)設(shè)計(jì)變量，可以滿足實(shí)際工程任務(wù)的要求。下面將推導(dǎo)給出這4 個(gè)變量與ΔXi之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系。

1）3 個(gè)方向速度增量分量[ ΔviR，ΔviT，ΔviN]與ΔXi的關(guān)系

第i次變軌的狀態(tài)變量ΔXi對(duì)RTN3 方向速度增量的偏導(dǎo)數(shù)為

式中：i RMCERTN表示第i次變軌點(diǎn)RTN 坐標(biāo)系到MCE 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣。

2）變軌點(diǎn)的緯度幅角ui與ΔXi的關(guān)系

根據(jù)第i次變軌前的位置和速度，可以求得角動(dòng)量矢量

計(jì)算瞬時(shí)角速度矢量為

定義第i次變軌的速度增量Δvi為

計(jì)算第i次變軌產(chǎn)生的加速度變化Δai為

第i次變軌的狀態(tài)變量ΔXi對(duì)變軌時(shí)刻ti的偏導(dǎo)數(shù)為

因此，第i次變軌的狀態(tài)變量ΔXi對(duì)變軌點(diǎn)緯度幅角ui的偏導(dǎo)數(shù)為

3）控制變量Ci與ΔXi的關(guān)系

定義第i次變軌的控制變量Ci為

各次變軌控制變量Ci與狀態(tài)變量Xi之間的偏差傳遞關(guān)系ΦiX，C為

4）控制變量Ci與ΔEf的關(guān)系

第i次變軌的控制變量Ci與終端狀態(tài)的Xf之間的偏導(dǎo)數(shù)傳遞關(guān)系為

各列可以分別由4 個(gè)6x1 的列向量組成，具體表示為

所以，各次變軌點(diǎn)控制變量偏差ΔCi與終端狀態(tài)的偏差ΔXf關(guān)系進(jìn)一步可以表示為

將式（37）轉(zhuǎn)換為近圓軌道要素描述的終端微分修正方程：

式中：ΦEX是近圓軌道要素對(duì)位置速度的偏導(dǎo)數(shù)。

式（38）中一共有4N個(gè)控制變量（N為變軌次數(shù)），6 個(gè)目標(biāo)變量。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)任務(wù)需要，從4N個(gè)控制變量Ci中選擇若干個(gè)控制變量，從6 個(gè)終端狀態(tài)差ΔEf中選擇若干目標(biāo)變量組成問(wèn)題相關(guān)問(wèn)題求解。

5）上升器四脈沖方案狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)式（6）給出的上升器四脈沖交會(huì)方案的6 個(gè)設(shè)計(jì)變量，可以得到該方案對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φf，C將由如下部分組成：

因此，終端狀態(tài)Ef和設(shè)計(jì)變量C的偏差傳遞關(guān)系可以寫(xiě)為

定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ為

因此式（40）可以改寫(xiě)為

在給定初值CIG后，采用迭代格式式（8），可以獲得控制變量C的精確數(shù)值解。

5.4 緯度幅角優(yōu)化

用于求解交會(huì)問(wèn)題的邊界條件和參數(shù)大多數(shù)已經(jīng)在1.2 節(jié)根據(jù)工程任務(wù)約束和要求進(jìn)行了確定，只剩下各次變軌點(diǎn)的緯度幅角需要確定。由于變軌點(diǎn)緯度幅角設(shè)計(jì)需要考慮變軌過(guò)程的測(cè)控弧段支持情況并兼顧整個(gè)任務(wù)速度增量最小，因此需要在交會(huì)策略求解后與整個(gè)交會(huì)策略進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，是一個(gè)典型的約束優(yōu)化問(wèn)題。5.4.1～5.4.3 節(jié)將對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)討論。

5.4.1 變軌過(guò)程測(cè)控約束建模

變軌過(guò)程測(cè)控約束建模的目的是建立變軌點(diǎn)緯度幅角與測(cè)控約束條件的定量化關(guān)系。根據(jù)嫦娥五號(hào)上升器確定的變軌策略：在遠(yuǎn)程導(dǎo)引階段采用4 臺(tái)120 N 發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)施軌道控制，并預(yù)留0.3 m/s 速度增量采用2 臺(tái)10 N 發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行精確軌道控制?？刂七^(guò)程采用慣性定向模式。軌控前將探測(cè)器從對(duì)日定向姿態(tài)轉(zhuǎn)為軌控定向姿態(tài)，姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)15 min。變軌全過(guò)程的飛行時(shí)序如圖5 所示。

圖5 變軌過(guò)程時(shí)序Fig.5 Illustration of finite maneuver profile

為了確保變軌前調(diào)姿和發(fā)動(dòng)機(jī)工作全過(guò)程在測(cè)控站監(jiān)視下實(shí)施，從而保留最大限度的應(yīng)急處置能力，因此，120 N 發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始時(shí)刻應(yīng)大于進(jìn)站時(shí)刻15 min 以上，10 N 發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)機(jī)時(shí)刻應(yīng)小于出站時(shí)刻；進(jìn)一步考慮進(jìn)站時(shí)測(cè)站捕獲時(shí)間，和出站前發(fā)動(dòng)緊急關(guān)機(jī)應(yīng)急指令的時(shí)間，進(jìn)出站各留1 min 的時(shí)間。

因此，變軌過(guò)程需要滿足調(diào)姿開(kāi)始時(shí)刻大于進(jìn)站時(shí)刻1 min 以上；發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)刻小于出站時(shí)刻1 min 以上，從而確保變軌前姿態(tài)調(diào)整和變軌全過(guò)程在測(cè)控站監(jiān)視下實(shí)施。據(jù)此，考慮到發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際的執(zhí)行過(guò)程，可以折算出對(duì)變軌點(diǎn)緯度幅角范圍的約束，具體如表4 所示。表4 的結(jié)果將作為后續(xù)變軌過(guò)程測(cè)控約束優(yōu)化問(wèn)題求解的重要輸入條件。

表4 交會(huì)對(duì)接變軌測(cè)控條件緯度幅角約束Table 4 Angular position constraint of rendezvous maneuvers

5.4.2 約束優(yōu)化問(wèn)題

變軌過(guò)程測(cè)控可見(jiàn)的最優(yōu)導(dǎo)引策略設(shè)計(jì)問(wèn)題可以描述成如式（43）所示的約束優(yōu)化問(wèn)題：

式中：ΔVtotal為變軌總速度增量；uLB1、uLB3和uLB4分別代表第1、3、4 次變軌緯度幅角的范圍下限；uUB1、uUB3和uUB4分別代表第1、3、4 次變軌緯度幅角的范圍上限。

可以看出，由于采用了緯度幅角作為設(shè)計(jì)變量，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的邊界約束優(yōu)化問(wèn)題。而傳統(tǒng)方法中，采用變軌點(diǎn)時(shí)刻作為設(shè)計(jì)變量，在處理測(cè)控約束時(shí)，問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為非線性約束優(yōu)化問(wèn)題，問(wèn)題的求解會(huì)困難得多。

5.4.3 約束優(yōu)化問(wèn)題的求解

理論上，可以采用任何一種優(yōu)化算法對(duì)式（43）進(jìn)行求解。但是，設(shè)計(jì)變量采用緯度幅角描述后，設(shè)計(jì)變量與優(yōu)化目標(biāo)間的關(guān)系變得更加簡(jiǎn)單、直接，通過(guò)單變量分析，可以得到物理意義清晰的結(jié)果，從而多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的求解可以轉(zhuǎn)化為多個(gè)單變量問(wèn)題，降階求解。下面將進(jìn)行詳細(xì)敘述。

1）第1 次變軌點(diǎn)位置調(diào)整

由于入軌后的軌道為偏心率約0.04 的小橢圓軌道，根據(jù)二體軌道動(dòng)力學(xué)的規(guī)律，第1 次變軌能量最優(yōu)的位置應(yīng)該在遠(yuǎn)月點(diǎn)附近。因此，可以在此緯度幅角前后一定區(qū)間內(nèi)遍歷u1，然后使得u3和u4在[0，2π)范圍內(nèi)變化，計(jì)算對(duì)應(yīng)給定u1，使得總速度增量ΔVtotal最小的解：uopt3和uopt4以及對(duì)應(yīng)最小總速度增量ΔVopttotal。圖6 給出了最小總速度增量ΔVopttotal隨第1 次變軌緯度幅角u1的變化曲線。

圖6 第1 次變軌緯度幅角u1對(duì)速度增量的影響Fig.6 Relationship between and u1 of the first orbi tal maneuver

從圖6中可以看出，u1的最優(yōu)解在遠(yuǎn)月點(diǎn)附近，約為uopt1=285°，最優(yōu)的速度增量約為50.5 m/s。當(dāng)u1取為最優(yōu)解uopt1后，u3和u4的變化對(duì)應(yīng)的總速度增量ΔVtotal變化如圖7 所示。

圖7 第1 次變軌最優(yōu)緯度幅角u3、u4對(duì)應(yīng)的總速度增量Fig.7 Relationship between ΔVtotal and u3，u4 with optimal u1 of the first orbital maneuver

從圖7 中可以看出，當(dāng)u1為最優(yōu)解時(shí)，u3和u4對(duì)應(yīng)著若干近似的最優(yōu)解，這對(duì)應(yīng)著圖中近似為一個(gè)條帶的最小速度增量區(qū)域。因此，問(wèn)題存在多個(gè)近似最優(yōu)解。如果采用一般的優(yōu)化算法求解，只能得到一個(gè)最優(yōu)的結(jié)果，其多解特性很容易被錯(cuò)過(guò)。

在測(cè)控約束下，針對(duì)第1 次變軌點(diǎn)位置，采用圖5 給出的變軌模型，為了確保全變軌過(guò)程可見(jiàn)，變軌緯度幅角將從285°調(diào)整為271°，從而確保關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)刻調(diào)整到出測(cè)控站前1 min。

2）第3、4 次變軌點(diǎn)位置調(diào)整

當(dāng)不考慮測(cè)控約束時(shí)，全局最優(yōu)解對(duì)應(yīng)著若干組滿足要求的u3和u4。而當(dāng)u1滿足測(cè)控約束，放在非最優(yōu)變軌位置后，u3和u4的特性發(fā)生了重大的變化。圖8 給出了當(dāng)u1=271°時(shí)，隨u3和u4變化，總速度增量ΔVtotal二位等高線圖。

從圖8 中可以看出，當(dāng)u1偏離最優(yōu)位置，與最優(yōu)位置相比，總速度增量明顯增加。u3和u4不再成對(duì)出現(xiàn)形成最優(yōu)解，而是呈現(xiàn)出各自單調(diào)變化的關(guān)系，但這對(duì)于分別確定u3和u4最優(yōu)變軌位置非常有好處。u3是進(jìn)站前測(cè)控條件不滿足，根據(jù)測(cè)控條件分析結(jié)果，滿足測(cè)控約束的u3范圍是u3＞101.0°?？紤]到隨著u3增加，總速度增量單調(diào)增加，因此u3的最優(yōu)值確定為101.0°。類(lèi)似地，u4的最優(yōu)值確定為290.0°。最終確定的上升器的交會(huì)導(dǎo)引方案如表5 所示。

表5 上升器交會(huì)導(dǎo)引方案Table 5 Rendezvous scheme of ascender

圖8 第3、4 次變軌點(diǎn)緯度幅角對(duì)速度增量的影響Fig.8 Relationship between ΔVtotal and u3、u4 of the third and fourth orbital maneuvers

入軌點(diǎn)和瞄準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)稱(chēng)參數(shù)如表6 所示。軌道面參數(shù)升交點(diǎn)赤經(jīng)和傾角由任務(wù)的發(fā)射窗口和采樣點(diǎn)位置共同決定。整個(gè)飛行過(guò)程的上升器遠(yuǎn)程引導(dǎo)策略如圖9 所示。

圖9 上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引策略Fig.9 Remote guidance strategy of ascender

表6 入軌點(diǎn)及瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)Table 6 Parameters of initial orbit and aim point

6 嫦娥五號(hào)任務(wù)飛行實(shí)踐

以嫦娥五號(hào)上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引在軌實(shí)施的實(shí)際策略為例，驗(yàn)證本文算法的有效性。

嫦娥五號(hào)任務(wù)上升器于北京時(shí)間2020-12-23 從月面起飛，根據(jù)入軌后的測(cè)定軌數(shù)據(jù)，上升器的遠(yuǎn)程導(dǎo)引入軌點(diǎn)參數(shù)如表7 所示。

表7 上升器入軌點(diǎn)參數(shù)（MCE 坐標(biāo)系）Table 7 Initial state of ascender （MCE coordinate system）

入軌后51 h，上升器到達(dá)交班點(diǎn)時(shí)刻。根據(jù)軌返組合體的定軌數(shù)據(jù)，以及圖4 給出的交班點(diǎn)兩器相對(duì)位置關(guān)系，計(jì)算得到的上升器交會(huì)調(diào)相瞄準(zhǔn)點(diǎn)參數(shù)如表8 所示。

表8 上升器交班點(diǎn)目標(biāo)參數(shù)（MCE 坐標(biāo)系）Table 8 State of aim point （MCE coordinate system）

采用本文給出的變軌點(diǎn)位置約束下的燃料優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，得到上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引變軌控制策略如表9 所示，變軌飛行時(shí)序如表10 所示。

表9 上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引有限推力控制策略Table 9 Finite thruster maneuvers for ascender rendezvous phasing strategy

表10 上升器遠(yuǎn)程導(dǎo)引變軌飛行時(shí)序Table 10 Mission profile of ascender rendezvous phasing min

各次變軌過(guò)程與測(cè)控弧段的相對(duì)位置關(guān)系如圖10 所示。與表5 的測(cè)控可見(jiàn)約束對(duì)比可知，各次變軌過(guò)程與測(cè)控弧段保持了設(shè)計(jì)的相對(duì)關(guān)系，所有變軌全過(guò)程均在測(cè)控弧段監(jiān)視下完成，實(shí)施結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求。

圖10 變軌點(diǎn)位置示意圖Fig.10 Angular position of maneuvers and tracking arc

文獻(xiàn)［22］給出了嫦娥五號(hào)任務(wù)前期的交會(huì)軌道標(biāo)稱(chēng)設(shè)計(jì)過(guò)程及方法，其實(shí)質(zhì)是本文在第4 節(jié)表2 中給出的傳統(tǒng)四脈沖交會(huì)策略。其在設(shè)計(jì)過(guò)程中也考慮了脈沖變軌點(diǎn)均在測(cè)控弧段內(nèi)的工程約束，但是由于在設(shè)計(jì)中僅采用了脈沖模型，未考慮有限推力實(shí)施過(guò)程以及控前的調(diào)姿過(guò)程測(cè)控需求。這就造成了雖然各次脈沖變軌點(diǎn)都在測(cè)控弧段內(nèi)，但在飛控過(guò)程中采用有限推力模型下，無(wú)法保證變軌及控前調(diào)姿過(guò)程的測(cè)控需求。此外，由于其第4 次變軌采用了傳統(tǒng)的切向分量和緯度幅角 (Δv4T，u4)的組合模式，變軌位置是設(shè)計(jì)變量，無(wú)法通過(guò)主動(dòng)設(shè)計(jì)確保第四次變軌過(guò)程與測(cè)控弧段的相對(duì)位置關(guān)系。由于上述原因，該策略無(wú)法滿足實(shí)際飛控需求，如果采用這種策略將會(huì)給實(shí)際飛控實(shí)施造成很大的困難。

正是由于存在以上缺陷，文獻(xiàn)［22］通過(guò)實(shí)際飛行結(jié)果與其策略比較也明確認(rèn)識(shí)到：實(shí)際飛控實(shí)施所采用的策略與自己所設(shè)計(jì)的策略并不相同，進(jìn)行了諸多調(diào)整。

相比之下，本文給出的策略完全克服了文獻(xiàn)［22］策略的不足。不但考慮了圖5 給出的變軌過(guò)程完整調(diào)姿和有限推力的飛行時(shí)序，還專(zhuān)門(mén)對(duì)規(guī)劃策略進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)，將第4 次變軌的設(shè)計(jì)變量改為徑向分量和切向分量 (Δv4R， Δv4T)，使得變軌位置u4不再作為設(shè)計(jì)變量出現(xiàn)，從而可以通過(guò)指定u4來(lái)精確地保證第4 次變軌過(guò)程與測(cè)控弧段的相對(duì)位置關(guān)系。上述計(jì)算結(jié)果也表明，本文策略設(shè)計(jì)的結(jié)果與嫦娥五號(hào)實(shí)際飛控結(jié)果完全吻合，是嫦娥五號(hào)實(shí)際飛控所采用的策略。

另外需要指出的是，在月球背面遮擋條件下，確保所有變軌過(guò)程測(cè)控條件是嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)策略區(qū)別于以往近地軌道交會(huì)策略的一個(gè)顯著特征。文獻(xiàn)［22］給出的策略與本文給出的策略從設(shè)計(jì)變量、約束條件和求解方法上均不相同，是2 種完全不同的策略，只有采用本文給出的全新的設(shè)計(jì)模型，通過(guò)嚴(yán)格數(shù)值求解才能得到與飛控實(shí)施完全吻合的結(jié)果。

本文給出的考慮變軌點(diǎn)測(cè)控約束的交會(huì)策略設(shè)計(jì)模型和方法為后續(xù)實(shí)施類(lèi)似任務(wù)提供了重要的參考依據(jù)。

7 結(jié) 論

嫦娥五號(hào)任務(wù)于北京時(shí)間2020-12-06 完成月球軌道交會(huì)對(duì)接與樣品轉(zhuǎn)移，這是世界首次月球軌道無(wú)人交會(huì)對(duì)接任務(wù)。嫦娥五號(hào)月球軌道交會(huì)導(dǎo)引策略與以往任務(wù)均有很大不同，沒(méi)有完全相同的方案可以直接采用。針對(duì)在月球軌道條件下的變軌過(guò)程全程測(cè)控可見(jiàn)的強(qiáng)約束要求，建立了以緯度幅角為變量的近圓軌道偏差方程，設(shè)計(jì)了各變軌點(diǎn)可精確指定位置的四脈沖變軌策略。將交會(huì)策略設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)遍歷各次變軌的緯度幅角進(jìn)行了求解。結(jié)果表明：變軌點(diǎn)位置約束優(yōu)化問(wèn)題能量最優(yōu)解是唯一的，僅存在于變軌點(diǎn)處于緯度幅角約束的邊界處。本文提出的變軌點(diǎn)位置測(cè)控強(qiáng)約束下的交會(huì)導(dǎo)引策略優(yōu)化求解方法及獲得的全局特性規(guī)律將對(duì)后續(xù)中國(guó)嫦娥六號(hào)任務(wù)和未來(lái)的載人登月任務(wù)提供重要的參考。