黃 勇 林晴嵐

(福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025)

等差數(shù)列是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂) 》(以下簡稱高中數(shù)學(xué)課標(biāo)) 的課程內(nèi)容中函數(shù)主線下的數(shù)列主題的重要內(nèi)容之一。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求，教師創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)新概念的情境，讓學(xué)生有能力依據(jù)已有的材料和知識，經(jīng)歷數(shù)學(xué)新概念產(chǎn)生必然過程，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度對事物現(xiàn)象進(jìn)行觀察，從而發(fā)現(xiàn)、思考、分析現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象，正確地做出符合事實(shí)的數(shù)學(xué)推測，形成數(shù)學(xué)直覺，[1]提升學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察事物現(xiàn)象的能力。從培育數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)方面，掌握構(gòu)建知識體系思維路徑，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的能力；從發(fā)展數(shù)學(xué)語言方面，從數(shù)學(xué)概念表達(dá)優(yōu)化過程中感悟數(shù)學(xué)語言的精準(zhǔn)與簡潔，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)抽象語言歸納與概括所觀察的現(xiàn)象的意識，促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，有效地幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。[1]

一、遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，培育數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

《等差數(shù)列的概念》這一學(xué)習(xí)內(nèi)容教學(xué)是以《數(shù)列》主題第一節(jié)數(shù)列的概念為基點(diǎn)，從貼近學(xué)生生活的實(shí)例中創(chuàng)設(shè)情境，通過借助具體事物來感知“等差” 所具有的特征，直至形成“等差數(shù)列” 概念的全過程。[2]學(xué)生在經(jīng)歷新概念形成的過程，理解并掌握用數(shù)學(xué)的語言正確規(guī)范表達(dá)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)的基本操作方法，以及用規(guī)范數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)新概念定義的細(xì)節(jié)要求。

(一) 創(chuàng)設(shè)情境，感知“等差”，培養(yǎng)思維的敏捷性

《等差數(shù)列的概念》是一節(jié)概念新授課，首先，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境感知“等差”，展開新概念的形成探究活動:

【引入情境】

1.我國有用12 生肖紀(jì)年的習(xí)慣，例如，1997 年是牛年，從1997 年開始，牛年的年份為1997，2009，2021，2033，2045，2057，…；

2.我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為285，280，275，270，265，260，255，250，…；

3.2023 年1 月中，每個星期日的日期為1，8，15，22，29。

問題1: 以上三個情境，通過數(shù)學(xué)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎? 你能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)情境1 嗎?

學(xué)生會借助數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，情境1 是相鄰兩項(xiàng)的差都是12 的數(shù)列，情境2 是相鄰兩項(xiàng)的差都是5 的數(shù)列，情境3 是相鄰兩項(xiàng)的差都是7 的數(shù)列。

情境1 可用學(xué)習(xí)過的數(shù)列表達(dá)方式表示為:

數(shù)列{an} 中a2-a1＝a3-a2＝a4-a3＝…＝12[2]

【設(shè)計(jì)意圖】 新概念的情境引入學(xué)習(xí)，是以學(xué)生生活中熟知實(shí)際現(xiàn)象為“等差” 學(xué)習(xí)的基本點(diǎn)，通過師與生一起經(jīng)歷對生活中的現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象觀察、分析、抽象、推理、歸納、概括等活動，感悟新知識的認(rèn)知過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)觀察、發(fā)現(xiàn)、思考、抽象和表達(dá)，感知“等差” 現(xiàn)象在生活中的普遍存在，自然形成“等差數(shù)列” 雛形的整個過程。體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。[3]

(二) 精確概括，感悟“等差”，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性

問題2: 能否歸納出以上三個數(shù)列的共同特征?會用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)這一特征規(guī)律嗎?

首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察從上面三種情境中抽象出的三個數(shù)列，發(fā)現(xiàn)每一個數(shù)列都有著后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一數(shù)值的規(guī)律特征。其次，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)習(xí)過的數(shù)列表達(dá)方式，正確地使用數(shù)列的常用符號{an}、{bn}或{cn} 來表達(dá)不同數(shù)列的規(guī)律特征，即情境1 可表達(dá)為: 數(shù)列{an} 中an＋1-an＝12，n∈N＋；情境2 可表達(dá)為: 數(shù)列{bn} 中bn＋1-bn＝-5，n∈N＋；情境3 可表達(dá)為: 數(shù)列{cn} 中cn＋1-cn＝7，n＝1，2，3，4，5。最后，歸納出三個數(shù)列共同特征是: 數(shù)列{yn} 滿足關(guān)系式y(tǒng)n＋1-yn＝d(d是常數(shù)，n≥1，n∈N＋)，認(rèn)識到等差數(shù)列可以分為遞增型等差數(shù)列、遞減等差數(shù)列、常數(shù)列。[2]

接著，師生一起歸納概括出等差數(shù)列的定義:

文字語言: 一般地，如果一個數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。[2]

數(shù)學(xué)符號語言: 數(shù)列{an} 中，若an＋1-an＝d(d是常數(shù)，n≥1，n∈N＋)，則數(shù)列{an} 為等差數(shù)列(AP)，d為公差。[2]

【設(shè)計(jì)意圖】 新概念的形成是基于現(xiàn)實(shí)問題中逐步抽象出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感知“等差”、體驗(yàn)“等差”、概括“等差”、表達(dá)“等差”。通過對案例的分析，觀察三個不同數(shù)列的個性特征，并且從特殊到一般，抽象概括出三個不同數(shù)列的共性，從文字語言和符號語言歸納出“等差數(shù)列”概念。深刻領(lǐng)會從“第二項(xiàng)起” “同一個常數(shù)” 等關(guān)鍵詞的意義，準(zhǔn)確把握好“等差” 是等差數(shù)列的特征規(guī)律，理解每一項(xiàng)對應(yīng)數(shù)學(xué)符號語言下標(biāo)的取值范圍。學(xué)生在新概念的形成學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)事物的個性與共性，會用數(shù)學(xué)的思維思考怎樣有序歸納概括事物的特殊性與一般性規(guī)律，會用數(shù)學(xué)的語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)事物的一般性規(guī)律，培養(yǎng)思維準(zhǔn)確性。[3]

(三) 深化理解，剖析“等差”，培養(yǎng)思維的縝密性

問題3: 一個等差數(shù)列至少有幾項(xiàng)? 它們之間有什么關(guān)系?

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系等差數(shù)列的定義，學(xué)生容易想到一個等差數(shù)列至少要有三項(xiàng)。

追問: 如果用a，b，c來表示等差數(shù)列的三項(xiàng)，那么它們之間滿足什么關(guān)系?

學(xué)生能聯(lián)系等差數(shù)列的定義，由定義可得:b-a＝c-b，即2b＝a＋c，或b＝

此時，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)運(yùn)算理解2b＝a＋c，確定b是a和c的算術(shù)平均值；從數(shù)列主題學(xué)習(xí)要求是用一個新的名詞“等差中項(xiàng)” 來刻畫這樣的算術(shù)平均值，由此引出等差中項(xiàng)的概念。

等差中項(xiàng): 由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列，可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.

師生一同從特殊到一般，歸納出: 等差數(shù)列{an} 中2an＝an＋1＋an-1(n≥2，n∈N＋)[2]也是成立的，也就是說，一個等差數(shù)列從第2 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，反之亦成立。這也是判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列的依據(jù)。

【設(shè)計(jì)意圖】 通過追問，引導(dǎo)學(xué)生從特殊數(shù)列學(xué)習(xí)等差中項(xiàng)的概念，歸納出等差中項(xiàng)公式，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)，深化理解“等差” 數(shù)列的概念。通過以上問題，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、去探索，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、抽象、概括的能力，同時，滲透特殊到一般的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維縝密性。

(四) 公式探究，運(yùn)用“等差”，培養(yǎng)思維的深刻性

問題4: 以情境1 為背景，如何求這個等差數(shù)列的第99 項(xiàng)、第999 項(xiàng)、第9999 項(xiàng)? 你的優(yōu)化運(yùn)算的策略是什么?

根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，用等差數(shù)列的遞推公式求解，即從數(shù)列{an} 中an＋1-an＝12，n∈N＋中，求此數(shù)列的第99 項(xiàng)、第999 項(xiàng)、第9999 項(xiàng)，計(jì)算量很大，需要不斷知道所求項(xiàng)的前一項(xiàng)。所以，若能構(gòu)建數(shù)列的所求項(xiàng)和所求項(xiàng)的序號之間關(guān)系模型，可以達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算的目標(biāo)，學(xué)生自然能想到尋找等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。[2]

【探究】 你能從等差數(shù)列定義的推導(dǎo)公式尋找等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?

引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d來表示數(shù)列的第n項(xiàng)an.

“迭代” 和“累加(疊加) ” 等方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式常見的重要方法，借助 “迭代” 和 “累加(疊加) ” 歸納得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:

等差數(shù)列{an} 的首項(xiàng)為a1，公差為d，通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n-1)d.(n≥2，n∈N＋)[2]

【設(shè)計(jì)意圖】 通過例題引出推導(dǎo)通項(xiàng)公式的必要性。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列定義，從特殊到一般進(jìn)行探究，并觀察、歸納、猜想、推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。讓學(xué)生經(jīng)歷了公式的探索過程，培養(yǎng)了學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！?能力和邏輯推理能力，感受通項(xiàng)公式的實(shí)用性。[2]學(xué)習(xí)過程順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，關(guān)注學(xué)生已有的知識儲備、思維能力與心理狀態(tài)，整體建構(gòu)符合學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)和對新知的認(rèn)識規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

(五) 聯(lián)系函數(shù)，拓展“等差”，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

問題5 : 觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會與我們熟悉的哪一類函數(shù)關(guān)系建立聯(lián)系?

改寫數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n-1)d.(n≥2，n∈N＋)，為an＝dn＋(a1-d)。一方面，數(shù)列是函數(shù)f(n)＝an＝dn＋(a1-d) 在自變量取正整數(shù)(n∈N＋)時的函數(shù)，與學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)f(x) ＝kx＋b(k，b為常數(shù)) 對應(yīng)的圖像是連續(xù)的，而數(shù)列對應(yīng)的圖像是散點(diǎn)圖，但這些散點(diǎn)一定都是均勻地落在一次函數(shù)的圖像上。[2]反之，任給一次函數(shù)f(x) ＝kx＋b(k，b為常數(shù))，則f(1) ＝k＋b，f(2) ＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個等差數(shù)列{an} 即{nk＋b}，其首項(xiàng)為a1＝k＋b，公差為d。[2]所以，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)公差的作用是斜率，等差數(shù)列的通項(xiàng)的單調(diào)性與公差d的關(guān)系也就一目了然。

【設(shè)計(jì)意圖】 從函數(shù)的角度再一次審視等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生一方面從代數(shù)關(guān)系式“式” 的角度探究等差數(shù)列，另一方面從圖像的“形” 的角度，通過數(shù)形結(jié)合、縱橫聯(lián)系來探究等差數(shù)列，感知等差數(shù)列各項(xiàng)在平面直角坐標(biāo)系中對應(yīng)一次函數(shù)上一群離散的孤立點(diǎn)，使得學(xué)生思維發(fā)展具體形象化，深化理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，對學(xué)生理解與掌握等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供“聯(lián)想” “類比” 的研究路徑。同時，滲透了函數(shù)與方程的思想，建立“等差數(shù)列這一特殊函數(shù)” 模型，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。[3]

二、提升思維品質(zhì)，培育核心素養(yǎng)

(一) 深化數(shù)列概念理解，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

問題6: (1) 已知等差數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式為an＝5-2n，求數(shù)列{an} 的首項(xiàng)和公差。[2]

(2) 求等差數(shù)列8，5，2，…的第20 項(xiàng)。[2]

(3) -401 是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)? 如果是，是第幾項(xiàng)?

(4) 等差數(shù)列{an} 中，已知a5＝10，a12＝31，求a100。

(5) 在-1 與7 之間順次插入三個數(shù)a，b，c，使這五個數(shù)形成等差數(shù)列，求此數(shù)列。[2]

(6) 已知數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，設(shè)bn＝2an＋3，求證: 數(shù)列{bn} 也是等差數(shù)列。[2]

【設(shè)計(jì)意圖】 問題1 領(lǐng)會等差數(shù)列通項(xiàng)公式中通項(xiàng)與首項(xiàng)之間的關(guān)系，確定等差數(shù)列公差所需的基本元素，掌握用通項(xiàng)公式求解其他基本元素的轉(zhuǎn)化思想。

問題2 利用等差數(shù)列定義，會從已知等差數(shù)列的項(xiàng)中，運(yùn)用求等差數(shù)列通項(xiàng)的基本方法，尋求具體項(xiàng)。

問題3 靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化成方程，判別所給具體數(shù)是否滿足是數(shù)列對應(yīng)方程的解的條件，以此判別所給元素是不是已知數(shù)列中的某一項(xiàng)。

問題4 會用基本量法解決相關(guān)等差數(shù)列問題，掌握用方程的思想結(jié)合等差數(shù)列定義綜合解決相關(guān)問題的基本方法。

問題5 借助等差數(shù)列的某些項(xiàng)，尋求等差數(shù)列的公差，進(jìn)而明確有限項(xiàng)數(shù)列的每一項(xiàng)。

問題6 是等差數(shù)列的證明，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義、性質(zhì)和通項(xiàng)，建立已知數(shù)列{an} 和目標(biāo)數(shù)列{bn}，掌握將未知轉(zhuǎn)化為已知這一解決相關(guān)問題的常用基本思想方法，以及嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地表達(dá)代數(shù)證明的基本步驟和方法。

【小結(jié)】 以上6 個問題，重點(diǎn)讓學(xué)生在實(shí)踐中感悟知識間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生深化理解等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)，把握具體問題解決需要轉(zhuǎn)化的條件，把握運(yùn)用等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式和性質(zhì)應(yīng)用在解決具體問題時的基本思路，體會數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、代數(shù)推理與數(shù)學(xué)模型的有機(jī)融合，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，深化對等差數(shù)列概念的理解，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。[3]

(二) 厘清學(xué)習(xí)路徑，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)主線內(nèi)容的總體學(xué)習(xí)路徑是從研究事物的一般特征開始，在認(rèn)識了一般事物的共同特征后，繼而展開對具有典型特征事物的特殊性研究。[3]《等差數(shù)列的概念》這一學(xué)習(xí)內(nèi)容是人教版高中數(shù)學(xué)選擇必修二第四章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識特殊數(shù)列的開始，是新課標(biāo)課程內(nèi)容函數(shù)主線的數(shù)列主題內(nèi)容之一，也是新課程新教材必修函數(shù)主題學(xué)習(xí)內(nèi)容的延續(xù)與深化。[3]

《等差數(shù)列概念》是從學(xué)習(xí)一般數(shù)列到特殊數(shù)列——等差數(shù)列內(nèi)容的第一課時，等差數(shù)列主題主要研究等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)、等差數(shù)列與一次函數(shù)間的聯(lián)系等。[3]通過創(chuàng)設(shè)問題情境，以“問題串” 引導(dǎo)學(xué)生善用敏銳的數(shù)學(xué)眼光觀察，從而感知“等差” 規(guī)律；激發(fā)學(xué)生主動探究，會用數(shù)學(xué)思維展開問題思考，分析歸納概括“等差” 的特征，形成“等差數(shù)列” 雛形，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程；[4]經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)、簡潔地表達(dá)“等差” 特征，形成“等差數(shù)列” 概念的過程，在深化對“等差數(shù)列” 概念的理解過程中，發(fā)現(xiàn)“等差數(shù)列” 的性質(zhì)，通過歸納猜想探索“等差數(shù)列” 的通項(xiàng)公式，利用“數(shù)形結(jié)合” 感受等差數(shù)列與一次函數(shù)的緊密聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)“模型思想”；運(yùn)用“等差數(shù)列” 定義、通項(xiàng)公式和性質(zhì)，合理將知識遷移，強(qiáng)化知識間聯(lián)系，感悟解決問題基本方法和策略，促進(jìn)對新概念的鞏固聯(lián)系、拓展提升。[4]歸納總結(jié): 感知“等差” 概念，認(rèn)識“等差” 規(guī)律，構(gòu)建“等差” 模型，理解“等差” 特征，應(yīng)用“等差” 解決具體問題，發(fā)揮“等差” 的實(shí)際作用價值。學(xué)生從經(jīng)歷過程中自然獲得對事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律的認(rèn)識，體驗(yàn)、感受新概念的產(chǎn)生和形成的必然性，掌握探索事物發(fā)展規(guī)律的基本方法，科學(xué)認(rèn)識事物發(fā)展必然規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生對事物的整體認(rèn)識從感性提升到理性，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。[4]

三、結(jié)語

《等差數(shù)列的概念》這一課是概念教學(xué)，針對“等差數(shù)列” 概念的特點(diǎn)，主要完成“等差數(shù)列” 概念的形成和概念的同化兩個環(huán)節(jié)。[4]教學(xué)中，一項(xiàng)新概念對學(xué)生而言，初次接觸可能較難理解，需要通過對大量具體的案例觀察分析，讓學(xué)生從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，歸納出這類事物的特征，聯(lián)系和區(qū)別已有的概念，形成對這一特性的確定性定義，這就是形成新概念過程。在這一過程中，要做好與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有概念相互聯(lián)系、作用的引導(dǎo)，幫助學(xué)生領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，獲得新概念的同化。[5]通過對實(shí)例的歸納和辨析，促使對新概念的特性形成表述的理解。有機(jī)聯(lián)系原有的知識結(jié)構(gòu)，完成對新概念的學(xué)習(xí)理解。等差數(shù)列的學(xué)習(xí)路徑和策略，對后續(xù)等比數(shù)列等主題內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論是在新概念認(rèn)識、理解上，還是思想方法、應(yīng)用上，都有著可“聯(lián)想” “類比” “遷移”研究的重要價值。只有構(gòu)建不斷思考和探索學(xué)習(xí)與研究的路徑，才能促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升，達(dá)到培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。