夏鴻鳴

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001)

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣,已有300多年的歷史,早期因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分缺乏應(yīng)用背景和計(jì)算困難等原因,分?jǐn)?shù)階微積分理論及應(yīng)用沒有得到實(shí)質(zhì)性進(jìn)展[1].近20 a來(lái),由于計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展,學(xué)者發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分有很多的優(yōu)點(diǎn),可以更加準(zhǔn)確地描述與歷史相關(guān)的物理變化過程,實(shí)際系統(tǒng)具有這種動(dòng)態(tài)特性的現(xiàn)象很多,因此,很多學(xué)者在不同的領(lǐng)域采用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)描述,并得到了很好的結(jié)果[2-5].另一方面,分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)與對(duì)應(yīng)的整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比有著更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為,目前,學(xué)者研究了很多的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)并取得了大量的優(yōu)秀成果[6-8].最近幾年,很多新的混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn),如多翼混沌系統(tǒng)、級(jí)聯(lián)混沌系統(tǒng)等,研究表明,許多系統(tǒng)具有多重穩(wěn)定性,共存吸引子是非線性系統(tǒng)中存在的一種新的動(dòng)力學(xué)行為,通過調(diào)整初始狀態(tài),系統(tǒng)運(yùn)行軌線可能漸近趨向點(diǎn)、混沌、周期、準(zhǔn)周期等不同的穩(wěn)定狀態(tài),存在共存吸引子的混沌系統(tǒng)在保密通信領(lǐng)域有更好的應(yīng)用價(jià)值[9].基于此,本文中,筆者提出了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),不斷調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)和初值條件,得到了系統(tǒng)的各種共存吸引子,并進(jìn)一步研究了此分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的混合同步控制問題.

1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

定義1分?jǐn)?shù)階微積分是對(duì)非整數(shù)階積分-微分算子的推廣,如下定義[2]:

(1)

其中,q表示階數(shù),R(q)表示q的實(shí)部,a和t是積分的上下限.由于Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義幾何和物理意義明確,在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛,因此采用Caputo定義.

定義2函數(shù)f(x)的Caupto分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(2)

為了簡(jiǎn)單起見,關(guān)于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的表達(dá)式中積分下限統(tǒng)一用*代替.

2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)描述

文獻(xiàn)[10]提出了一個(gè)整數(shù)階的四維非線性系統(tǒng),方程如下描述:

(3)

其中x,y,z,w是狀態(tài)變量,a,b,c,d是正的參數(shù).結(jié)果表明系統(tǒng)(1)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

考慮系統(tǒng)的階數(shù)為分?jǐn)?shù)階,則相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程表示如下:

(4)

首先,計(jì)算系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

(5)

通過計(jì)算可得,系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為s=(0,0,0,0),進(jìn)一步計(jì)算雅克比矩陣

(6)

令det(λI-J)=0,可得下列多項(xiàng)式:

f(λ)=λ4+P3λ3+P2λ2+P1λ+P0,

(7)

其中

(8)

根據(jù)穩(wěn)定性理論,此平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

2.1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌和分岔分析

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選取a=6,b=4,c=8,d=2時(shí),調(diào)整系統(tǒng)的階數(shù)qi(i=1,2,3,4),這里考慮等階的情形q1=q2=q3=q4=q.圖1a,b給出了階數(shù)不同時(shí)系統(tǒng)的相圖.當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)為q=0.64時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期態(tài),隨著階數(shù)的增加,系統(tǒng)產(chǎn)生混沌吸引子.

a.q=0.64; b.q=0.96.圖1 階數(shù)不同時(shí),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)的相圖Fig.1 2-D Projections of New System (4) in the xOz Plane for Different Orders

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,固定系統(tǒng)的階數(shù),調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),利用分岔圖研究系統(tǒng)(4)的分岔過程.

系統(tǒng)參數(shù)選取b=4,c=8,d=2,q=0.96時(shí),改變參數(shù) 2.0≤a≤3.2,系統(tǒng)隨著參數(shù)a變化的分岔圖見圖2.可以看出,當(dāng)參數(shù)值a∈[3.05 3.2]時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌吸引子,當(dāng)參數(shù)值a=2.6時(shí),系統(tǒng)發(fā)生一系列的倍周期分岔.

圖2 當(dāng)a∈(2.0,3.2)時(shí),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)的分岔圖Fig.2 Bifurcation Diagram of the Fractional Order System Showing Period-doubling Route to Chaos fora∈(2.0,3.2)

系統(tǒng)(4)對(duì)應(yīng)分岔圖的二維相圖如圖3a,b所示.

qi=0.96(i=1,2,3,4); a.a=2.9;b.a=3.2.圖3 當(dāng)a取不同值時(shí),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)的不同吸引子Fig.3 Phase Portraits of Various Attractors the Fractional-order System (4) for Derivative Order

接下來(lái),系統(tǒng)參數(shù)選取a=6,c=8,d=2,不斷調(diào)整參數(shù)11.0≤b≤15.5,系統(tǒng)(4)的分岔圖見圖4.

圖4 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)隨著參數(shù)b變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation Diagram of the Fractional Order System (4) forb∈(11.0,15.5)

由圖4可見,當(dāng)b=12時(shí),系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,其對(duì)應(yīng)的相圖見圖5a,b.

a.b=14; b.b=15.5.圖5 當(dāng)b取不同值時(shí),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)的不同吸引子Fig.5 Attractors of the Fractional Order System with Different Parameters

由圖5可見,當(dāng)參數(shù)取一定值時(shí),系統(tǒng)(4)從混沌態(tài)跳躍到周期態(tài).

2.2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的共存吸引子

主要考慮改變初始條件和系統(tǒng)參數(shù),分析系統(tǒng)(4)的共存吸引子.為簡(jiǎn)單起見,固定系統(tǒng)的階數(shù)為q=0.96.對(duì)于此系統(tǒng)的共存吸引子,分以下幾種取值形式.

1) 系統(tǒng)參數(shù)取值為a=6,b=4,c=1.25,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4時(shí),共存吸引子如圖6a所示.可以看出,系統(tǒng)呈現(xiàn)1周期.

2) 當(dāng)參數(shù)取值為a=6,b=4,c=2,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4時(shí),系統(tǒng)(4)的共存吸引子如圖6b所示.可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)呈現(xiàn)4周期.

3) 當(dāng)參數(shù)取值為a=6,b=10.1,c=8,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4時(shí),共存吸引子如圖 7a所示.

4) 當(dāng)參數(shù)取值為a=8.9,b=4,c=8,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4時(shí),共存吸引子如圖7b所示.

紅色和藍(lán)色吸引子對(duì)應(yīng)的初值分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4;參數(shù)值分別為a.a=6,b=4,c=1.25,d=2; b.a=6,b=4,c=2,d=2.圖6 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)隨著系統(tǒng)參數(shù)和初值條件變化的共存吸引子Fig.6 Coexisting Attractors of Fractional Order System (4) with Varied System Parameters

紅色和藍(lán)色吸引子對(duì)應(yīng)的初值分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4;參數(shù)值分別為a.a=6,b=10.1,c=8,d=2; b.a=8.9,b=4,c=8,d=2.圖7 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)隨參數(shù)值和初值條件變化的各類共存吸引子Fig.7 Various Coexisting Attractors of Fractional Order System (4) with Varied System Parameters

從上述數(shù)值模擬中可以看出,當(dāng)改變系統(tǒng)的初值和參數(shù)值時(shí),新的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)呈現(xiàn)出各類不同的共存吸引子,包括周期、倍周期、混沌吸引子.

3 結(jié) 論

提出了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng),并研究了此系統(tǒng)的豐富的動(dòng)力學(xué)行為.主要包括穩(wěn)定點(diǎn)分析以及不同參數(shù)下的相圖、系統(tǒng)隨著不同的參數(shù)變化的分岔圖;進(jìn)一步調(diào)整系統(tǒng)的初始條件和參數(shù)取值,數(shù)值仿真得到了新系統(tǒng)不同狀態(tài)的共存吸引子.