離散可積系統(tǒng)在求解非線性晶格方程中的應(yīng)用研究*

朱永芳

(安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部 安徽合肥 230601)

人類對自然界的認(rèn)識呈螺旋式曲折上升，科學(xué)家逐漸意識到非線性是現(xiàn)實世界的普遍特性，其中孤立子理論和可積系統(tǒng)的研究不斷完善著非線性的科學(xué)體系.孤立子波是非線性波動方程的一類脈沖狀的行波解[1].線性的波動方程具有行波解，時間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)作為方程的組合變量.波形隨著時間的發(fā)展而不斷向前推進(jìn)，但是色散效應(yīng)的存在使得波的不同部分頻率不同，傳播速度也不相同.非線性系統(tǒng)的波在前進(jìn)中不僅存在色散效應(yīng)的干擾，還會出現(xiàn)非線性項，兩種作用同時存在又可互相抵消，因此出現(xiàn)孤立波解[2-3].孤立波具有質(zhì)量特性，遵循能量守恒定律和彈性守恒定律，因此可將其視為粒子，又名孤立子.大量的方程均可用孤立子理論證明其可積性.其中非線性微分差分方程可作為求解金融問題、超導(dǎo)問題、生物科學(xué)問題和光線通行問題等的數(shù)學(xué)模型，具有廣泛的應(yīng)用前景[4].

左茂武等人針對兩艾里-高斯光束在非局域性非線性缺陷晶格中的相互作用，通過討論其光束入射角、兩光束相位差等方式進(jìn)行了數(shù)值研究，成功發(fā)現(xiàn)可形成兩個不同傳輸方向的孤子對[5].Camassa R對完全可積淺水方程的初值問題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)產(chǎn)生的有限維投影到其一類分布解上時，能夠采用粒子法來實現(xiàn)對波動方程的數(shù)值求解[6].鑒于此，該研究構(gòu)造了離散的特征值問題，將等譜問題的雙非線性化應(yīng)用至離散可積系的求解問題中.

1 一族微分差分方程族的可積辛映射

1.1 離散可積系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)

有限維Hamilton系統(tǒng)可通過Liouville-Arnold定理證明其可積性，但無限維的Hamilton系統(tǒng)無法使用有限維的證明思路實現(xiàn)求解，只能從局部研究其性質(zhì).該研究首先尋找其Lax可積、構(gòu)建Hamilton結(jié)構(gòu)，其次通過前述分析基礎(chǔ)尋找其可積辛映射.

(1)

(2)

(3)

公式(3)中的J是哈密頓算子，L為遞推算子.研究使用跡恒等式構(gòu)建Liouville可積的Hamilton結(jié)構(gòu)，得出離散等譜問題的屠格式.

令V=ΓU-1=

(4)

將公式(4)帶入跡恒等式，可得：

(5)

令公式(5)中的n=1，可得ε=0.故公式(3)可寫為Hamilton形式：

(6)

公式(6)中的J為Hamilton算子，可驗證(JL*)=-JL.

利用J定義Poisson括號{f，g}J=

(7)

(8)

1.2 Bargmann約束下的雙非線性化

非線性微分差分方程系統(tǒng)具有空間離散化的特性，求解過程相較其他類型的方程更為復(fù)雜，目前學(xué)術(shù)界常使用雙非線性化理論構(gòu)建其可積辛映射，并通過合適的對稱約束求解方程族的解[7-8].Lax方程的函數(shù)表達(dá)式為：

(9)

記Φi=(φi1，φi2，..，φiN)T，Ψi=(Ψi1，Ψi2，..，ΨiN)T，i=1，2，可得到顯示表達(dá)式：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2 Toda晶格方程的Hamilton結(jié)構(gòu)及其非線性化

Toda晶格方程是一種特殊非線性勢函數(shù)的非線性晶格方程，目前應(yīng)用較為廣泛的微分差分模型，它可以描述聲波在固體內(nèi)的傳播過程，局域集波在固體內(nèi)傳輸，會與固體材料的原子發(fā)生碰撞，該原子在碰撞發(fā)生的瞬間獲得位移，但是碰撞結(jié)束之后該原子重新恢復(fù)至原有狀態(tài)[9-10].Toda晶格方程可寫為：

(15)

公式(15)中的rn表示第n個離子離開平衡位置的距離，f(rn)表示離子受到的作用力，且有f(r)=-α(1-e-βr).容易驗證，低階的Bagmann約束在處理Toda晶格方程問題上是無效的，因此該研究選用高階Bagmann約束，其公式為：

(16)

相應(yīng)譜參數(shù)λ對于位勢u的變分導(dǎo)數(shù)中i=1，2，j=1，2，...，N.特征函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處趨近于零.容易得到：

(17)

由于Φi=(φi1，φi2，...，φiN)T、Ψi=(ψi1，ψi2，...，ψiN)T，i=1，2，Λ=diag(λ1，λ2，...，λN)，若選取aj=1，j=1，2，...，N，則可得：

(18)

由此可得到一個離散的Bagmann系統(tǒng)：

(19)

公式(19)中j的取值范圍為[1，N].

設(shè)fi=fi(Φ1，Φ2，Ψ1，Ψ2)，gi=gi(Φ1，Φ2，Ψ1，Ψ2)，且i的取值范圍為[1，2N].則有：

(20)

公式(20)中的j的取值范圍為[1，N].

在任意R4N空間內(nèi)的任意函數(shù)f、g，研究引入泊松括號的定義，具體公式如下：

(21)

(22)

由上述結(jié)果，可以得到以下定理：

定理1：辛映射公式H(Φ1，Φ2，Ψ1，Ψ2)=(EΦ1，EΦ2，EΨ1，EΨ2)是可積的，并且有限維Hamilton系統(tǒng)公式在Liouville意義上是可積的.

定理2：若(Φ1(n，tm)，Φ2(n，tm)，Ψ1(n，

tm)，Ψ2(n，tm)是離散系統(tǒng)公式和完全可積的有限維Hamilton系統(tǒng)公式的一個解，則Toda晶格方程的一個解為：

(23)

上述過程提供了一種求解Toda晶格的方式，且公式(23)可看作是完全可積的有限維Hamilton系統(tǒng)公式(22)的一個B?cklund變換.

3 結(jié)語

非線性演化方程的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，無法求得其平凡解，目前關(guān)于非線性微分差分方程的研究主要集中在構(gòu)造方程簇、晶格系統(tǒng)求解、具特殊相干結(jié)構(gòu)的微分差分晶格和系統(tǒng)的數(shù)值研究上.文章首先提出了一個新的離散特征問題，根據(jù)離散零曲率方程，得到一族微分差分方程，對其Lax對和伴隨Lax對進(jìn)行雙非線性化，將原有方程組約化.遵循該思路，研究從新的矩陣譜問題出發(fā)，得出新的離散可積系統(tǒng)和典型Toda晶格方程，使用高階Bagmann約束對其Lax對和伴隨Lax對進(jìn)行雙非線性化，通過求解辛映射和有限維Hamilton系統(tǒng)，得到原可積系統(tǒng)的一個精確解.在使用高階Bagmann約束時，算子E-1的產(chǎn)生給運算造成了較大困難，無法使用該方法對所有微分差分方程進(jìn)行求解，還需要繼續(xù)研究將對稱約束與其他技術(shù)結(jié)果研究微分差分方程的可積耦合.