劉紅玉，張耀文,2，霍東華

（1. 牡丹江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 牡丹江 157011；2. 哈爾濱工程大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

三角代數(shù)上各種映射的刻畫一直是代數(shù)學(xué)中一個(gè)廣泛研究的問題，其中包括交換映射和可導(dǎo)映射等.2001 年CHEUNG W S[1]研究了三角代數(shù)上的交換映射，2003 年他又研究了三角代數(shù)上的Lie 導(dǎo)子.[2]2005 年BENKOVIC D[3]討論了三角代數(shù)上的Jordan 導(dǎo)子和反導(dǎo)子，一些學(xué)者在這些文章基礎(chǔ)之上又得到了許多優(yōu)秀的結(jié)果[4-12]. 這些映射的刻畫不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在物理學(xué)、工程技術(shù)等許多領(lǐng)域也起著至關(guān)重要的作用.

2006 年ZHANG J H 和 FENG S[13]等人在雙可加或雙線性假設(shè)下刻畫了套代數(shù)上的廣義雙導(dǎo)子.2009 年ZHAO Y X, WANG D Y[14]等人刻畫了上三角矩陣代數(shù)上的雙導(dǎo)子.BENKOVIC D[15]在一定條件限制下對三角代數(shù)上的雙導(dǎo)子進(jìn)行了刻畫.2021 年費(fèi)秀海[16]等證明了三角代數(shù)上 Lie 積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射是雙導(dǎo)子. 依據(jù)這些，本文推廣了雙可導(dǎo)映射和雙導(dǎo)子到三階可導(dǎo)映射和三導(dǎo)子，并證明了三角代數(shù)上 Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射是三導(dǎo)子.

1 主要結(jié)果及證明

設(shè)A是交換幺環(huán)R上的一個(gè)代數(shù)，A的中心記為Z(A)，設(shè)是一個(gè)可加映射，記為A上所有平方零元的集合. 若是一個(gè)導(dǎo)子，指對任意的有；若是一個(gè)內(nèi)導(dǎo)子指存在，使得對任意的,其中. 設(shè)是一個(gè)雙可加映射，且在每個(gè)變量上都滿足導(dǎo)子的定義，則稱是一個(gè)雙導(dǎo)子. 進(jìn)一步，若沒有雙可加假設(shè)且對任意的，當(dāng)時(shí)，分別滿足：

設(shè)A和B是兩個(gè)含有單位元的交換環(huán)R上的代數(shù)，M是含有單位元的忠實(shí)(A,B)- 雙邊模，則R- 代數(shù)

在矩陣通常的加法與乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)代數(shù)，稱之為三角代數(shù).

設(shè)U的中心為Z(U)，設(shè)πA：U→A和πB：U→B為兩個(gè)自然投影，定義如下：

設(shè)A和B中的單位元分別為IA和IB，M是含有單位元的忠實(shí)(A,B)- 雙邊模，I是三角代數(shù)U中的單位元. 令

則由于e1Ue1，e1Ue2和e2Ue2是U的子代數(shù)且分別同構(gòu)于A，M和B，從而三角代數(shù)在同構(gòu)意義下可以寫成：

進(jìn)而對任意的x∈U，可以將x分解成x=a+m+b，其中a∈A，m∈M，b∈B.

首先對雙導(dǎo)子和Lie 積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射進(jìn)行推廣，得到定義：

定義1設(shè)A是交換幺環(huán)R上的一個(gè)代數(shù)，Φ:A×A×A→A是A上的一個(gè)三可加映射且Φ 在每一個(gè)變量上都是導(dǎo)子，則稱Φ 是一個(gè)三導(dǎo)子.

定義2設(shè)A是交換幺環(huán)R上的一個(gè)代數(shù)，Φ 是一個(gè)三元非線性映射且滿足對任意的x,y,z,w∈A,只要[x,w],[y,w],[z,w]∈Ω, 就有

成立，則稱是一個(gè)Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射.

引理1設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)，Φ:U×U×U→U是U上的Lie 積為平方零元的非線性的三階可導(dǎo)映射，則

證明(i) 對, 由于，從而在(3) 中令故可得, 從而，同理，.

則

從而有

故

故

故

(4)-(6) 式有

同理

通過運(yùn)算得到

又由于

因此,

所以有

引理2設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)，Φ：U×U×U→U是一個(gè)Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射，則對任意的u,v∈U有

證明( 類似引理1, 略)

引理3設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)，Φ：U×U×U→U是U上的Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射，則

證明( 類似引理1, 略)

這樣可以得出下面定理:

定理設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)，Φ：U×U×U→U是U上的Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射，則Φ 是U上的一個(gè)三導(dǎo)子.

證明對，設(shè)，由引理3 有

類似地，可以證明

從而Φ 是U上的一個(gè)三階可加映射，所以Φ 是三角代數(shù)U上的一個(gè)三導(dǎo)子.

2 結(jié)論

本文主要對文獻(xiàn)[16] 三角代數(shù)上 Lie 積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射進(jìn)行推廣，給出了三導(dǎo)子和Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射的定義，研究了Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射的三個(gè)性質(zhì)，證明了三角代數(shù)上Lie 積為平方零元的非線性三階可導(dǎo)映射也是一個(gè)三導(dǎo)子.