一維函數(shù)光子晶體的界面態(tài)

韓 夢,李 宏,張斯淇,趙東旭,劉曉靜,吳向堯

(1.吉林師范大學 物理學院,吉林 四平 136000; 2.吉林工程技術師范學院 量子信息技術交叉學科研究院,吉林省量子信息技術工程實驗室,長春 130052)

光子晶體是一種折射率周期變化的人工微結構材料[1-3],光子晶體應用廣泛,其帶隙和折射率等可根據(jù)需要進行調控,從而實現(xiàn)光的傳輸、控制和放大等,如基于光子禁帶中禁止光傳播的特性制備反射鏡,通過控制光子禁帶的范圍,即可控制反射的頻率范圍.由于光子晶體具有光子帶隙和光子局域特性,使其可精確控制光子運動,因此光子晶體將成為光電集成和光子集成的一種關鍵性基礎材料[4].隨著拓撲物理學的發(fā)展[5-6],界面態(tài)已成為光子晶體領域中的一個研究熱點[7-8].文獻[9-10]研究了光子晶體界面態(tài),并給出2個反轉對稱光子晶體結構(PC)組合產生界面態(tài)的條件; 文獻[11-12] 利用電子束蒸鍍技術制備了具有反轉對稱特征的光子結構,通過實驗證明了界面態(tài)的存在.一維光子結構的界面態(tài)類似帶隙中的透射模,在一維反轉對稱結構構成的組合結構中,其界面態(tài)受拓撲特征保護,即對各類噪聲具有很強的魯棒性[13].文獻[14]研究了具有反轉對稱特征的一維層狀光子晶體結構,對光子晶體組合結構的阻抗虛部進行了計算,分析了組合結構中存在多個界面態(tài)的條件以及多界面態(tài)的位置和數(shù)目,并對組合結構內的電場分布進行了計算,結果表明,在界面態(tài)頻率處的光波存在明顯的光子局域.通過改變元胞數(shù)目可調控界面態(tài)的位置,并滿足對界面態(tài)不同的應用需求.但上述研究的光子晶體均為常規(guī)型,即折射率為常數(shù).本文利用傳輸矩陣法給出一維組合函數(shù)型光子晶體的匹配矩陣和傳輸矩陣,在此基礎上研究一維函數(shù)光子晶體的界面態(tài),并研究折射率端點值、介質厚度和入射角對界面態(tài)位置的影響,從而實現(xiàn)對界面態(tài)位置的調節(jié).

1 一維函數(shù)光子晶體的匹配矩陣和傳輸矩陣

傳輸矩陣法是分析計算一維光子結構常用的方法,利用匹配矩陣和傳輸矩陣可逐層描述光波在層狀光子結構的界面處以及在介質中的傳輸規(guī)律.光波在入射角為θj、厚度為dj的第j層常規(guī)介質中傳輸?shù)膫鬏斁仃嘝(kj,dj)[14]為

(1)

其中

(2)

對于函數(shù)介質B,其折射率為線性函數(shù)型

(3)

在光子晶體函數(shù)介質B中選取微元Δx,其對應的相位為

(4)

則厚度為b的函數(shù)介質B的相位為

(5)

將式(5)代入式(2)中,可得函數(shù)型介質B的傳輸矩陣

(6)

光波從第j層到第(j+1)層的電場強度關系[14]為

(7)

其中匹配矩陣

(8)

nj和nj+1分別為第j層和第(j+1)層介質折射率,函數(shù)型介質匹配矩陣在形式上與常規(guī)型介質匹配矩陣相同,但nj和nj+1對應函數(shù)型介質折射率的端點值.

光波在PCⅠ和PCⅡ結構中一個周期的傳輸矩陣TPCⅠ和TPCⅡ分別為

TPCⅠ=Pa·Mab·Pb·Mba·Pa,

(9)

TPCⅡ=Pb·Mba·Pa·Mab·Pb.

(10)

對于具有N個周期單元的一維反轉對稱光子結構PCⅠ+PCⅡ,當處在空氣中時,入射光波從空氣射入該結構后,在光子結構中傳輸后射入空氣,此時總傳輸矩陣為

(11)

通過計算可得

(12)

(13)

其中r為反射系數(shù),t為透射系數(shù),R和T分別為反射率和透射率.

光學結構的表面阻抗與反射系數(shù)的關系為

(14)

其中Z為光學結構表面阻抗,Z0為真空中的阻抗,rR和rI分別為反射系數(shù)的實部和虛部.由此可分別計算光子晶體阻抗的實部和虛部.

2 數(shù)值結果

PCⅠ,PCⅡ及組合結構的反射率和阻抗虛部如圖2所示.由圖2(A)可見,PCⅠ在第1個帶隙內阻抗虛部為負數(shù).由圖2(B)可見,PCⅡ在第1個帶隙內阻抗虛部為正數(shù),在第2個帶隙內PCⅠ和PCⅡ均為負數(shù).圖2(C)給出了組合結構的反射率及PCⅠ和PCⅡ阻抗虛部求和的結果.由圖2(C)可見,在第1個帶隙內,Im(ZPCⅠ)+Im(ZPCⅡ)=0,且在第1個帶隙內阻抗虛部之和為0的位置出現(xiàn)了界面態(tài),而在第2個帶隙內阻抗虛部之和不為0,未出現(xiàn)界面態(tài).若增大計算波數(shù)范圍,則由計算結果可知,在1,3,5等奇數(shù)帶隙內PCⅠ和PCⅡ的阻抗虛部符號相反,在2,4,6等偶數(shù)帶隙內PCⅠ和PCⅡ的阻抗虛部符號相同.因此,一維函數(shù)型反轉對稱組合結構的光子晶體僅奇數(shù)帶隙存在界面態(tài),偶數(shù)帶隙不存在界面態(tài).

圖2 PCⅠ(A),PCⅡ(B)及組合結構(C)的反射率和阻抗虛部Fig.2 Reflectance and imaginary part of impedance of PCⅠ(A),PCⅡ(B) and composite structure (C)

由于函數(shù)光子晶體具有起始值和終點值可調的特性,因此調節(jié)函數(shù)光子晶體端點值即可調節(jié)界面態(tài)的位置.當函數(shù)型介質B的折射率起始值分別為nb(0)=1.23,1.25,1.27時,組合結構的反射率和界面態(tài)如圖3所示.由圖3可見,當起始值逐漸增大時,在第3個帶隙中禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移.當函數(shù)型介質B折射率終點值分別為nb(b)=1.30,1.32,1.34時,組合結構的反射率和界面態(tài)如圖4所示.由圖4可見,當終點值逐漸增大時,在第3個帶隙中禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移.

圖3 介質B折射率起始值為1.23(A),1.25(B),1.27(C)時組合結構的反射率和界面態(tài)Fig.3 Reflectance and interface states of composite structure when initial point values of refractive indexes of medium B are 1.23 (A),1.25 (B) and 1.27 (C)

圖4 介質B折射率終點值為1.30(A),1.32(B),1.34(C)時組合結構的反射率和界面態(tài)Fig.4 Reflectance and interface states of composite structure when endpoint values of refractive indexes of medium B are 1.30 (A),1.32 (B) and 1.34 (C)

介質A厚度為585,615,665 nm時組合結構的反射率和界面態(tài)如圖5所示.由圖5可見,隨著介質A厚度的增大,禁帶紅移,禁帶寬度減小,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移.介質B厚度為355,385,405 nm時組合結構的反射率和界面態(tài)如圖6所示.由圖6可見,隨著介質B厚度的增大,禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移.

圖5 介質A厚度為585(A),615(B),665 nm(C)時組合結構的反射率和界面態(tài)Fig.5 Reflectance and interface states of composite structure when thicknesses of medium A are 585 (A),615 (B) and 665 nm (C)

圖6 介質B厚度為355(A),385(B),405 nm(C)時組合結構的反射率和界面態(tài)Fig.6 Reflectance and interface states of composite structure when thicknesses of medium B are 355 (A),385 (B) and 405 nm (C)

圖7 入射角θ=0(A),π/36(B),π/18(C)時組合結構的反射率和界面態(tài)Fig.7 Reflectance and interface states of composite structure whenincident angles of θ=0 (A),π/36 (B) and π/18 (C)

入射角θ=0,π/36,π/18時組合結構的反射率和界面態(tài)如圖7所示.由圖7可見,隨著入射角的增大,禁帶藍移,但寬度不變,界面態(tài)位置隨帶隙移動而藍移.計算結果表明,當θ≥π/8時,界面態(tài)消失.

綜上,本文研究了一維反轉對稱型函數(shù)光子晶體界面態(tài),計算結果表明: 在總阻抗虛部為0的位置出現(xiàn)界面態(tài); 對函數(shù)介質,當折射率的起始端點值增加時,帶隙位置紅移,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移,當折射率的終點值增加時,帶隙位置紅移,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移; 當常規(guī)介質A厚度增大時,禁帶紅移,禁帶寬度減小,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移; 當函數(shù)介質B厚度增大時,禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動而紅移; 當入射角增加時,帶隙位置藍移,界面態(tài)位置隨帶隙移動而藍移.因此,對反轉對稱型函數(shù)光子晶體,通過改變函數(shù)介質折射率端點值即可改變界面態(tài)位置,即反轉對稱型函數(shù)光子晶體的界面態(tài)具有可調節(jié)性.