胡維漢

【摘要】解答幾何題要注意對(duì)習(xí)題之間的聯(lián)系，聯(lián)想已解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，聯(lián)想圖形結(jié)構(gòu)，作出合適的輔助線，再進(jìn)行推理、運(yùn)算、解答.同時(shí)應(yīng)進(jìn)一步挖掘題目的變式，將數(shù)學(xué)思想方法與基本經(jīng)驗(yàn)合理應(yīng)用.這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何填空題；解題

1題目呈現(xiàn)

例如圖1，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD至E，若DE＝AD，∠ABC＝82°，∠BAC＝79°，則∠BEC的度數(shù)為 .

2試題解答

分析利用角平分線和60°及DE＝AD，將△ABC沿BD翻折得到△HBD，進(jìn)一步得到∠HDC＝60°＝∠CDE，再證△CDH≌△CDE.

解析截長(zhǎng)法

如圖2，在BC上截取BH＝AB，連接DH.

在△ABD和△HBD中，BH＝AB，∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，

所以△ABD≌△HBD（SAS），

則∠BHD＝∠BAC＝79°，DH＝DA＝DE，∠BDH＝∠BDA＝60°，

所以∠HDC＝60°＝∠CDE，

因?yàn)镃D是公共邊，得△CDH≌△CDE（SAS），

所以∠BEC＝∠CHD＝180°－∠BHD＝180°－79°＝101°.

3變式探究

訓(xùn)練1如圖3-①，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，點(diǎn)P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別為∠BAC，∠ABC的角平分線.求證：BQ＋AQ＝AB＋BP.

法1如圖3-①，設(shè)BQ和AP相交于點(diǎn)M，易知BM＝BP.分析結(jié)論需證AB＋BP＝BQ＋AQ，即證AB＝AQ＋MQ，這是常見(jiàn)題型.在AB上截取AD＝AQ，易證△ADM≌△AQM，所以AQ＝AD，故需再證MQ＝BD.而MQ＝MD，所以只需證BD＝DM，即證∠DBM＝∠DMB＝40°，這是不難的.

法2如圖3-②，易證BQ＝QC，所以需證AB＋BP＝AC.延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BP＝BD.連接DP，再證△DAP≌△CAP即可.

法3如圖3-③，因需證AB＋BP＝AC，故延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使DB＝BA，連接DA，故需證DP＝AC.事實(shí)上，DP＝DA且DA＝AC.

讀者不妨自己試試寫(xiě)出具體證明過(guò)程.

訓(xùn)練2如圖4-①，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線B從交AC于點(diǎn)M，∠BCA的鄰補(bǔ)角的平分線CP交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接MP交BC于點(diǎn)K，求∠AKM的度數(shù).

分析本題圖形復(fù)雜，隱藏有多個(gè)角平分線的結(jié)論，由條件逐一分解圖形.

如圖4-②，延長(zhǎng)MB得到射線MQ，由∠ABC＝120°可得∠ABM＝∠MBC＝∠CBP＝∠QBP＝60°.

可知BP、CP是△BMC的兩外角平分線，交點(diǎn)是P，又“三角形的兩外角的平分線與第三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)”，連接PM，在圖4-③中∠BMP＝∠CMP.

觀察圖4-④，△ABM的兩外角平分線交于點(diǎn)K，得∠BAK＝∠KAM.

觀察圖4-⑤隱藏有“一內(nèi)角與一外角平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半”結(jié)構(gòu)圖，易知∠AKM＝12∠ABM ＝30°.

解如圖4-⑥，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BM于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F.

因?yàn)椤螪BP＝∠ABM＝120°×12＝60°，

∠PBC＝180°－120°＝60°.

所以∠DBP＝∠PBC，所以DP＝PE.

因?yàn)椤螧CP＝∠FCP，

所以PE＝PF，

所以∠BMK＝∠CMK.

又過(guò)點(diǎn)K作KG⊥AB于點(diǎn)G，KH⊥BM于點(diǎn)H，KI⊥AC于點(diǎn)I，

所以KH＝KI.

因?yàn)椤螹BC＝∠CBP＝60°，

所以KH＝KG，

所以KI＝KG，

所以∠BAK＝∠KAM.

因?yàn)椤螧MC＝∠ABM＋∠BAM，

所以2∠KMI＝∠ABM＋2∠KAM.

所以∠ABM＝2（∠KMI－∠KAM）.

而∠AKM＝∠KMI－∠KAM，

所以∠AKM＝12∠ABM＝12×60°＝30°.

4結(jié)語(yǔ)

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師要善于利用解題經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，恰當(dāng)?shù)匾搿拜o助問(wèn)題”，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解答，對(duì)涉及的知識(shí)和方法進(jìn)行歸納和提煉，并與當(dāng)前問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，這些基本圖形以何種形式對(duì)接，有效接洽，某條線段或某個(gè)角是哪些圖形的公共元素，用什么方法解出，這樣不斷比較類(lèi)比，直至問(wèn)題解決.這樣，在解答問(wèn)題中，學(xué)生經(jīng)歷分析過(guò)程、思考過(guò)程、運(yùn)算過(guò)程、推理過(guò)程，積累經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想和解題策略.讓學(xué)生在知識(shí)與技能的實(shí)際環(huán)境中加以應(yīng)用，交流共享，進(jìn)而形成能力，為學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).