尹雪山

【摘? 要】? 波利亞說過：“好問題同某種蘑菇相似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找，很可能附近還有好幾個.”在解題教學(xué)中，以問題為導(dǎo)向開展探究性學(xué)習(xí)活動，可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生的解題能力.學(xué)生通過解題獲取數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)經(jīng)驗，進(jìn)而提升自己的思維能力.教師同樣要解題，解完題后還要回顧自己是怎么想到的，然后思考如何讓自己的學(xué)生也能想到，所以數(shù)學(xué)教師學(xué)生生一樣，都要經(jīng)歷解題過程并在解題中獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗，積累解題方法，提高思維能力，從而能更高效的解決問題.下面筆者就自己最近遇到的幾道動點(diǎn)軌跡問題談?wù)勛约旱慕忸}思路及教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；動點(diǎn)軌跡；解題教學(xué)

1? 教學(xué)過程

1.1? 解題初探，發(fā)現(xiàn)方法

例1? 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，-1），點(diǎn)B是正比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖像上一點(diǎn)，若只存在唯一的點(diǎn)B，使△AOB為等腰三角形，則k的取值范圍是_________.

探究活動：引導(dǎo)學(xué)生思考該題的主要數(shù)學(xué)方法為分類討論和數(shù)形結(jié)合，首先應(yīng)該分析符合題意的點(diǎn)B有哪些情況，然后根據(jù)動點(diǎn)軌跡結(jié)合函數(shù)圖像求出k的取值范圍：

解析：（1）帶領(lǐng)學(xué)生分析符合題意的點(diǎn)B集合：

①如圖1，當(dāng)△AOB中OA=OB時，此時符合條件的點(diǎn)B到點(diǎn)O的距離等于點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離，那么所有符合條件的點(diǎn)B集合就是以O(shè)為圓心OA長度為半徑所作的圓，結(jié)合題目中的（x＞0）可知在這種情況下所有符合題意的點(diǎn)B集合為處于第一和第四象限的圓弧.

②如圖1，當(dāng)△AOB中OA=AB時，此時符合條件的點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離，那么所有符合條件的點(diǎn)B集合就是以A為圓心OA長度為半徑所作的圓，結(jié)合題目中的（x＞0）可知在這種情況下所有符合題意的點(diǎn)B集合為處于第一和第四象限的圓弧.

③如圖1，當(dāng)△AOB中OB=AB時，此時符合條件的點(diǎn)B到O點(diǎn)和A點(diǎn)的距離相等，結(jié)合線段的中垂線性質(zhì)可知所有符合條件的點(diǎn)B的集合就是線段OA的中垂線，結(jié)合題目中的（x＞0）可知在這種情況下所有符合題意的點(diǎn)B集合為線段OA的中垂線處于第一象限的射線.根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)以及結(jié)合交點(diǎn)的坐標(biāo)可以解得此時線段OA的中垂線處于第一象限的射線所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）緊接著引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)y=kx（x＞0）的圖像，隨后數(shù)形結(jié)合分析存在唯一的點(diǎn)B使得△AOB為等腰三角形時函數(shù)圖像所處狀態(tài)，最終計算出k的取值范圍是k≥或k=.在教學(xué)時，本題的難點(diǎn)主要是點(diǎn)B軌跡的集合以及數(shù)形結(jié)合分析k的取值范圍，所以在本題講解時要留給學(xué)生充足的思考時間.

教學(xué)分析：在教學(xué)時，教師要切實(shí)做好引導(dǎo)著角色，拋出問題觀察學(xué)生反應(yīng)，，并在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)給予學(xué)生思路上的引導(dǎo)，本題中在給予學(xué)生思路引導(dǎo)時應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)的是分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法，將復(fù)雜的問題分類簡單化處理.值得關(guān)注的是在本題中，x的取值范圍在三類情況下對應(yīng)的B點(diǎn)軌跡中都不能取0，這是學(xué)生容易忽略的細(xì)節(jié)，教師要在學(xué)生出現(xiàn)這個問題后再做提醒，因為出錯才有教訓(xùn)，記憶才能更深刻.

1.2? 深入研究，挖掘本源

例2? 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C是y軸上的動點(diǎn)，線段CA繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，CA=CB，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是_____.

探究活動：很多學(xué)生拿到該題時容易想到利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決問題，但此題中點(diǎn)B是動點(diǎn)，還無法找到對稱軸來確定點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，所以本題應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生首先找出點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡.

解法1：

（1）幾何直觀猜測點(diǎn)B運(yùn)動軌跡：

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力進(jìn)而進(jìn)行幾何猜想，本題中應(yīng)該及時引導(dǎo)學(xué)生通過多構(gòu)造幾種不同位置的點(diǎn)C位置情況下的對應(yīng)圖形，找到對應(yīng)情況下點(diǎn)B的位置，結(jié)合所作圖像合理猜想點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡，如圖3，點(diǎn)B，B’，B’’三點(diǎn)在同一條直線上，本題作為填空題，當(dāng)解題時間有限的情況下，學(xué)生可以大膽猜測放手一搏，直接根據(jù)所作圖像直觀猜想出點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡是直線：y=x+1，但是在課堂上時間充裕的情況下，教師應(yīng)該本著知其然并知其所以然的精神，帶領(lǐng)學(xué)生一起論證點(diǎn)B的軌跡為什么是這樣的一條直線.

（2）理論驗證點(diǎn)B運(yùn)動軌跡：

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的邏輯推理能力，所以理論驗證點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡是必不可少的，只有讓學(xué)生從本源理解了點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡，才能在同類問題中做到思維不卡殼.本題中只要設(shè)參數(shù)將點(diǎn)B的坐標(biāo)表示出來就可以結(jié)合函數(shù)知識表示出點(diǎn)B的軌跡函數(shù).如圖4，過點(diǎn)B作y軸垂線交y軸于點(diǎn)D，此時構(gòu)造出了經(jīng)典的“K字型全等三角形”，可以證明：△AOC ≌ △CDB ，設(shè)OC長為t，可以得到點(diǎn)B坐標(biāo)為（t，t+1），設(shè)x=t，y=x+1，可得y=x+1，所以點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡是函數(shù)y=x+1的圖像.

（3）構(gòu)造對稱點(diǎn)解決問題：

分析完點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡后，剝離出“將軍飲馬”模型，如圖5，作點(diǎn)O關(guān)于直線：y=x+1的對稱點(diǎn)O’，可以根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點(diǎn)O’坐標(biāo)為（-1，1），此時BO+BA的最小值是線段AO’的長度，過點(diǎn)O’作x軸垂線段交x軸于點(diǎn)E，此時在RT△AEO’中根據(jù)勾股定理可以求得AO’=，所以BO+BA的最小值是.

解法2：

解法1是從幾何直觀出發(fā)，隨后從數(shù)的角度嚴(yán)謹(jǐn)論證，從幾何直觀為切入點(diǎn)比較容易聯(lián)想出解題思路，所以這種方法是大多數(shù)學(xué)生首先采取的方法.本著一題多解的想法，在教學(xué)時可以適當(dāng)?shù)拇┎逍┳寣W(xué)生“跳一跳”就能“夠得著”的方法，以此打開學(xué)生思維的深度和廣度.

在介紹本方法前，先帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合直角三角形勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)出平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間距離公式，即：平面內(nèi)有兩個點(diǎn)A（a，b）和B（c，d），那么AB=.如圖6，過點(diǎn)B作y軸垂線交y軸于點(diǎn)D，此時構(gòu)造出了經(jīng)典的“K字型全等三角形”，可以證明：△AOC ≌ △CDB ，設(shè)OC長為t，可以得到點(diǎn)B坐標(biāo)為（t，t+1），根據(jù)平面上兩點(diǎn)間距離公式可得：BO+BA=+，即BO+BA的值相當(dāng)于求點(diǎn)p（t，t）到點(diǎn)（0，-1）和（1，-1）的距離之和最小值，而點(diǎn)p是直線y=x上的點(diǎn)，所以問題轉(zhuǎn)化為在直線y=x上找一個點(diǎn)p，使得p到（0，-1）和（1，-1）的距離之和最小值.作點(diǎn)（0，-1）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)（-1，0），此時問題繼續(xù)轉(zhuǎn)化為在直線y=x上找一個點(diǎn)p，使得p到（-1，0）和（1，-1）的距離之和最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)p和點(diǎn)（-1，0）點(diǎn)（1，-1）三點(diǎn)共線時距離之和最短，通過代值計算可以解出BO+BA的最小值為.

教學(xué)分析：本環(huán)節(jié)是問題1的拓展延伸，本題中主要考察學(xué)生的幾何直觀想象能力和邏輯推理能力.解題過程是一個不斷聯(lián)想、不斷猜測、不斷嘗試、不斷實(shí)踐的過程，結(jié)合本題情境，在解法1中，當(dāng)學(xué)生思路受阻時應(yīng)當(dāng)及時引導(dǎo)學(xué)生多畫幾處符合條件的點(diǎn)B，然后結(jié)合所作的幾處點(diǎn)B大膽猜想點(diǎn)B的軌跡，最后從數(shù)的角度驗證自己猜想的正確性；而解法2中涉及到的平面中兩點(diǎn)之間的距離公式雖然沒有出現(xiàn)在課本中，但考試中經(jīng)常作為新概念題型出現(xiàn)，學(xué)生是可以根據(jù)已學(xué)知識推導(dǎo)出該公式的，解法2主要利用了問題轉(zhuǎn)化思想，通過合理的轉(zhuǎn)化將復(fù)雜的問題簡單化，但解法2與解法1是有區(qū)別的，解法1主要思路是由形到數(shù)，而解法2是由數(shù)到形，光說方法的話兩者各有其優(yōu)點(diǎn).本著為了打開學(xué)生思維廣度及讓學(xué)生思維的可持續(xù)性發(fā)展，在教學(xué)時不應(yīng)該淺顯的用哪個方法簡單哪個方法繁雜來定義哪個方法好，畢竟學(xué)生與學(xué)生之間的思維存在差異性，所以在教學(xué)時應(yīng)該多鼓勵學(xué)生嘗試用不同的方法解決問題，最終在多種方法體驗后體會到每種解題方法獨(dú)特之處.解題教學(xué)不光關(guān)注學(xué)生的解題結(jié)果，還要關(guān)注解題思路的尋找過程并及時復(fù)盤整個解題過程.在解決完問題后，教師應(yīng)當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思，在解題過程中用到了哪些思想方法、問題涉及到哪些知識點(diǎn)、問題的拓展等，并總結(jié)該題給學(xué)生本人帶來的啟發(fā).

2? 解題教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》相比《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，在“圖形的性質(zhì)”中強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗探究，直觀發(fā)現(xiàn)，推理論證來研究幾何問題；在“圖形的變化”中新增強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動變化的角度來研究試題，能夠理解圖形運(yùn)動中的平移，翻折，旋轉(zhuǎn)變化中的變化規(guī)律以及運(yùn)動中的變量與定量；同時在“圖形的變化”中的軸對稱模塊，能力要求從“了解”提升為“理解”層面.以上的題目都涉及到圖形的運(yùn)動，在變化的過程中存在著變與不變的量，而找到不變的量是解決問題的關(guān)鍵，故該知識板塊的重要性不言而喻.以上題目在引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、推理中落實(shí)核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)的思維價值.

2.1? 追根究底，探究問題本源

深入挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是學(xué)生理清問題疑點(diǎn)，揭示問題本質(zhì)，歸納總結(jié)問題的前提.本節(jié)習(xí)題課以兩道動點(diǎn)問題為切入點(diǎn)，并且第二題相對于第一題的動點(diǎn)軌跡分析難度稍有提升，通過探索發(fā)現(xiàn)歸納發(fā)掘動點(diǎn)問題解決的核心是先分析出動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，而動點(diǎn)的軌跡分析方法主要為幾何分析法和函數(shù)分析法.尋找解決問題的通法才能在后續(xù)各類變式題型中順利解決問題.

2.2? 分類討論，讓問題更清晰

當(dāng)一個問題無法在一個前提下統(tǒng)一解決時，我們就需要對問題進(jìn)行分類，并且是將問題中不同預(yù)設(shè)的條件作為分類的基礎(chǔ)，隨后各個擊破.分類討論可以將復(fù)雜籠統(tǒng)的問題劃分為簡單清晰的單個情況下的問題，總的來說就是“化整為零，各個擊破，再積零為整.”當(dāng)然分類討論的并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）2. 按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）3.逐級分類（逐級性）.

2.3? 化繁為簡，問題難點(diǎn)迎刃而解

解決較難的問題時，要精準(zhǔn)定位題目里的知識點(diǎn)并將各類知識點(diǎn)合理分解.動點(diǎn)問題經(jīng)常會出現(xiàn)各種幾何模型，比如剛才題目中出現(xiàn)的“K字型全等”，“將軍飲馬模型”等，在解決問題2時，通過剝離幾何模型，將看著復(fù)雜的圖形分解，最終復(fù)雜的問題簡單化，通過本題教學(xué)，不僅總結(jié)出“動點(diǎn)問題”的一般化解法，而且揭示了這類題目命題的基本思路.

2.4? 數(shù)形結(jié)合，問題解決相得益彰

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的重要方法，從“形”的角度直觀清晰，從“數(shù)”的角度精準(zhǔn)計算，兩者相輔相成不可或缺，能幫助學(xué)生由淺入深地理解解題思路.在上述題目中，都可以從形的角度先取幾個不同位置的點(diǎn)B，然后結(jié)合點(diǎn)B分布位置猜測點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡，緊接著從數(shù)的視角證明點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡函數(shù)表達(dá)式；形是數(shù)的猜想基礎(chǔ)，數(shù)是形的縝密驗證，兩者缺少一個都不能高效率高精度完成數(shù)形結(jié)合類題目的解題.

2.5? 回歸學(xué)生視角，經(jīng)歷思辨，生成感悟

張景中院士認(rèn)為：小巧一題一法，不應(yīng)提倡，大巧法無定法，也確實(shí)太難，出路在于中巧.這里的中巧，指的就是數(shù)學(xué)解題中有章可循、聯(lián)想順暢、思路合理的方法.

數(shù)學(xué)倡導(dǎo)發(fā)散性思維，并非刻意追求一道題目有多少種解法，而是引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識經(jīng)驗去合理的思考解題方法.有些題目解法很多，但不一定適合所有學(xué)生，換言之，解題不是老師自己想的多么妙，而是讓學(xué)生如何想得到.學(xué)之道在于悟，教之道在于度，只有回歸學(xué)生的視角，讓他們經(jīng)理思辨，生成自我感悟，才能提升學(xué)生的思維層次.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭源源.“似”曾相識依“理”構(gòu)圖[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2022（8）：60-62.

[2]向明剛.從一道網(wǎng)紅題引發(fā)的思考[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2020（2）