董美榮

［摘 要］“分?jǐn)?shù)除法”是小學(xué)計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。研究人教版、北師大版、蘇教版教材，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)版本的教材均是按照“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)— 一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的順序來安排學(xué)習(xí)任務(wù)的，在例題的選擇上則都注重與生活實(shí)際相聯(lián)系，借助數(shù)形結(jié)合，探究并理解算理；運(yùn)用類比遷移，漸進(jìn)式掌握算法。對(duì)人教版、蘇教版和北師大版這三個(gè)版本教材中“分?jǐn)?shù)除法”內(nèi)容的編排進(jìn)行橫向?qū)Ρ确治觯偨Y(jié)出有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則的學(xué)習(xí)路徑。

［關(guān)鍵詞］教材；學(xué)習(xí)路徑；分?jǐn)?shù)除法；算理；算法

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）08-0038-03

在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的加減混合運(yùn)算和分?jǐn)?shù)乘法，后續(xù)學(xué)生還要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，這部分內(nèi)容在教學(xué)中起著舉足輕重的作用。教材是教與學(xué)的重要載體，對(duì)教學(xué)起著重要的指導(dǎo)作用，不同的教材在編寫上存在一定的差異?；诖?，筆者將針對(duì)具體的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)人教版、北師大版、蘇教版教材中的“分?jǐn)?shù)除法”內(nèi)容進(jìn)行分析，為學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑提供一些可行的建議。

一、教材例題的編排思路分析

在分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中，不管哪種情況的計(jì)算最終都可以歸結(jié)為用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。理解分?jǐn)?shù)計(jì)算的算理，是本部分教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。三個(gè)版本的教材在安排這部分內(nèi)容時(shí)，都遵循由易到難、循序漸進(jìn)的原則，先教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”，再教學(xué)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”。在教學(xué)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí)，都是先教學(xué)“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，再教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”。

1.“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的編排思路

在課程導(dǎo)入上，從三個(gè)版本的教材中可以看出，人教版和北師大版教材都是以折紙活動(dòng)為載體引入教學(xué)內(nèi)容，蘇教版教材則結(jié)合分果汁的問題情境，提出一個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的實(shí)際問題。在設(shè)計(jì)思路上，三個(gè)版本的教材都是創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)生熟悉的問題情境，利用“平均分”的思維來解決問題。在算理推導(dǎo)上，三個(gè)版本的教材都是采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來講解。在學(xué)習(xí)層次上，三個(gè)版本的教材都是結(jié)合操作活動(dòng)、面積模型及分?jǐn)?shù)意義的理解，分兩個(gè)層次探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法：從被除數(shù)的分子能被除數(shù)整除，到分子不能被除數(shù)整除，從特殊到一般的推進(jìn)，讓學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。在學(xué)習(xí)目的上，三個(gè)版本的教材都注重讓學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法，不過，蘇教版和北師大版教材最后都給出了計(jì)算法則，而人教版教材沒有直接給出結(jié)論，需要學(xué)生自己總結(jié)，更考驗(yàn)學(xué)生的概括歸納能力。

2.“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的編排思路

在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的內(nèi)容中，三個(gè)版本的教材都是通過一道例題來完成教學(xué)內(nèi)容的（如圖1、圖2、圖3）。而在“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容中，三個(gè)版本的教材則有些許差異：人教版教材是從行程問題引入，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系式（速度=路程÷時(shí)間）列出算式，算式易列，但算理難懂；北師大版教材在此設(shè)計(jì)了三道題，前兩題是借助分餅活動(dòng)和長(zhǎng)方形面積模型幫助學(xué)生理解算理，第三題是反思分?jǐn)?shù)除法計(jì)算時(shí)需要關(guān)注的點(diǎn)，并總結(jié)算法；蘇教版教材通過三道例題的教學(xué)，創(chuàng)設(shè)問題情境，借助直觀圖和示意圖，引導(dǎo)學(xué)生猜想驗(yàn)證，掌握算法。與人教版教材相比，北師大版和蘇教版教材的內(nèi)容更細(xì)致，學(xué)生接受起來更容易。

二、教材內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的指引分析

“分?jǐn)?shù)除法”計(jì)算方法的探索與理解歷來是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。三個(gè)版本的教材在教學(xué)內(nèi)容的編排上有相似之處，也有些許差異。下面就從各版本教材內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的指引方面進(jìn)行分析。

1.教材內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑指引的共同點(diǎn)

（1）溝通已有經(jīng)驗(yàn)，注重與生活實(shí)際相聯(lián)系

三個(gè)版本的教材編排“分?jǐn)?shù)除法”例題的路徑一致，都是以“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”為認(rèn)知起點(diǎn)，圍繞分?jǐn)?shù)除法的意義展開。它們都是從學(xué)生熟悉的日常生活情境（折紙和分果汁）入手。在熟悉的“平均分”情境中，學(xué)生能將整數(shù)除法的意義應(yīng)用到分?jǐn)?shù)除法中，從而感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性和系統(tǒng)性，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（2）數(shù)形表征結(jié)合，探究并理解算理

三個(gè)版本的教材都根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，采用手腦并用、數(shù)形結(jié)合的策略，以此突破這部分內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)。三個(gè)版本的教材借助實(shí)物圖、直條圖、圓形圖、線段圖等直觀素材，讓學(xué)生折一折、分一分、畫一畫，從整體上感知，從而理解算理、探究算法。同時(shí)通過直觀素材把分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算過程與動(dòng)手操作聯(lián)系起來，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法與乘法算式之間的聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的算理不僅“知其然”，更“知其所以然”。

（3）運(yùn)用類比遷移，漸進(jìn)式掌握算法

三個(gè)版本的教材都是先教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”，再教學(xué)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”。這兩種除法的運(yùn)算方法相同，都是用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。三個(gè)版本的教材都是先通過直觀操作，讓學(xué)生從“等分除”的角度體會(huì)到一個(gè)數(shù)除以幾，就是求一個(gè)數(shù)的幾分之一是多少，可以轉(zhuǎn)化成乘法來算；然后借助直觀圖形讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)一個(gè)數(shù)除以幾分之幾與乘它的倒數(shù)之間的關(guān)系；最后在教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生遷移算法，感悟分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法算理的相同之處。在此基礎(chǔ)上，還引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出分?jǐn)?shù)除法的一般計(jì)算方法。

2.教材內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑指引的不同點(diǎn)

三個(gè)版本教材的內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的指引有著異曲同工之妙，那“異”在哪呢？

三個(gè)版本的教材在處理“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這部分內(nèi)容時(shí)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的指引基本一致。區(qū)別主要在“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容上，北師大版和蘇教版教材都是從問題情境入手，通過“等分除”和“包含除”兩種計(jì)算模型引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。而且它們?cè)谶@部分內(nèi)容的教學(xué)上分得很細(xì)致，均用了3～4道例題來講解，從整數(shù)除以分?jǐn)?shù)到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，層層遞進(jìn)，并且借助了直觀圖，學(xué)生接受起來比較容易。

人教版教材在“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”部分僅用1道例題來引導(dǎo)學(xué)生推算出算理，雖然也是從學(xué)生熟悉的生活情境（行程問題）入手，但在解決問題時(shí)運(yùn)用的是混合模型，“包含除”的模型不是很清晰，這給學(xué)生直觀表征算理帶來麻煩。而且這道例題的計(jì)算結(jié)果都是整數(shù)（2÷[23]=3、[56÷512]=2），不具有一般性。加之用分?jǐn)?shù)表示時(shí)間和路程，學(xué)生在理解算理上更加困難。

三、“分?jǐn)?shù)除法”學(xué)習(xí)路徑的建議

“分?jǐn)?shù)除法”是高年級(jí)計(jì)算教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，雖然三個(gè)版本的教材都給出了豐富的教學(xué)情境，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)還是不盡如人意，特別是在算理的理解上，存在刻意模仿、浮于表面的現(xiàn)象。對(duì)此，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑十分必要。

1.挖掘例題內(nèi)涵，層層深入理解

三個(gè)版本的教材在例題的選擇上，都是與學(xué)生的生活實(shí)際和認(rèn)知水平緊密聯(lián)系起來的，同時(shí)也關(guān)注到學(xué)生的興趣、認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。教師在教學(xué)的過程中不能把例題割裂開來教學(xué)，而要看到例題前后之間的遞進(jìn)關(guān)系，誘發(fā)學(xué)生深度思考。人教版教材在教學(xué)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí)，只給出一道例題，學(xué)生無法深刻理解分?jǐn)?shù)除法的算理，教師在此更需要自己完善相關(guān)例題，做好鋪墊與拓展，以便學(xué)生更好地理解各算法之間的聯(lián)系。

2.多元表征結(jié)合，理解運(yùn)算法則

數(shù)學(xué)的計(jì)算學(xué)習(xí)，不僅要會(huì)運(yùn)用計(jì)算法則，還要通過不同的方式、方法對(duì)同一問題進(jìn)行探討和研究。三個(gè)版本的教材設(shè)置了動(dòng)手折紙、分橘子、畫直條圖等操作，其目的都是讓學(xué)生運(yùn)用不同的表征方式去探究計(jì)算過程，理解算理。教師在實(shí)際教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，有意識(shí)地將這幾種表征方式結(jié)合起來，特別是要讓學(xué)生從圖形的直觀表征過渡到語言表征及符號(hào)表征上，感受數(shù)形結(jié)合思想帶來的便利，真正理解分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

3.抽象概括算理，建構(gòu)邏輯體系

從直觀到抽象，是學(xué)生成長(zhǎng)的重要途徑，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)生能夠運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算分析解決實(shí)際問題，能夠通過計(jì)算思維將各種信息簡(jiǎn)約和形式化，進(jìn)行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計(jì)。在直觀探究算理之后，教師可以從“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)除法的意義”“乘除法的運(yùn)算性質(zhì)”“商不變規(guī)律”四個(gè)維度去概括算理，讓學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算有更完善的形式化和結(jié)構(gòu)化的理解，最終明白，計(jì)算知識(shí)的學(xué)習(xí)不僅在于熟練運(yùn)用計(jì)算法則，還在于對(duì)知識(shí)體系的融會(huì)貫通。

總之，不管是教學(xué)哪個(gè)版本的教材，對(duì)于分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，都要讓學(xué)生掌握算法，主動(dòng)探究算理，深刻理解計(jì)算法則。教師要充分利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，多維度、全方面地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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（責(zé)編 吳美玲）