把握數(shù)概念的一致性 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

俞水英 張敏

［摘 要］在“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)中將分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)放在一起進(jìn)行比較研究，提煉出“計(jì)數(shù)單位”是“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的核心概念，聚焦“核心概念”，關(guān)注“認(rèn)知序列”，辨析“關(guān)鍵概念”，讓學(xué)生感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)上的一致性，深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的理解。

［關(guān)鍵詞］分?jǐn)?shù)的意義；一致性；深度學(xué)習(xí)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）08-0047-04

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解浮于表面，呈碎片化，沒有感悟到整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)上的一致性。為此，我們進(jìn)行了“把握數(shù)概念的一致性，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)”的研究，并在實(shí)踐中提煉了三個(gè)策略。具體闡述如下。

一、困惑再現(xiàn)

如圖1所示，本題的考點(diǎn)是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。全校五年級(jí)共230名學(xué)生，錯(cuò)誤人數(shù)為80人，錯(cuò)誤率達(dá)34.8%。常見的錯(cuò)誤如圖2所示。

此類錯(cuò)誤主要是把長方形的面積當(dāng)成了1平方米，如此，將長方形平均分成5份，表示這樣的3份就是[35]平方米。分析學(xué)生出錯(cuò)的原因時(shí)，教師一致認(rèn)為是學(xué)生對(duì)[35]的意義理解不到位。那么，怎樣才能讓學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)的意義呢？

二、理性思考

以孤立記憶和非批判性接受知識(shí)為特征的學(xué)習(xí)叫淺層學(xué)習(xí)，與之相反，有關(guān)聯(lián)地記憶和有批判性地接受知識(shí)的學(xué)習(xí)叫深層學(xué)習(xí)。學(xué)生的上述困惑正是淺層學(xué)習(xí)的直接體現(xiàn)。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。要把握整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)之間的一致性，就要建好“承重墻”，打通“隔斷墻”，使學(xué)生深刻體會(huì)計(jì)數(shù)的規(guī)律。對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解，學(xué)生出現(xiàn)上述淺層學(xué)習(xí)現(xiàn)象的原因如下。

原因一：脫離“核心概念”

數(shù)的本質(zhì)是“計(jì)數(shù)單位”。因此，要想讓學(xué)生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)上的一致性，就要以“計(jì)數(shù)單位”作為核心概念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。分?jǐn)?shù)有三個(gè)方面的意義：一是表示部分與整體關(guān)系或部分與部分關(guān)系的意義；二是表示度量的意義，即將“計(jì)數(shù)單位”累加產(chǎn)生不同的數(shù)；三是表示兩數(shù)相除，為商的意義。人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”和五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”均闡述了分?jǐn)?shù)部分與整體關(guān)系的意義，但忽略了分?jǐn)?shù)的度量意義，這樣就沒有建好分?jǐn)?shù)的“計(jì)數(shù)單位”這面“承重墻”，也沒有打通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的“隔斷墻”，因而學(xué)生無法感悟數(shù)的本質(zhì)意義。

原因二：忽略“認(rèn)知序列”

“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)通常會(huì)安排以下任務(wù)：了解分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生；理解單位“1”；理解分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系；認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位。從中可以發(fā)現(xiàn)，“分?jǐn)?shù)單位”被放在了最后的環(huán)節(jié)，即分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)脫離了分?jǐn)?shù)的意義。而整數(shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)，則是先認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位，然后通過計(jì)數(shù)單位來認(rèn)識(shí)更多的數(shù)，可以說，計(jì)數(shù)單位和數(shù)的意義是融合在一起學(xué)習(xí)的。因此，以上“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)任務(wù)序列，將“計(jì)數(shù)單位”和“意義”人為地割裂開了，難以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

原因三：混淆“關(guān)鍵概念”

我們知道，分?jǐn)?shù)既可以表示比率，也可以表示具體的數(shù)量。而上述困惑表明，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“量”和“率”混淆不清。對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，教材幾乎都是從分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系的角度來編排的，對(duì)分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量則沒有具體的編排，更沒有很好地將兩者進(jìn)行比較，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)識(shí)更多的是分?jǐn)?shù)表示“率”，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解浮于表面。

三、改進(jìn)教學(xué)

如何讓學(xué)生理解數(shù)概念的一致性，從而深入理解分?jǐn)?shù)的意義呢？結(jié)合“分?jǐn)?shù)的意義”一課的公開教學(xué)實(shí)踐，我們總結(jié)了以下策略。

策略一：聚焦“核心概念”，構(gòu)建知識(shí)體系

分?jǐn)?shù)與整數(shù)都是計(jì)數(shù)單位的累加，都是通過計(jì)數(shù)單位數(shù)出來的，本質(zhì)相同。這就是分?jǐn)?shù)和整數(shù)的一致性。學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到這種一致性，所學(xué)知識(shí)才會(huì)是靈活的、可遷移的。因此，要想打通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的“隔斷墻”，打造數(shù)概念大廈的“承重墻”，就必須以分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位作為核心概念，構(gòu)建知識(shí)體系。對(duì)于本次教學(xué)實(shí)踐，我們旨在達(dá)成兩個(gè)目標(biāo)，即讓學(xué)生明白什么是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位、如何通過計(jì)數(shù)單位數(shù)出不同的分?jǐn)?shù)。我們從整數(shù)入手，通過整數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引出分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，具體如下。

【教學(xué)片段】與整數(shù)比較，引入分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，請(qǐng)你想想，整數(shù)和分?jǐn)?shù)有什么不一樣？

生1：它們的讀法和寫法不同。

生2：含義不同，整數(shù)是一個(gè)整體，分?jǐn)?shù)是從一個(gè)整體里取出其中的一份或幾份。

生3：組成不同，分?jǐn)?shù)是由分子、分母、分?jǐn)?shù)線組成的，而整數(shù)是由個(gè)位、十位、百位等組成的。

師：你對(duì)分?jǐn)?shù)還有什么疑惑？

生4：整數(shù)有計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)是不是也有計(jì)數(shù)單位？

師（揭題）：問得真好，今天這節(jié)課我們就圍繞這些問題來研究分?jǐn)?shù)的意義。

【反思】通過分?jǐn)?shù)和整數(shù)的比較引入教學(xué)，很快便將分?jǐn)?shù)切入到“度量”意義的教學(xué)中，即研究分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位及其進(jìn)率。

策略二：關(guān)注“認(rèn)知序列”，提升數(shù)學(xué)思維

結(jié)合分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，基于分?jǐn)?shù)的度量意義進(jìn)行教學(xué)，需要調(diào)整分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的任務(wù)序列為：認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位—理解單位“1”和分?jǐn)?shù)的度量意義—辨析分?jǐn)?shù)表示“量”與“率”的區(qū)別。不同的認(rèn)知序列，將會(huì)產(chǎn)生不同的效果。教學(xué)中首先讓學(xué)生猜一猜：這個(gè)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是多少？你能用計(jì)數(shù)單位數(shù)出哪些不同的分?jǐn)?shù)？圍繞這樣兩個(gè)核心問題，將分?jǐn)?shù)度量意義的理解和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位融合在一起教學(xué)，讓學(xué)生在用分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)的過程中，深入理解分?jǐn)?shù)的意義。

【教學(xué)片段1】初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位

師：為了研究分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，請(qǐng)模仿圖3，先選擇一個(gè)分?jǐn)?shù)畫一畫，再猜一猜它的計(jì)數(shù)單位是多少，并數(shù)一數(shù)這個(gè)分?jǐn)?shù)里面有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。

【反思】表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)和表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)的不同點(diǎn)在于，表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)的單位“1”是確定的，如[34]個(gè)月餅、[14]千克等，而表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)的單位“1”是不確定的、可變的。辨清了分?jǐn)?shù)表示的“量”與“率”，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解就更深入了。

四、反思提升

經(jīng)過“分?jǐn)?shù)的意義”一課的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生體會(huì)到了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)上的一致性，獲得了較為深入的理解。反思整個(gè)過程，我們認(rèn)為，要想把握數(shù)概念的一致性，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，需要做好以下幾點(diǎn)。

1.提煉“核心概念”，需要整體把握教材

學(xué)習(xí)并不需要對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、每一道例題都進(jìn)行深度探究，而需要抓住體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的“核心概念”?！昂诵母拍睢逼鹬俺兄貕Α被颉绊斄褐钡淖饔?，學(xué)生掌握了“核心概念”，就能自主建構(gòu)其余知識(shí)點(diǎn)了。如果將一個(gè)單元的內(nèi)容一個(gè)課時(shí)一個(gè)課時(shí)地進(jìn)行分割，從課時(shí)的視角備課，那教師就很難將不同的內(nèi)容整合起來，學(xué)生學(xué)到的也將是碎片化的知識(shí)，不利于知識(shí)的整體遷移與建構(gòu)。

2.關(guān)注任務(wù)序列，需要“核心概念”的統(tǒng)領(lǐng)

如前所述，先學(xué)什么后學(xué)什么，任務(wù)序列不同，效果也就不同。實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，任務(wù)序列的安排，需要“核心概念”的統(tǒng)領(lǐng)?！胺?jǐn)?shù)的意義”一課看似只是教學(xué)幾個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)：理解單位“1”，理解分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位。但若按原來的思路，教師逐個(gè)突破知識(shí)點(diǎn)，這便是機(jī)械、割裂的學(xué)，哪怕最后拼裝起來，學(xué)生的理解也是淺顯的?，F(xiàn)在用計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念去統(tǒng)領(lǐng)，在用計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)的過程中，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，形成網(wǎng)絡(luò)體系，能使學(xué)生深度理解分?jǐn)?shù)的意義，理解單位“1”，同時(shí)還能滲透假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。

3.辨析“關(guān)鍵概念”，需要找準(zhǔn)知識(shí)難點(diǎn)

學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常會(huì)有辨別不清、容易混淆的知識(shí)點(diǎn)。教師如果在這些疑難處組織學(xué)生辨析比較，就能使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)清晰化，提升學(xué)生的思維水平。比如，整數(shù)既可以表示數(shù)量又可以表示關(guān)系，分?jǐn)?shù)也是如此，但學(xué)生卻很難區(qū)分分?jǐn)?shù)表示的“量”與“率”。教師在教學(xué)中要舍得花時(shí)間在這樣的關(guān)鍵點(diǎn)上，引導(dǎo)學(xué)生形成反思的意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

布魯納曾說：“獲得的知識(shí)如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那便是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)?！卑盐諗?shù)概念的一致性，有效整合教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)流程，就能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中探本求源，感悟數(shù)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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[3] 馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)”的理解與教學(xué)設(shè)計(jì)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2022（3）：4-8.

[4] 劉徽.大概念教學(xué)：素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體設(shè)計(jì)[M].北京：教育科學(xué)出版社，? 2022.

[5] 白常平，章勤瓊，陳日升.基于學(xué)習(xí)路徑分析的“分?jǐn)?shù)的意義”單元整體教學(xué)：指向概念理解的教學(xué)順序思考[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（4）：16-18.

（責(zé)編 吳美玲）