文／朱月紅

第10章 二元一次方程組

初中階段我們學(xué)習(xí)的方程主要有一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程。同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程，學(xué)習(xí)過程可以用下面的圖1來表示：

圖1

本章內(nèi)容是一元一次方程的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。類比一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，我們一起再次回顧本章的知識。

一、建立“二元一次方程組”概念

例1我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”

請同學(xué)們認(rèn)真閱讀上面的問題并思考：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？（2）勾畫出題目中語句，題中有幾組等量關(guān)系？（3）在這個問題中有兩個未知量，如果設(shè)木條長x尺，繩子長y尺，你能根據(jù)等量關(guān)系列出什么樣的方程？

題目的意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1 尺，問木條長多少尺。題中有兩個未知量，含有兩組等量關(guān)系：繩長=木條長+4.5；繩長=木條長-1。我們借助列一元一次方程的經(jīng)驗，根據(jù)等量關(guān)系“繩長=木條長+4.5”，能建立方程y=x+4.5；根據(jù)等量關(guān)系，能建立方程

我們類比一元一次方程的定義，可以歸納出兩個定義。

定義1：含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1 的整式方程叫作二元一次方程；用大括號將兩個方程聯(lián)立在一起，就得到二元一次方程組，如定義2：共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程叫作二元一次方程組。該定義中的關(guān)鍵詞：①共有兩個未知數(shù)；②兩個一次方程。（你明白“共”的意思嗎？）方程由“元”和“次”確定，當(dāng)“元”（未知數(shù)的個數(shù)）增加、“次”為一且不變時，我們就會得到二元一次方程、三元一次方程、……、n元一次方程；當(dāng)“次”（未知數(shù)的最高次數(shù)）增加、“元”為一且不變時，就會得到一元二次方程、一元三次方程、……、一元n次方程。要想識別二元一次方程，我們只要按照定義比對，問題就會迎刃而解?！盎氐蕉x”是一種有效的解題策略。

二、認(rèn)識“二元一次方程組”的解

例2x=5 且y=3 滿足方程5x+3y=34 嗎？x=2、y=8呢？

例3你能找到一組x、y的值，同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？

通過這兩題的解答，我們可以發(fā)現(xiàn)“解”的特征：二元一次方程的解是成對出現(xiàn)的，并且有無數(shù)個；二元一次方程組的解是兩個方程的公共解。

定義3：適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫作這個二元一次方程的一個解。定義4：二元一次方程組中各個方程的公共解叫作這個二元一次方程組的解。

例4解方程組

我們常常把新知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的舊知識。因此，求二元方程的解，理應(yīng)從“二元”回歸“一元”，消元法應(yīng)運而生。解二元一次方程組的基本方法有兩種，即代入法和加減法。注意事項主要有兩點：一是不可循環(huán)代入，二是解完方程需檢驗。

對于例4，由①得x=5-2y③；把③代入②，得2（5-2y）+y=7。解之，得y=1。把y=1代入①，得x=3。所以，原方程組的解是

二元一次方程中有兩個未知數(shù)，它們之間相互制約，導(dǎo)致一個二元一次方程有無數(shù)個解。為了使二元一次方程的解由無限到有限，再到唯一，我們可以把兩個二元一次方程放在一起組成二元一次方程組，再把二元一次方程組化歸成一元一次方程。一般情況下，二元一次方程組有唯一的解。感興趣的同學(xué)可以深究三元一次方程組、n元一次方程組，從三元到二元，最后化歸成最簡單的一元一次方程。那么，對于“元”不變、“次”增加的方程，如何來解呢？聰明的你有思路嗎？例4 也可以整體考慮：①+②→3x+3y=12……同學(xué)們，你有什么發(fā)現(xiàn)？

三、建立方程模型，解決實際問題

與一元一次方程一樣，二元一次方程組也是反映實際問題中數(shù)量關(guān)系的模型。同學(xué)們先回憶一下，利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟有哪些？（設(shè)、找、列、解、答、驗）

例5《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有這樣一題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。人數(shù)、物價各幾何？”大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元。有多少人？該物品價格是多少？

我們在分析問題時，可以畫出線型示意圖，幫助我們理解題意。不難發(fā)現(xiàn)，從“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”中可以得到相等關(guān)系，據(jù)此列出方程組即可。

列二元一次方程組解決問題，首先要理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，然后列出方程組。在建立方程組模型的過程中，可以直接從題中找相等關(guān)系，也可以借助表格、示意圖等方法進(jìn)行分析。相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

同學(xué)們，數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系、螺旋上升的。類比一元一次方程，我們再想一想一元二次方程的研究路徑：實際問題→一元二次方程的定義→解（解法）→應(yīng)用。相信同學(xué)們再遇“多元”或“高次”方程時能自主研究，從而解決問題。