HPM視角下的“公理化思想閱讀課”課例生成

劉志峰 胡永強(qiáng) 孫丹丹

【摘 要】文章以“公理化思想閱讀課”為載體，從選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與反饋、整理與寫作等環(huán)節(jié)再現(xiàn)了HPM課例的生成過(guò)程。這樣一方面反映了HPM課例生成過(guò)程中應(yīng)該注意的問題，以期能夠?yàn)镠PM課例的開發(fā)與教學(xué)提供參考，另一方面也體現(xiàn)了在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)公理化思想的方法及可能存在的問題，以期為數(shù)學(xué)公理化思想進(jìn)課堂提供啟示。

【關(guān)鍵詞】HPM；公理化思想；數(shù)學(xué)閱讀課；課例生成

【作者簡(jiǎn)介】劉志峰，華東師范大學(xué)HPM網(wǎng)絡(luò)研修班成員；胡永強(qiáng)，高級(jí)教師，華東師范大學(xué)HPM網(wǎng)絡(luò)研修班成員；孫丹丹，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期課題“初中數(shù)學(xué)課程德育內(nèi)容設(shè)計(jì)與滲透策略研究”（2021JY14-L47）；江蘇省蘇州市高新區(qū)規(guī)劃課題“指向?qū)W科德育的初中數(shù)學(xué)教學(xué)課例研究”

一、引言

公理化思想是數(shù)學(xué)體系建構(gòu)的基本思想方法，是數(shù)學(xué)研究的重要思考方式，有著重要的教學(xué)價(jià)值。公理化思想方法所體現(xiàn)的嚴(yán)謹(jǐn)邏輯體系與系統(tǒng)思考方法不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，也深刻地影響了其他自然科學(xué)領(lǐng)域，甚至是人文社科領(lǐng)域［1］。作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，公理化思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面具有重要的意義［2-3］。如何更好地開展教學(xué)活動(dòng)以促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)公理化思想，發(fā)揮公理化思想的育人價(jià)值？針對(duì)這一問題，HPM網(wǎng)絡(luò)研修班開展了“公理化思想數(shù)學(xué)閱讀課”的課例研究，以期從數(shù)學(xué)史中汲取養(yǎng)料，將公理化思想滲透到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。課例研究經(jīng)歷了選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與反饋、整理與寫作四個(gè)環(huán)節(jié)，最終形成了公理化思想閱讀課HPM課例［4］。本文分析了課例研究的完整過(guò)程，以期為公理化思想的教學(xué)以及其他HPM課例研究提供參考。

二、HPM課例研究

（一）選題與準(zhǔn)備

1.問題聚焦

根據(jù)主題特點(diǎn)及教學(xué)進(jìn)度安排，HPM網(wǎng)絡(luò)研修班擬訂以“等腰三角形的性質(zhì)”為研討主題。通過(guò)對(duì)蘇科版教材幾何體系的深入分析，研究者發(fā)現(xiàn)“等腰三角形的性質(zhì)”這一內(nèi)容位于蘇科版八年級(jí)上冊(cè)。而教材是在七年級(jí)下冊(cè)就引入了演繹證明的方法，介紹了一些定義、定理、命題等基本概念，并對(duì)之前探索過(guò)的一些結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)格的說(shuō)理證明。在學(xué)習(xí)了嚴(yán)格的說(shuō)理證明后，學(xué)生本應(yīng)具備初步的演繹推理能力，初步認(rèn)識(shí)公理化思想。但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生并不了解幾何體系的構(gòu)建路徑，也不理解什么是公理化思想，對(duì)于數(shù)學(xué)證明的信念與態(tài)度呈現(xiàn)消極狀態(tài)。因此，本研究以“等邊對(duì)等角”的證明為載體，設(shè)計(jì)一節(jié)閱讀課，以滲透公理化的數(shù)學(xué)思想。

2.歷史研究

（1）《幾何原本》第一卷命題I.5

等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”的證明方法，除了作頂角的角平分線、底邊上的中線和高構(gòu)造全等三角形的證明，還可以從腰所在直線上構(gòu)造全等，例如作兩腰的中線、高和底角平分線的證法、普羅克拉斯的兩腰任截等長(zhǎng)線段構(gòu)造全等的證法、帕普斯的將等腰三角形想象成兩個(gè)三角形的證法以及歐幾里得在《幾何原本》中給出的兩腰延長(zhǎng)線上任截等長(zhǎng)線段構(gòu)造全等的證法［5］。在此用現(xiàn)代符號(hào)語(yǔ)言詳細(xì)介紹歐幾里得在《幾何原本》中命題I.5的證法。

命題I.5 如圖1，在△ABC中，已知AB=AC，求證：∠ABC=∠ACB。［6］

（2）公理化思想方法

公理化思想最初是由亞里士多德提出的，他從哲學(xué)的角度構(gòu)建了論證的模式，闡述了兩個(gè)關(guān)鍵問題：一是論證開始的前提是不需要論證的；二是論證過(guò)程要遵循三段論的推理形式［7］。歐幾里得把亞里士多德初步總結(jié)出來(lái)的形式邏輯的演繹推理方法應(yīng)用到幾何學(xué)中，把幾何學(xué)知識(shí)按照公理化的方式組織安排，系統(tǒng)化為一個(gè)合乎邏輯的有機(jī)整體，完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》［8］。

《幾何原本》被譽(yù)為是樸素公理化思想的代表作，其中給出了原始概念的描述性定義，并以5條公理、5條公設(shè)為基礎(chǔ)，用邏輯演繹的方法來(lái)展開推理，得到465個(gè)命題。隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)雖然公理的選取方式不止一種，但從不同的公理系統(tǒng)出發(fā)推導(dǎo)出的理論都是自洽的。

在初中幾何教學(xué)中，我們?nèi)匀灰浴稁缀卧尽返倪壿嬻w系為主要依據(jù)，根據(jù)樸素公理化思想，引導(dǎo)學(xué)生從原始概念出發(fā)，利用幾條不加證明的基本命題，通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理，運(yùn)用演繹推理的方法得到整個(gè)幾何體系。

（二）研討與設(shè)計(jì)

1.初步設(shè)計(jì)

通過(guò)對(duì)教材與史料的分析，筆者發(fā)現(xiàn)教材用簡(jiǎn)單的方法就證明了“等邊對(duì)等角”，但《幾何原本》卻選用了非常復(fù)雜的證法。教材將全等三角形的SAS、ASA、SSS判定都認(rèn)定為基本事實(shí)。但在《幾何原本》中，這些都是作為須證的定理而存在的。基于此，筆者就考慮引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析《幾何原本》和教材幾何體系之間的異同來(lái)滲透公理化思想。根據(jù)對(duì)教材和相關(guān)歷史素材的分析，結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，課例研究者擬訂了以下初步教學(xué)設(shè)計(jì)。

（1）教學(xué)目標(biāo)

①初步理解數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性，發(fā)展學(xué)生的初步演繹推理能力。

②通過(guò)分析《幾何原本》中命題I.5證法的復(fù)雜成因，感悟公理化思想。

（2）教學(xué)重難點(diǎn)

①教學(xué)重點(diǎn)：分析《幾何原本》中命題I.5證法的復(fù)雜成因

②教學(xué)難點(diǎn)：公理化思想的滲透

（3）教學(xué)過(guò)程

教師在課前印發(fā)閱讀材料，材料包括兩部分內(nèi)容：一是歐幾里得和《幾何原本》的簡(jiǎn)介。二是《幾何原本》第一卷的定義、公理、公設(shè)、命題1～4及命題5的證法。為方便閱讀，所有命題和證明過(guò)程均轉(zhuǎn)換成現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)。

2.研討交流

為了進(jìn)一步發(fā)揮研究共同體的力量，HPM網(wǎng)絡(luò)研修班專門組織了教學(xué)研討會(huì)。首先由課例研究者簡(jiǎn)要介紹初步的教學(xué)設(shè)計(jì)、歷史素材的應(yīng)用以及困惑，隨后大家針對(duì)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)進(jìn)行討論。經(jīng)過(guò)充分研討，大家達(dá)成以下共識(shí)：①《幾何原本》作為樸素公理化思想的經(jīng)典代表，其教育價(jià)值十分豐富，如何讓學(xué)生深刻體會(huì)這種思想值得大家思考。②《幾何原本》命題I.5證法復(fù)雜正是其“極致”嚴(yán)謹(jǐn)所致，而這也正是《幾何原本》最經(jīng)典之處。因此，“為什么命題I.5證法如此復(fù)雜？”這個(gè)問題應(yīng)該貫穿探究始終。③《幾何原本》邏輯體系嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的表現(xiàn)是多方面的，可以引導(dǎo)學(xué)生從多角度進(jìn)行探究。

3.改進(jìn)設(shè)計(jì)

根據(jù)HPM研修班的交流與討論，公理化思想應(yīng)強(qiáng)化問題的引領(lǐng)和注重多角度逐漸滲透。改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

（1）教學(xué)目標(biāo)（同教學(xué)設(shè)計(jì)I）

（2）教學(xué)重難點(diǎn)（同教學(xué)設(shè)計(jì)I）

（3）教學(xué)過(guò)程

課前印發(fā)的閱讀材料中，增添了３條命題及其證法：角平分線作法（命題I.9）、中點(diǎn)作法（命題I.10）、高的作法（命題I.12）。同時(shí)，還加入了一個(gè)思考問題：歐幾里得《幾何原本》命題I.5為何采用這種復(fù)雜的證法？

（三）實(shí)施與反饋

課例原定由研究者在初二進(jìn)行教學(xué)，但受新冠肺炎疫情（2022年12月26日，國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布公告，將新型冠狀病毒肺炎更名為新型冠狀病毒感染）影響錯(cuò)過(guò)了教學(xué)進(jìn)度。因此，研究者嘗試在初三復(fù)習(xí)課中實(shí)施該課例。該課例的實(shí)施共進(jìn)行了兩輪，第一輪教學(xué)后發(fā)現(xiàn)，課堂上主要都是教師在講解，留給學(xué)生思考交流的機(jī)會(huì)較少。根據(jù)第一輪試教中發(fā)現(xiàn)的問題，研究者重新調(diào)整了課堂節(jié)奏并進(jìn)行了第二輪試教，收到了較好的教學(xué)效果。

課后，研究者對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查。調(diào)查顯示，92%的學(xué)生能認(rèn)識(shí)到基本事實(shí)的基礎(chǔ)性地位，98%的學(xué)生能理解演繹邏輯的論證方法，78%的學(xué)生能認(rèn)識(shí)到幾何大廈就是以基本事實(shí)為根基，逐步完善，并形成體系的。此外，學(xué)生對(duì)幾何學(xué)的興趣變得更加濃厚，迫不及待地想了解幾何學(xué)的發(fā)展歷程。

（四）整理與寫作

教學(xué)實(shí)施之后，授課教師和研究者共同撰寫了課例論文。課例論文一共分為六個(gè)部分：一是引言，說(shuō)明了公理化思想方法的重要性；二是歷史素材的選取，介紹了與公理化思想息息相關(guān)的歷史材料；三是教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，呈現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施情況；四是學(xué)生反饋，展示學(xué)生對(duì)公理化思想的理解；五是課例評(píng)析，從數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式、數(shù)學(xué)史的價(jià)值兩個(gè)維度對(duì)本節(jié)課進(jìn)行評(píng)析；六是結(jié)語(yǔ)，說(shuō)明本節(jié)課的不足以及學(xué)生的收獲。

三、教學(xué)反思

“公理化思想數(shù)學(xué)閱讀課”經(jīng)歷了選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與反饋、整理與寫作四個(gè)環(huán)節(jié)，最終形成了一份HPM課例。通過(guò)對(duì)HPM課例生成過(guò)程的研究，筆者對(duì)以下方面進(jìn)行了反思。

（一）活化數(shù)學(xué)歷史材料

數(shù)學(xué)史蘊(yùn)含了豐富的教學(xué)資源，展示出了知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷程，但是如何將沉寂千年的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂并促進(jìn)課堂教學(xué)，這是一個(gè)值得深入探討的問題。在這節(jié)課例中，教師嘗試將數(shù)學(xué)史材料及核心問題整理成材料發(fā)給學(xué)生閱讀，學(xué)生先初步閱讀思考，課堂上圍繞公理化思想設(shè)置探究性問題串，深入討論幾何體系的構(gòu)建根基與構(gòu)建過(guò)程。這避免了簡(jiǎn)單照搬歷史然后草草收尾的情況，使數(shù)學(xué)史在課堂中煥發(fā)了新的生命力。

（二）充分延展數(shù)學(xué)課堂

公理化思想有著深刻的內(nèi)涵，要想讓學(xué)生理解領(lǐng)悟絕非一朝一夕之事。因此，在本節(jié)課中，教師嘗試整理部分閱讀材料，讓學(xué)生閱讀思考，但也只是起到一個(gè)引導(dǎo)作用而已。要深刻理解公理化思想，教師最好能夠帶領(lǐng)學(xué)生讀一讀《幾何原本》部分內(nèi)容，讓學(xué)生身臨其境地感受公理化思想的嚴(yán)謹(jǐn)性。教師還可以給學(xué)生布置數(shù)學(xué)寫作任務(wù)，用任務(wù)驅(qū)動(dòng)法閱讀《幾何原本》，延展數(shù)學(xué)課堂，讓課堂的45分鐘變成碰撞思想的起點(diǎn)。

（三）探索最佳教學(xué)時(shí)機(jī)

學(xué)生的思維發(fā)展具有一定的階段性，把握思維發(fā)展的最佳階段，尊重認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，才能夠達(dá)成課堂教學(xué)效益的最大化。這節(jié)課例最初的設(shè)計(jì)想法是在初二實(shí)施，此時(shí)剛剛引入演繹證明，學(xué)生也初步積累了一些證明經(jīng)驗(yàn)，但此時(shí)學(xué)生的邏輯推理能力相對(duì)較弱。最后該課例選擇在初三復(fù)習(xí)課實(shí)施，此時(shí)的學(xué)生已經(jīng)形成了較為完善的知識(shí)體系，積累了豐富的幾何證明經(jīng)驗(yàn)。從課后問卷調(diào)查來(lái)看，初三復(fù)習(xí)課進(jìn)行實(shí)施或許也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。至于這節(jié)閱讀課是選擇在學(xué)生剛剛接觸演繹證明，還是學(xué)生已經(jīng)積累豐富的證明經(jīng)驗(yàn)后再實(shí)施，或許還值得深入探討。

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（責(zé)任編輯：陸順演）