江潞潞

[摘 ?要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的長遠目標(biāo). 那么，在實際教學(xué)中，該如何將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展落實到課堂實踐中呢？文章以“平面向量基本定理”的教學(xué)為例，在做好分析的基礎(chǔ)上，從“情境創(chuàng)設(shè)，探究發(fā)現(xiàn)，形成定理”“深度理解，回歸本質(zhì)，解讀定理”“解決問題，應(yīng)用定理，實現(xiàn)創(chuàng)新”三方面展開闡述.

[關(guān)鍵詞] 課堂實踐;平面向量;核心素養(yǎng);落地

核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展須經(jīng)歷一個漫長的過程，是日積月累的結(jié)果. 鑒于此，基于核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)有一個長遠的規(guī)劃，應(yīng)在整體設(shè)計、分步實施中實現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地、生根[1]. 課堂是教學(xué)的主要場所，每節(jié)課是實施課堂教學(xué)的基本單位，因此教師應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)活動，讓課堂為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升提供養(yǎng)分.

向量與數(shù)量最大的區(qū)別在于數(shù)量只有大小而無方向，而向量既有大小又有方向，具有代數(shù)與幾何的雙重特征，也是一套良好的運算通性的體系. 若從數(shù)、量與運算三者發(fā)展的角度來分析，向量的重點不在于數(shù)的簡單擴大，而在于量與運算的擴充. 實踐證明，向量定義的學(xué)習(xí)不僅能幫助學(xué)生建立良好的幾何與代數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基本分析

從知識邏輯與教材結(jié)構(gòu)層面來分析，平面向量基本定理是平面向量的核心知識，是幾何問題向量化的依據(jù)，亦是向量線性運算的融會貫通. 若選定一組不共線的基底向量e1，e2，則平面內(nèi)的任意向量都能以e1，e2的線性組合表示，同時還可與有序?qū)崝?shù)對（λ1，λ2）形成對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系為向量運算做好了鋪墊.

平面向量基本定理是建立在向量線性運算基礎(chǔ)上抽象而成的基本理論，它的結(jié)構(gòu)形式由共線向量（向量一維形式）經(jīng)類比獲得，再逐漸延伸到三維或更高維度的形式，空間平面數(shù)形的反映是它形成的主要機理. 同時，它還具有典型的幾何意義和豐富的內(nèi)涵，存在顯著的教學(xué)與應(yīng)用價值，學(xué)生在探索中可形成良好的抽象、推理、建模、直觀想象等能力，而這些能力又是核心素養(yǎng)的有機組成部分[2].

因此，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，具有顯著的促進作用. 本章節(jié)的知識與技能目標(biāo)的實現(xiàn)比較簡單，而核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，則須教育實施者精心思考與設(shè)計，力爭抓住一切機會進行知識本質(zhì)原理與數(shù)學(xué)思想的滲透. 實踐發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生體驗與感知定理生成的過程，能讓學(xué)生從深層次理解其內(nèi)涵，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

教學(xué)簡錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，探究發(fā)現(xiàn)，形成定理

教學(xué)時，教師可結(jié)合學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理形成的過程，探究相關(guān)問題，為建構(gòu)系統(tǒng)的知識體系做好鋪墊. 探究活動的開展一般遵循“初步印象—探究發(fā)現(xiàn)—實際操作”三個步驟.

第一步：初步印象.

展示1：從物理學(xué)角度出發(fā)，將一個力朝兩個方向分解成兩個力，如將一個物體置于不同斜面上，它的重力被分解成與斜面垂直和平行的兩個力，而隨著傾斜角度的變化，被分解成的力也會隨之發(fā)生改變.

展示2：以一條固定線段作為對角線作平行四邊形.

第二步：引導(dǎo)探究.

師：大家對向量共線已經(jīng)有一定了解，若a，b均和e共線（e為非零向量），可得什么結(jié)論？

生1：可得a=λe，b=μe的結(jié)論.

師：由此可確定a，b有怎樣的聯(lián)系？

生2：均可應(yīng)用向量e的數(shù)乘來表達.

師：那么e有何用？

生3：e的數(shù)乘能表示與它共線的一切向量.

師：能表達與它不共線的向量嗎？請大家先獨立思考、作圖分析，而后合作交流.

經(jīng)分析后，學(xué)生獲得的結(jié)論為“不可以”. 隨之，教師又讓學(xué)生闡述理由. 學(xué)生再次思考、作圖，并合作探究，獲得的結(jié)論為“根據(jù)向量數(shù)乘的意義可知，一個向量僅可表示與它共線的向量”. 由此總結(jié)出“將e稱為與其共線的所有向量的基底”.

設(shè)計意圖 情境演示、自主探究與合作交流等教學(xué)手段的應(yīng)用，契合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與最近發(fā)展區(qū)的需求. 以向量共線作為起點，通過“小步子”探究方式，讓學(xué)生體驗知識的自然生長過程，由此自然而然地總結(jié)出“基底向量”.

為了強化學(xué)生對“基底向量”的認(rèn)識，教師展示了兩道例題，與學(xué)生一起分析.

例題1：如圖1所示，若p=a+b，a，e1共線，b，e2共線，p可表示為e1，e2（都是非零向量且不共線，下同）的什么形式？

學(xué)生給出的結(jié)論為“p=λe+λe”.

例題2：如圖2所示，在傾斜角為30°的光滑平面上放一個重4 kg的長方形鐵塊，鐵塊的重力G被分解成與斜面平行和垂直的力F，N，結(jié)合物理學(xué)內(nèi)容怎樣表示G與F，N的向量關(guān)系式？若將力F，N表示為e，e的形成，則該怎樣將G表示為e，e的形式？

學(xué)生自主探究出的結(jié)論為“G=F+N”“G=2e+2e”.

為了引發(fā)學(xué)生更深層次地思考，教師提出：“若斜面的傾斜角分別為45°、60°，結(jié)論會怎樣？”以此引發(fā)學(xué)生思考后歸納與總結(jié).

設(shè)計意圖 以上兩個例題的應(yīng)用讓學(xué)生形成用兩個向量表示平面向量的意識，同時對基本向量才能表達平面向量的知識形成一定認(rèn)識.

接下來，引導(dǎo)學(xué)生對比p，G的結(jié)論特點，引出λe+λe為e，e的線性組合的知識，并鼓勵學(xué)生探究當(dāng)向量e，e固定時，平面內(nèi)任意向量p是否可用向量e，e的線性組合來表示. 當(dāng)學(xué)生對平面向量基本定理的結(jié)構(gòu)形式有了初步印象后，教師帶領(lǐng)學(xué)生對“基底向量表示平面向量”的知識進行實際操作與探究，以獲得平面向量基本定理的四個層次.

第三步：實際操作.

第一層次：給定基底表示給定向量.

如圖3所示，已知平面內(nèi)存在一組不共線的向量e，e，該如何表示該平面內(nèi)的給定向量p？

點撥：通過之前兩個例題的分析，大家對p的表示形式已有所了解，它源于向量加法與數(shù)乘，當(dāng)給定p與e，e時，可怎么用e，e表達p呢？

在教師的點撥下，學(xué)生很自然地將思維放到了向量加法的平行四邊形法則上，并快速建立了p與e，e的關(guān)系為p=λe+λe（過程略）.

此操作過程反映了p與e，e的關(guān)系與形成過程，學(xué)生在此過程中初步建立了模型，在此基礎(chǔ)上，師生進入了下一層次的操作探究活動.

第二層次：任選基底表示給定向量.

問題：若在一個平面內(nèi)任意選定不共線的一組向量e，e，我們能否以此表示給定向量p？

如圖4所示，在學(xué)生充分發(fā)揮想象的基礎(chǔ)上，用多媒體演示. 鼓勵學(xué)生通過思考、操作、觀察，抽象出相應(yīng)的結(jié)論為p=λe+λe，且p的表示與不共線的向量e，e無關(guān).

第三層次：給定基底表示任意向量.

問題：若給定一組不共線的向量e，e，是否可用它們來表示平面內(nèi)的所有向量？

如圖5所示，要求學(xué)在作圖思考的基礎(chǔ)上，用多媒體演示給定的基底向量線性組合的過程，可得：若平面內(nèi)任何向量的起點和e，e的起點相重合，僅需表示這些向量的終點即可. 經(jīng)探索發(fā)現(xiàn)，在此條件下，e，e可表示平面內(nèi)的所有向量.

第四層次：任意基底表示任意向量.

問題：若已知平面內(nèi)任意一組不共線的向量，可否表示出該平面內(nèi)所有的向量？

通過對以上三個層次的總結(jié)，再逐層深入地進行分析、推理，可得結(jié)論：平面內(nèi)任意一組不共線的向量都能表示該平面內(nèi)所有的向量.

以上四個層次不一定要按次序、不遺漏地操作探究，學(xué)生只須透徹地搞清楚一個層次，就能形成清晰的認(rèn)識. 而由淺入深的四個層次的設(shè)計，其目的在于讓學(xué)生親歷定理的形成過程，從直觀上引發(fā)豐富的想象，同時又在邏輯推理層面進行科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣撟C，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯思維能力奠定了堅實的基礎(chǔ).

2. 深度理解，回歸本質(zhì)，解讀定理

深度理解是核心素養(yǎng)落地的標(biāo)志，也是實現(xiàn)深度、高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵. 抽象的數(shù)學(xué)定理不僅體現(xiàn)了知識內(nèi)在的抽象性、科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性，還對后期的教學(xué)重點、難點具有指導(dǎo)意義，讓教師明確教學(xué)的重心應(yīng)該在哪兒.

有些教師，授課時一味地追求教學(xué)進度，存在“重解題，輕定理”的思想，忽視了學(xué)生對定理的感悟過程，學(xué)生因?qū)Χɡ碇兴N含的內(nèi)在規(guī)律與思想方法沒有明確的認(rèn)識，從而無法建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，對后期做題會產(chǎn)生負面影響. 即使通過一定程度的刷題能有所彌補，但依然達不到深度理解的程度，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)視野變得狹隘，遇到障礙時，也不會從不同角度去分析與突破問題.

（1）理解定理本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的平面向量基本定理具體表達了什么內(nèi)容，鼓勵學(xué)生用自己的理解來表征，以觀察學(xué)生對該定理的感悟程度. 不同的學(xué)生用不同的方式進行表達，但最終的指向是一樣的. 當(dāng)教師提出“平面內(nèi)不共線的兩個向量可以表示出平面內(nèi)所有的向量，是否存在一定內(nèi)在規(guī)律”時，學(xué)生默然了. 為此教師以點撥的方式啟發(fā)學(xué)生思維，“將不共線的向量，以有向線段的方式來表達，其實質(zhì)就是兩條相交直線的一個部分”，學(xué)生瞬間就明白了問題的關(guān)鍵，從而出現(xiàn)了以下交流.

生4：平面向量基本定理的實質(zhì)與立體幾何中“兩條相交直線可確定某平面”的實質(zhì)，具有高度相似性.

師：不錯，還有其他想法嗎？

生5：與“三點不在同一條直線上時，可確定唯一一個平面”的原理類似.

師：這兩位同學(xué)將問題與決定平面的條件相聯(lián)系進行了思考，其他同學(xué)還有什么看法嗎？

生6：他們兩人說的都有一定道理，但兩條平行直線也可以確定一平面，而兩個平行向量卻無法表示出平面內(nèi)所有的向量.

師：哦？對此大家怎么理解呢？

生7：其實這里面并不存在沖突，直線平行和向量平行完全不是一回事，而且平行向量的實質(zhì)為共線向量，因此它無法表示.

在教師的點撥下，學(xué)生將平面向量基本定理和平面的本質(zhì)有機地融合在一起進行思考，不僅強化了學(xué)生對定理的體悟，還讓學(xué)生感知到該定理的本質(zhì).

（2）剖析定理結(jié)構(gòu)

當(dāng)學(xué)生對定理的本質(zhì)已經(jīng)有比較深刻的理解后，教師可帶領(lǐng)學(xué)生一起剖析定理的結(jié)構(gòu)，以達到深層次的理解.

師：通過之前的探究，我們都知道平面向量基本定理從本質(zhì)上來看，和兩條相交直線可確定唯一平面具有一致性，大家是怎么理解這里的“唯一”二字的呢？

生8：“唯一”有兩層含義：①指相交直線確定的平面有且只有一個;②兩個不共線的向量所表示的平面內(nèi)任意的向量，表現(xiàn)形式只有唯一一個.

師：確定嗎？（眾生肯定）

師：這個結(jié)論具有怎樣的作用？（學(xué)生沉默）

師：若我們換一種表達方式，將p用e，e來表示，即p=λe+λe，也可表達成p=μe+μe，從中能看出什么？

生9：可以發(fā)現(xiàn)λe+λe=μe+μe，也就是λ=μ，λ=μ.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性與統(tǒng)一性，平面向量基本定理內(nèi)存在辯證統(tǒng)一的關(guān)系，如λ，λ的唯一性和存在性，e，e的不唯一性和確定性等，這種領(lǐng)悟體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的形成.

（3）應(yīng)用定理，解決問題，實現(xiàn)創(chuàng)新

任何知識的教學(xué)都是為了應(yīng)用到生活實際中解決問題. 如何讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)靈活應(yīng)用，是教師值得探索的問題. 平面向量基本定理反映了向量運算的整體形式，而向量法則體現(xiàn)了該定理的實際應(yīng)用.

例題3：如圖6所示，已知點D為△ABC中BC邊的中點，且點E為AC邊近點A的三等分點，點P為AD，BE的交點，分別求AP∶AD與BP∶BE的值.

設(shè)計意圖 本題主要將平面向量基本定理的本質(zhì)原理、思想等整合于一體，以觀察與培養(yǎng)學(xué)生對知識的應(yīng)用能力.

學(xué)生通過對本題的分析，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課所學(xué)的平面向量基本定理不能直接用在解題上，而用到的是其本質(zhì)原理和思想. 隨著解題過程的推進，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想悄然地發(fā)生了改變，而數(shù)學(xué)本質(zhì)也在不知不覺中回歸. 因此，解題過程對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有無可替代的重要作用.

總之，基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，可通過豐富的情境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;啟發(fā)性的問題，引發(fā)學(xué)生的思辨與探究;自主解題分析，實現(xiàn)各項綜合能力的提升[3]. 而學(xué)生作為課堂的主體，只有自主經(jīng)歷思考、嘗試、挫折與磨難，不斷挑戰(zhàn)自我、突破自我，才能實現(xiàn)各項能力的提升.

參考文獻：

[1] 史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J]. 中小學(xué)管理，2017 （01）：35-37.

[2] 常毓喜. 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的2018年高考數(shù)學(xué)試題分析[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（03）：53-58.

[3] 孔凡哲，史寧中. 中國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成途徑[J]. 教育科學(xué)研究，2017（06）：5-11.