浦麗敏

[摘 ?要] 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，大多數(shù)教師會(huì)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情采用不同的教學(xué)模式和教學(xué)手段來激發(fā)學(xué)生的潛能，提升學(xué)生的解題能力. 但無論教師采用何種教學(xué)手段，應(yīng)用何種教學(xué)模式，都應(yīng)將“雙基”的鞏固和“三維目標(biāo)”的實(shí)現(xiàn)放在首位，教學(xué)中應(yīng)通過巧妙引導(dǎo)和深度挖掘讓學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，以此提升解題質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”“穩(wěn)步提升”的效果.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí);減負(fù)增效;穩(wěn)步提升

大多數(shù)教師和學(xué)生認(rèn)為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就是“練習(xí)—考試—評(píng)講—再練習(xí)……”這樣一個(gè)周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的過程，“刷題”就是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主旋律，但學(xué)生即使刷了很多題，其收獲仍然甚微. 原因是什么呢？多數(shù)情況下，教師會(huì)從學(xué)生身上找原因，但是客觀來說，教師自身也存在一些策略運(yùn)用不當(dāng)?shù)那樾?，這歸結(jié)于教師對(duì)學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的學(xué)習(xí)心理理解不透. 當(dāng)教師認(rèn)為復(fù)習(xí)就是“練習(xí)—考試—評(píng)講—再練習(xí)……”的時(shí)候，實(shí)際上就陷入了認(rèn)知上的一個(gè)誤區(qū)，盡管復(fù)習(xí)以練習(xí)和考試為主要活動(dòng)，但是學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中的心理，本質(zhì)上應(yīng)當(dāng)指向知識(shí)的理解、認(rèn)知體系的建立與完善、數(shù)學(xué)概念與規(guī)律之間聯(lián)系的再探究，以及問題解決能力的形成. 這是一個(gè)高度系統(tǒng)的過程，也是一個(gè)需要教師在復(fù)習(xí)的過程中不斷摸索的過程. 這個(gè)過程中一方面需要教師積累經(jīng)驗(yàn)，另一方面需要教師從學(xué)生學(xué)習(xí)心理的角度去了解學(xué)生，形成更加智慧的認(rèn)識(shí).

站在教師的角度來看，高三復(fù)習(xí)階段更為重要的應(yīng)是吃透考綱，夯實(shí)基礎(chǔ)，把握命題方向，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行反思和總結(jié)，理解并掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)與精髓，只有這樣才能真正地實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”. 值得一提的是，在核心素養(yǎng)的背景下，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)也需要關(guān)注核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，要將學(xué)生的解題能力視作關(guān)鍵能力的一部分，要在組織數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)素材的時(shí)候，能夠站在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的角度，去思考這些組成要素如何落地. 如果說這個(gè)目的達(dá)到了，那么數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的也就達(dá)到了. 對(duì)于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，筆者結(jié)合個(gè)人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談幾點(diǎn)心得體會(huì)，以期共鑒.

夯實(shí)基礎(chǔ)，優(yōu)化認(rèn)知

海市蜃樓雖美，然因沒有根基決定其只能是“曇花一現(xiàn)”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此，若沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)，很難獲得長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展，為此在高三復(fù)習(xí)的各個(gè)階段都應(yīng)關(guān)注“雙基”的鞏固. 這里要防止一個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)，即只談“雙基”就是落后——畢竟這是一個(gè)數(shù)十年前就已經(jīng)提出的概念，在當(dāng)下的課程改革的深水期，在核心素養(yǎng)落實(shí)的當(dāng)下，只強(qiáng)調(diào)“雙基”似乎不夠與時(shí)俱進(jìn). 但實(shí)際上，基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要基礎(chǔ)，自然應(yīng)當(dāng)是高三復(fù)習(xí)的重中之重. 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的進(jìn)程中，尤其在復(fù)習(xí)之初，一定要幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知. 結(jié)合當(dāng)下的考試評(píng)價(jià)要求，在高三復(fù)習(xí)階段，教師要結(jié)合考綱和實(shí)際學(xué)情，精講一些重難點(diǎn)內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生探究知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生在參與的過程中建構(gòu)認(rèn)知體系，完善認(rèn)知體系，優(yōu)化認(rèn)知體系. 要知道，高考數(shù)學(xué)題往往會(huì)呈現(xiàn)一定的綜合性，只有在扎實(shí)的基礎(chǔ)和完善的認(rèn)知體系下，解題時(shí)才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的靈活調(diào)用和遷移.

例1 橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，橢圓的一條弦AB過F，若△ABF的內(nèi)切圓I的周長(zhǎng)為π，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y，y，則

y

-y的值為________.

題目解析 部分學(xué)生嘗試?yán)脵E圓、直線AB和圓I的方程聯(lián)立求解，結(jié)果一頭霧水，毫無頭緒，因此解決此題需要另辟蹊徑. 由已知“△ABF的內(nèi)切圓I的周長(zhǎng)為π”，可得其半徑r=. 由橢圓的第一定義可知△ABF的周長(zhǎng)為20，而△ABF的面積S=（BF+FA+AB）r=5. 另一方面，△ABF的面積S=3

y

-y，所以

y

-y的值為.

解后反思 回顧以上解題步驟不難發(fā)現(xiàn)，這道精彩紛呈的數(shù)學(xué)題由橢圓的第一定義以及公式S=（a+b+c）r等幾個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成，所考查的并不是奇思妙想，而是學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況. 在高三復(fù)習(xí)尤其在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，切勿好高騖遠(yuǎn)，一定要把基本概念、公式、定理吃透，掌握好解題的通性通法，同時(shí)挖掘出知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，通過對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的有效拓展和延伸，將零散的知識(shí)點(diǎn)編織成一個(gè)巨大的知識(shí)網(wǎng)，這樣在應(yīng)用時(shí)才能得心應(yīng)手、游刃有余. 與此同時(shí)，還要進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)第一輪復(fù)習(xí)的認(rèn)識(shí). 第一輪復(fù)習(xí)在重視“雙基”的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)知識(shí)與技能的結(jié)合——這里所說的技能更多指向?qū)W生的解題技巧與能力. 這不僅應(yīng)當(dāng)成為教師的意識(shí)，而且應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生的意識(shí)，教師的意識(shí)最終也要轉(zhuǎn)化為學(xué)生的意識(shí)，只有當(dāng)學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中，認(rèn)識(shí)到自己的認(rèn)知體系與高考的解題要求之間總存在差距的時(shí)候，才有可能形成知識(shí)體系建構(gòu)的動(dòng)機(jī);只有當(dāng)知識(shí)體系建構(gòu)動(dòng)機(jī)形成的時(shí)候，學(xué)生的認(rèn)知體系才有可能轉(zhuǎn)化為解題能力.

精挑細(xì)選，深挖內(nèi)涵

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師喜歡追求“難”和“新”，將大部分講評(píng)時(shí)間都放在“大題”上，而這些“大題”容易使一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生產(chǎn)生不適，進(jìn)而影響聽課效率和解題信心. 其實(shí)，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師不要盲目地求“大”，可以精挑細(xì)選一些絕大部分學(xué)生都?jí)虻弥男栴}，通過“小”變化，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的“大”道理，實(shí)現(xiàn)“小中見大”，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生的能力提升. 這是一個(gè)很重要的教學(xué)思路，尤其在復(fù)習(xí)的過程中，這一思路更加重要. 教師有必要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在復(fù)習(xí)的過程中所做的題目，不是面前的攔路虎，而是提升自己解題能力的重要載體. 教師通過精挑細(xì)選，給學(xué)生呈現(xiàn)最好的題目——所謂的“好”就是能夠簽上學(xué)生的知識(shí)缺陷，能夠命中學(xué)生的解題能力缺陷. 要判斷出這個(gè)“好”并不容易，需要教師在研究題目的時(shí)候深挖其內(nèi)涵，只有將題目的形式與實(shí)質(zhì)結(jié)合在一起，才是這些題目充分發(fā)揮作用的時(shí)候.

例2 如圖2所示，設(shè)非零向量=a，=b，在平面AOB內(nèi)，直線l為線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若非零向量=p，a=3，b=2，則p·（a-b）=________.

題目解析 本題為填空題，因此可嘗試應(yīng)用特殊的方法求解，如建立如圖3所示的坐標(biāo)系，分別設(shè)A（0，3），B（-2，0），P（x，y），則由PA=PB可得=，化簡(jiǎn)可得4x+6y-5=0，因此p·（a-b）=（x，y）·（2，3）=2x+3y=.

解后反思 例2是一道“小題”，可以借助特殊的方法來求解，但這個(gè)特殊的方法中是否蘊(yùn)含著一般的規(guī)律呢？為了充分發(fā)揮“小題”的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，在本題順利求解的基礎(chǔ)上，教師可以借助一些拓展問題引導(dǎo)學(xué)生探究解題通法，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力.

拓展問題 條件不變，將問題“求p·（a-b）的值”改為“求證：無論點(diǎn)P在l上如何移動(dòng)，p·（a-b）均為定值”.

變式拓展后，特殊的方法已經(jīng)難以滿足“大題”的解答要求，雖然特殊的方法失效了，不過其解題思路和結(jié)論在解“大題”時(shí)依然具有較大的參考價(jià)值，有了前面問題的鋪墊，學(xué)生解“大題”時(shí)不再束手無策，這樣“由小見大”符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，適合學(xué)生發(fā)展.

對(duì)于拓展問題，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生沿著例2求解的軌跡進(jìn)行探究：先建系，再設(shè)點(diǎn)A（acosα，asinα），B（bcosβ，bsinβ），P（x，y）（其中正數(shù)a，b為定值），由PA=PB建立等量關(guān)系，通過化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化可得p·（a-b）=，因?yàn)檎龜?shù)a，b為定值，故p·（a-b）為定值.

當(dāng)然，求解此題不局限于這一種解法，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用“構(gòu)建向量回路法”進(jìn)行求解，這里就不再詳解闡述了. 其實(shí)很多“小題”的求解思路靈活，若在平時(shí)教學(xué)時(shí)能夠仔細(xì)地推敲、巧妙地拓展，會(huì)使“小題”變得更加豐富多彩;很多“難題”“新題”都是“簡(jiǎn)單題”和“舊題”的變形，因此教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的基本功，讓學(xué)生擁有“以不變應(yīng)萬變”的能力. 另外，教學(xué)中教師不能簡(jiǎn)單地就題論題進(jìn)行講解，應(yīng)重視問題的挖掘和拓展，揭示問題的本質(zhì)，將一些特殊的解題方法逐步提升至通性通法，讓學(xué)生既能應(yīng)用“特殊法”去解決一些“小題”，又能快速地切換“通法”解決一些“大題”，有效提升學(xué)生的解題能力.

合理安排，減負(fù)增效

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間有限，若想在有限的時(shí)間內(nèi)做更多的事情就需要教師合理安排教學(xué)內(nèi)容，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生能夠精神飽滿地融入課堂教學(xué). 在實(shí)際教學(xué)中，很多教師感覺時(shí)間緊，常想利用“多講”“多做”“多考”來提升教學(xué)效率，但講得過多、做得過多、考得過多容易造成學(xué)生思維疲勞，出現(xiàn)厭學(xué)情緒，影響復(fù)習(xí)效果. 在解題時(shí)，不要過多地追求“量”，應(yīng)該更多地關(guān)注“質(zhì)”，只有“量”沒有“質(zhì)”注定是徒勞的，不僅會(huì)浪費(fèi)寶貴的高三復(fù)習(xí)時(shí)間，還會(huì)增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，影響教學(xué)效率的提升. 一個(gè)有趣又讓人感到尷尬的現(xiàn)實(shí)是，盡管絕大多數(shù)教師都認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)，但是在實(shí)際的復(fù)習(xí)過程中，還是忍不住充分利用所有的時(shí)間，讓學(xué)生去做更多的題. 這一現(xiàn)實(shí)反映了教師的教學(xué)期待與教學(xué)行為之間的矛盾：教師期待的是學(xué)生的高效復(fù)習(xí)，但又給學(xué)生提供了足夠多的題，心里所想的是廣種薄收. 說到底還是教師不相信減負(fù)能夠增效. 事實(shí)上，減負(fù)增效的關(guān)鍵在于教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程的合理安排，這里既涉及復(fù)習(xí)內(nèi)容的選擇，也涉及復(fù)習(xí)方式的優(yōu)化，還涉及教師結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，對(duì)復(fù)習(xí)過程做出動(dòng)態(tài)調(diào)整. 這實(shí)際上是一個(gè)預(yù)設(shè)與生成的過程. 復(fù)習(xí)固然需要有計(jì)劃的安排，這實(shí)際上是在預(yù)設(shè)學(xué)生的復(fù)習(xí)過程;同時(shí)復(fù)習(xí)過程中又不可避免地存在著生成，教師要基于自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，尤其是復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中的表現(xiàn)，去判斷他們?cè)谥R(shí)上有哪些欠缺，在能力上有哪些不足. 事實(shí)證明，只要做到了這些，那么就真正做到了合理安排，自然也就能夠達(dá)到減負(fù)增效的復(fù)習(xí)效果. 因此，在具體的實(shí)踐中，可以通過“多思”來提升學(xué)習(xí)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的效果.

例3 若橢圓+=1（a>b>0）上存在一點(diǎn)P，使PA⊥PO，其中O為原點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍.

題目解析 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P為第一象限的點(diǎn). 仔細(xì)探究發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)的設(shè)法和PA⊥PO的表示方法不唯一，因此解題時(shí)教師可以鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度去思考，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化解題過程.

解法1 設(shè)P（x，y），代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得b2x+a2y=a2b2，由A（a，0），PA⊥PO，得·=-1，兩式聯(lián)立并化簡(jiǎn)得（a2-b2）x-a3x+a2b2=0，此方程的根除了x0=a外，還有另一個(gè)根x0=，則<a，即a2>2b2，得a2<2c2，所以離心率e的取值范圍為

，1

.

解法2 設(shè)P（acosθ，bsinθ），θ∈

0，

，由⊥可知·=0，則（acosθ，bsinθ）·（a（cosθ-1），bsinθ）=0，化簡(jiǎn)得=>，下略.

解法3 以O(shè)A為直徑的圓為x（x-a）+y2=0，然后聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用解法1的思路繼續(xù)求解.

解后反思 不同學(xué)生有不同的認(rèn)知水平，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況也有所不同，因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用不同的方法去解題，這樣不僅能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且通過“多解”可以讓學(xué)生全面認(rèn)識(shí)問題. 借助“多解”，學(xué)生容易聯(lián)想到其他關(guān)于橢圓離心率取值范圍的問題. 有效串聯(lián)這些問題，讓學(xué)生整體認(rèn)識(shí)它們，有利于學(xué)生內(nèi)化和遷移知識(shí)，最終提升解題能力和解題信心.

循序漸進(jìn)，穩(wěn)步提升

在高三復(fù)習(xí)時(shí)，大多數(shù)教師感覺任務(wù)重，因此教學(xué)顯得過于浮躁，常常追求“大容量”“快節(jié)奏”，忽視了學(xué)生的思維發(fā)展水平，使得學(xué)生因?yàn)楦簧辖處煹墓?jié)奏而影響到了學(xué)習(xí)信心. 其實(shí)，人的思維能力的發(fā)展具有梯度性，教師切勿盲目地追求快而忽視了思維發(fā)展的客觀規(guī)律，進(jìn)而影響到教學(xué)效果. 教學(xué)中教師要充分了解學(xué)生，借助符合學(xué)生認(rèn)知的梯度問題穩(wěn)步提高學(xué)生的綜合能力.

例如研究“耐克函數(shù)”問題時(shí)，可以從學(xué)生熟悉的函數(shù)y=x，y=出發(fā)，讓學(xué)生逐漸探究y=x+，y=x+（a>0），y=ax+（a>0，b>0）的圖象和性質(zhì). 這樣由淺入深逐層推進(jìn)，讓學(xué)生的認(rèn)知不斷深入，不僅可以優(yōu)化學(xué)生的意志品質(zhì)，還可以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力螺旋上升.

總之，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師要以學(xué)生的認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，關(guān)注“基礎(chǔ)”，堅(jiān)持“穩(wěn)扎穩(wěn)打，循序漸進(jìn)”的理念，通過巧妙設(shè)計(jì)和恰當(dāng)引導(dǎo)，螺旋提升學(xué)生的思維，以及綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).