摘 要 推理意識(shí)或推理能力是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一。猜想、說(shuō)理、例證既是推理意識(shí)表現(xiàn)水平的重要元素，又是推理學(xué)習(xí)過(guò)程的核心活動(dòng)。其核心活動(dòng)設(shè)計(jì)要素與活動(dòng)模塊組合路徑主要包括猜想專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的類(lèi)型、要素與驅(qū)動(dòng)，說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)階、話語(yǔ)系統(tǒng)和表現(xiàn)維度，例證專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的材料、方式與活動(dòng)組織，猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)模塊組合路徑與范式，基于教學(xué)差異的一課多式推理學(xué)習(xí)路徑五大策略。

關(guān) ?鍵 ?詞 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》 推理意識(shí) 猜想 說(shuō)理 例證

引用格式 宋煜陽(yáng).小學(xué)數(shù)學(xué)推理活動(dòng)設(shè)計(jì)的要素與模塊組合路徑[J].教學(xué)與管理，2023（02）：37-41.

推理意識(shí)或推理能力是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一。推理意識(shí)可以視為推理能力的初級(jí)階段，推理意識(shí)的發(fā)展能促進(jìn)學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)的思考方式，為推理能力發(fā)展奠定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中的推理意識(shí)主要表現(xiàn)為三類(lèi)活動(dòng)：一是猜想，即“知道可以從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論”“能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或類(lèi)比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”；二是例證，即“能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或類(lèi)比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”[1]；三是說(shuō)理，即“對(duì)自己及他人的問(wèn)題解決過(guò)程給出合理解釋”。猜想、說(shuō)理、例證，既是推理意識(shí)表現(xiàn)水平的重要元素，又是推理學(xué)習(xí)過(guò)程的核心活動(dòng)。猜想是合情推理的關(guān)鍵與核心，是合情推理的具體方法和必要環(huán)節(jié)。猜想的提出是對(duì)推理思維過(guò)程的概括和推理思維內(nèi)容的提煉，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，能鍛煉數(shù)學(xué)思維?！安孪?驗(yàn)證”是合情推理的基本路徑，驗(yàn)證是指以數(shù)學(xué)事實(shí)為依據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言有根據(jù)、有邏輯地解釋結(jié)論和確認(rèn)結(jié)論的過(guò)程，是對(duì)說(shuō)理和例證的綜合運(yùn)用。其中，數(shù)學(xué)事實(shí)依據(jù)就是例證，有根有據(jù)、邏輯表達(dá)與解釋就是說(shuō)理活動(dòng)。

小學(xué)數(shù)學(xué)推理意識(shí)的發(fā)展，需要加強(qiáng)猜想、說(shuō)理、例證的實(shí)踐研究，劃分活動(dòng)類(lèi)型、流程、組織形式和適用范圍，結(jié)合課例進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)與模塊組合，形成專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)、綜合活動(dòng)設(shè)計(jì)范式，提煉出具有操作化的設(shè)計(jì)策略[2]。

一、猜想專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的類(lèi)型、要素與驅(qū)動(dòng)策略

1.猜想活動(dòng)的類(lèi)型與要素

根據(jù)合情推理的分類(lèi)，猜想活動(dòng)類(lèi)型劃分為歸納猜想、類(lèi)比猜想和直覺(jué)猜想三類(lèi)；根據(jù)猜想的內(nèi)容指向，猜想又可以分為指向探究結(jié)論的猜想、指向探究方法的猜想和指向探究過(guò)程的猜想三類(lèi)。如圖1，猜想活動(dòng)主要有兩條路線。

路線一，情境觀察—對(duì)比歸納—形成猜想；路線二，直覺(jué)猜想—情境觀察—二次猜想。其中，情境觀察是兩條活動(dòng)路線的必要活動(dòng)，情境觀察包括生活情境觀察、數(shù)學(xué)情境觀察、實(shí)驗(yàn)情境觀察三類(lèi)。學(xué)生在情境刺激下，展開(kāi)對(duì)比歸納，對(duì)比歸納包括歸納和類(lèi)比兩項(xiàng)活動(dòng)。情境和問(wèn)題是猜想活動(dòng)設(shè)計(jì)的兩個(gè)關(guān)鍵要素，情境是猜想的開(kāi)始，通過(guò)情境刺激，支持猜想；問(wèn)題對(duì)猜想的方向起到關(guān)鍵性導(dǎo)引作用，形成猜想。為此，猜想活動(dòng)設(shè)計(jì)主要指向情境設(shè)計(jì)和問(wèn)題設(shè)計(jì)，形成相應(yīng)的情境驅(qū)動(dòng)策略和問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略。

2.情境驅(qū)動(dòng)策略

情境驅(qū)動(dòng)策略指通過(guò)情境驅(qū)動(dòng)，幫助學(xué)生提出猜想，是對(duì)推理思維過(guò)程的概括和對(duì)推理思維內(nèi)容的提煉，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，鍛煉數(shù)學(xué)思維。情境驅(qū)動(dòng)包括生活情境驅(qū)動(dòng)、數(shù)學(xué)情境驅(qū)動(dòng)和實(shí)驗(yàn)情境驅(qū)動(dòng)，分別以生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)關(guān)聯(lián)和實(shí)驗(yàn)操作支持猜想。

生活情境驅(qū)動(dòng)，根據(jù)教材內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生年齡特征，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣、直觀形象的生活情境，激活學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想[3]。如“租船問(wèn)題”的猜想活動(dòng)，學(xué)生在租船生活情境中激活“省錢(qián)”經(jīng)驗(yàn)，對(duì)最優(yōu)方案作出猜想。

數(shù)學(xué)情境驅(qū)動(dòng)，利用教材中的規(guī)律、定律、性質(zhì)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，通過(guò)對(duì)比觀察、舉例擴(kuò)充和尋找聯(lián)系，利用知識(shí)間的關(guān)聯(lián)支持猜想。如“99或999乘以一個(gè)個(gè)位數(shù)積的規(guī)律”猜想活動(dòng)，先提供第一組算式組織學(xué)生探索規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律寫(xiě)出后面兩題答案“99×1=99 ?99×2=198 99×3=297 99×4=396……99×7= ?99×8=”；接著提供第二組算式“999×1= 999×2= ?999×3= 999×4=”，要求學(xué)生根據(jù)第一組算式的規(guī)律，猜想第二組算式的答案并驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)情境驅(qū)動(dòng)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作演示，直觀形象地呈現(xiàn)知識(shí)探究過(guò)程與探究結(jié)果，促使學(xué)生作出合理的猜想。如圓錐體積公式推導(dǎo)可以采用實(shí)驗(yàn)情境驅(qū)動(dòng)猜想：（1）回憶聯(lián)想：圓柱體積公式是怎樣推導(dǎo)的？轉(zhuǎn)化前后的圓柱體與長(zhǎng)方體有什么關(guān)系？出示長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體，討論：研究圓錐的體積，你會(huì)選擇哪個(gè)圖形進(jìn)行研究？（2）實(shí)驗(yàn)猜想（一）：利用圓錐把水倒進(jìn)圓柱的“倒水法”實(shí)驗(yàn)，猜想圓錐與圓柱的體積關(guān)系；（3）實(shí)驗(yàn)猜想（二）：利用圓柱、圓錐浸沒(méi)于長(zhǎng)方體水槽的“排水法”實(shí)驗(yàn)，猜想圓錐與圓柱的體積關(guān)系。

3.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略重在通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，幫助學(xué)生厘清結(jié)論產(chǎn)生的背景與成因，引發(fā)學(xué)生思考探究，形成猜想。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)主要包括指向結(jié)論的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、指向過(guò)程的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)和指向方法的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)。

指向結(jié)論的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是指在問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)，要側(cè)重指向知識(shí)結(jié)果，使結(jié)論明確化，以終為始，讓學(xué)生進(jìn)行有目的猜想。在學(xué)習(xí)“比例的基本性質(zhì)”時(shí)，先回憶比的基本性質(zhì)，再呈現(xiàn)四個(gè)比例：2：1=3：1.5，0.2：2.5=8：100，40：4=10：1，：=100：60，組織學(xué)生觀察計(jì)算并討論：比例的內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)有什么關(guān)系？在這個(gè)指向結(jié)論的問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生形成猜想：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。

指向過(guò)程的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是指向結(jié)果獲得的具體方法與過(guò)程，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)過(guò)程性思考的問(wèn)題串，逐步幫助學(xué)生形成猜想。在探究“兩位數(shù)乘11”的規(guī)律時(shí)，可以觀察算式、計(jì)算答案，通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并提出猜想。出示算式：31×11，41×11，62×11，53×11，猜一猜兩位數(shù)乘11的積可能存在什么規(guī)律？為什么有這樣的規(guī)律？從而形成“兩位數(shù)乘11”的完整猜想。

指向方法的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是指利用前后知識(shí)之間的聯(lián)系進(jìn)行遷移，用問(wèn)題引導(dǎo)、遷移應(yīng)用形成猜想。如在研究一個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征時(shí)，先找10的倍數(shù)規(guī)律，組織學(xué)生觀察、討論，形成猜想：10的倍數(shù)的個(gè)位都是0，并舉例驗(yàn)證，確認(rèn)結(jié)論；接著遷移方法 ，尋找5的倍數(shù)特征，學(xué)生得出結(jié)論：5的倍數(shù)的個(gè)位都是0或5；最后組織學(xué)生回顧梳理“剛才對(duì)10和5的倍數(shù)特征是怎么猜想的？組織學(xué)生對(duì)2、3、4、6的倍數(shù)特征進(jìn)行猜想。這個(gè)過(guò)程就是對(duì)10和5倍數(shù)特征猜想方法的遷移應(yīng)用。

二、說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)階、話語(yǔ)系統(tǒng)和表現(xiàn)維度

1.建立說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)階

小學(xué)數(shù)學(xué)說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)，需要根據(jù)學(xué)段特點(diǎn)，建立“會(huì)說(shuō)—善說(shuō)—能辯”的活動(dòng)目標(biāo)進(jìn)階。即，第一學(xué)段，要求“說(shuō)完整”“說(shuō)準(zhǔn)確”；第二學(xué)段，要求“說(shuō)簡(jiǎn)單、清晰”“有條理表達(dá)”；第三學(xué)段，要求“有根據(jù)地解釋和說(shuō)明自己觀點(diǎn)”“質(zhì)疑和反駁他人的想法”[4]。

2.健全說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的話語(yǔ)系統(tǒng)

健全常用話語(yǔ)系統(tǒng)是說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)重要內(nèi)容。說(shuō)理常用話語(yǔ)系統(tǒng)一般由邏輯語(yǔ)言詞匯、推理常用句式、符號(hào)語(yǔ)言和圖文直觀四部分構(gòu)成。邏輯語(yǔ)言詞匯，如序列關(guān)系連接詞“第一，第二，第三”，比較關(guān)系連接詞“也”，遞進(jìn)關(guān)系連接詞“或者”“同時(shí)”等；推理常用句式，如三段論的“因?yàn)椤?，又因?yàn)椤浴?；符?hào)語(yǔ)言，如“38＜40，40×5=200，38×5＜200”；圖文直觀說(shuō)理包括幾何直觀、直覺(jué)判斷說(shuō)理、圖文轉(zhuǎn)換等。如在“比”的環(huán)節(jié)重點(diǎn)把推理比較的過(guò)程說(shuō)清楚，需要類(lèi)似“因?yàn)?2>90，又因?yàn)?0×8=720，所以92×8>700”的話語(yǔ)系統(tǒng)予以支持。

3.刻畫(huà)說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的表現(xiàn)維度

“說(shuō)理”“寫(xiě)理”“辯理”是說(shuō)理專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的三個(gè)表現(xiàn)維度，需要全面刻畫(huà)。說(shuō)理活動(dòng)要重視“正向說(shuō)理與反向否定”路徑的選擇。正向說(shuō)理適用于正確的命題，通過(guò)規(guī)范的句式如“因?yàn)椤忠驗(yàn)椤浴薄笆紫取浯巍俅巍詈蟆钡?，進(jìn)行完整有邏輯的表述，逐漸形成良好的說(shuō)理技能。反向否定適用于判斷式的命題，通過(guò)一個(gè)反例把命題陳述的意思推翻。針對(duì)“2是質(zhì)數(shù)”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以設(shè)計(jì)很多命題，如“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，所有的合數(shù)都是偶數(shù)”“兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)”等，這類(lèi)題就可以用舉例、反向說(shuō)理去否定命題不成立。

寫(xiě)理活動(dòng)是指把推理的思考過(guò)程完整地、用文字說(shuō)明的形式記錄下來(lái)，通常用“因?yàn)椤忠驗(yàn)椤浴钡娜握撛捳Z(yǔ)系統(tǒng)進(jìn)行表述。辯理活動(dòng)要把握辯理的節(jié)點(diǎn)，在知識(shí)混淆處、方法優(yōu)化處發(fā)揮辯論的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解、選擇問(wèn)題解決方法產(chǎn)生分歧時(shí)，可以圍繞知識(shí)混淆處、方法優(yōu)化處等節(jié)點(diǎn)組織學(xué)生辯理，通過(guò)辯理實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解，發(fā)展高階思維。辯概念時(shí)，需要抓住概念本質(zhì)進(jìn)行辯理，使學(xué)生清晰理解、準(zhǔn)確運(yùn)用；辯方法時(shí)，重點(diǎn)展示各自方法的優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)行思想的碰撞，使其中一方能信服對(duì)方的觀點(diǎn)。

三、例證專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的材料、方式與活動(dòng)組織

例證過(guò)程中可以通過(guò)各版本教材例題、習(xí)題的比較，豐富物證材料的類(lèi)型和數(shù)量，給學(xué)生提供多元的例證材料。如“乘法分配律”一課，人教版、浙教版、北師大版在例證材料的類(lèi)型選擇上各有千秋，可以通過(guò)橫向比較、合理選擇，開(kāi)展推理例證活動(dòng)。從例證數(shù)量上看，浙教版通過(guò)四個(gè)實(shí)例得出四個(gè)等式，接著引導(dǎo)學(xué)生模仿舉例，再進(jìn)行符號(hào)概括，體現(xiàn)不完全歸納推理的過(guò)程。從例證類(lèi)型的豐富性看，人教版安排了筆算乘法中隱含的乘法分配律；北師大版注重幾何直觀，例題、做一做和配套練習(xí)都有在圖形中發(fā)現(xiàn)乘法分配律的例子，還穿插了用幾個(gè)幾的乘法意義來(lái)解釋算式，體現(xiàn)出例證材料的豐富性。

根據(jù)例證內(nèi)容特點(diǎn)，可以選擇多元的例證方式。例證方式主要包括列舉多個(gè)正例進(jìn)行不完全歸納推理、列舉一個(gè)反例否定結(jié)論、根據(jù)一個(gè)例子進(jìn)行科學(xué)論證等。歸納推理活動(dòng)，要經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—得出結(jié)論”的過(guò)程，猜想后可以先個(gè)別舉例，當(dāng)明確舉例類(lèi)型與方法后，全班每人舉兩三個(gè)例子再匯總，從而得出不完全歸納推理的結(jié)論，接著再經(jīng)歷尋找反例的過(guò)程，培養(yǎng)科學(xué)的例證態(tài)度。在不完全歸納推理得出結(jié)論后，用科學(xué)論證法對(duì)本源進(jìn)行闡釋?zhuān)瑢?shí)現(xiàn)歸納推理和演繹推理的完美結(jié)合。如“2、3、5的倍數(shù)特征”在用不完全歸納推理得出結(jié)論后，組織本源闡釋的例證活動(dòng)：因?yàn)?、5都是10的因數(shù)，除個(gè)位上的數(shù)外，剩余數(shù)就是整十?dāng)?shù)，它們一定是2或5的倍數(shù)，因此要看個(gè)位進(jìn)行判斷；3的倍數(shù)特征，可以結(jié)合小棒圖來(lái)說(shuō)明各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字就是3倍數(shù)取完后剩下的小棒數(shù)。

例證專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)的組織形式，要充分融入學(xué)生說(shuō)題、探究作業(yè)、數(shù)學(xué)小論文撰寫(xiě)等多元化活動(dòng)，豐富推理探究的類(lèi)型。說(shuō)題的活動(dòng)組織，可以采用日常訓(xùn)練與比賽展示相結(jié)合的方法；探究作業(yè)的組織，以獨(dú)立作業(yè)與展評(píng)活動(dòng)相結(jié)合；數(shù)學(xué)小論文，以獨(dú)立撰寫(xiě)與參評(píng)、發(fā)表等方式相結(jié)合的方式。通過(guò)多種類(lèi)型的組織方式，使學(xué)生多樣的推理活動(dòng)在扎實(shí)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上得到展示、推廣。說(shuō)題內(nèi)容分作業(yè)說(shuō)題和專(zhuān)項(xiàng)說(shuō)題兩類(lèi)。作業(yè)說(shuō)題，針對(duì)課堂作業(yè)和家庭作業(yè)中的重難點(diǎn)，采用課內(nèi)說(shuō)題與視頻拍攝的形式進(jìn)行日常訓(xùn)練，展開(kāi)說(shuō)題成果互動(dòng)評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生積累說(shuō)題經(jīng)驗(yàn)，逐漸形成說(shuō)題步驟與模型。專(zhuān)項(xiàng)說(shuō)題，有針對(duì)性地選擇特定類(lèi)型的題讓學(xué)生展開(kāi)說(shuō)題活動(dòng)，如概念理解類(lèi)、算法說(shuō)明類(lèi)、度量主題類(lèi)等。說(shuō)題的組織形式要多樣，可以采用“日常訓(xùn)練—校級(jí)評(píng)優(yōu)—區(qū)級(jí)展示”的進(jìn)階方式，讓學(xué)生在日常訓(xùn)練中積累經(jīng)驗(yàn)，以評(píng)優(yōu)、展示等方式激發(fā)學(xué)生說(shuō)題興趣、樹(shù)立說(shuō)題榜樣、形成說(shuō)題模式。數(shù)學(xué)小論文撰寫(xiě)需要經(jīng)歷“尋找題材—推理設(shè)計(jì)—撰寫(xiě)成文”的階段，每個(gè)階段緊扣推理元素展開(kāi)思考與實(shí)踐。學(xué)生完成獨(dú)立撰寫(xiě)后，進(jìn)行生生、師生之間的交流改進(jìn)，優(yōu)秀作品參加數(shù)學(xué)小論文評(píng)比或投稿到公開(kāi)雜志上發(fā)表，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

不同角度多元化的例證，學(xué)生感受著不同維度的例證材料、不同角度的例證方式、不同體驗(yàn)的例證活動(dòng)，將幫助學(xué)生積累更豐富的例證經(jīng)驗(yàn)，推動(dòng)推理意識(shí)的發(fā)展。

四、猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)模塊組合路徑與范式

推理綜合活動(dòng)設(shè)計(jì)可以根據(jù)推理類(lèi)型的不同，對(duì)猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)模塊進(jìn)行組合，開(kāi)發(fā)不同的學(xué)習(xí)路徑，提供綜合活動(dòng)范式。

1.歸納推理綜合活動(dòng)模塊組合

歸納推理綜合活動(dòng)主要包括猜想、例證、結(jié)論三個(gè)模塊。其中，例證是中心環(huán)節(jié)，由正例例證和反例例證構(gòu)成。如圖2所示，先采用正例驗(yàn)證，注重例子的廣度與深度；再?lài)L試?yán)e反例，進(jìn)而得出結(jié)論。

如“加法交換律”一課，歸納推理綜合活動(dòng)流程如圖3。環(huán)節(jié)一，引發(fā)猜想。先根據(jù)已有材料引發(fā)猜想：交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變。環(huán)節(jié)二，例證說(shuō)明。嘗試舉正例說(shuō)明，呈現(xiàn)整數(shù)加法、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法，體現(xiàn)廣度與深度，再?lài)L試舉出反例即交換加數(shù)的位置后和不相等的情況，無(wú)法舉出反例。環(huán)節(jié)三，確認(rèn)結(jié)論。歸納得出結(jié)論a+b=b+a，揭示加法交換律。

2.類(lèi)比推理綜合活動(dòng)模塊組合

類(lèi)比推理綜合活動(dòng)主要包括猜想、說(shuō)理、結(jié)論三個(gè)模塊。其中，說(shuō)理是中心環(huán)節(jié)，主要通過(guò)類(lèi)比說(shuō)明方式進(jìn)行。如圖4所示，根據(jù)A是1這一結(jié)論推理，找到A的同類(lèi)B，找到1的同類(lèi)2，進(jìn)而類(lèi)推出B是2這一結(jié)論；同樣進(jìn)一步找出B的同類(lèi)C和2的同類(lèi)3，類(lèi)推出C是3的結(jié)論，再根據(jù)類(lèi)推結(jié)果形成結(jié)論。

如“多邊形內(nèi)角和”一課，類(lèi)比推理綜合活動(dòng)流程如圖5。環(huán)節(jié)一，引發(fā)猜想。根據(jù)已有材料，引發(fā)多邊形內(nèi)角和猜想。環(huán)節(jié)二，說(shuō)理歸納。分別依據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，結(jié)合圖形分割類(lèi)比歸納規(guī)律。環(huán)節(jié)三，確認(rèn)結(jié)論。

3.演繹推理綜合活動(dòng)模塊組合

演繹推理綜合活動(dòng)主要包括猜想、說(shuō)理、結(jié)論三個(gè)模塊。其中，說(shuō)理是中心環(huán)節(jié)，主要依據(jù)已知信息、已有數(shù)學(xué)事實(shí)（性質(zhì)、定理、意義等）得出新的結(jié)論。在說(shuō)理過(guò)程中，若一次推理無(wú)法得到最終結(jié)論，則繼續(xù)根據(jù)性質(zhì)、定理和意義進(jìn)行第二次推理，直至形成最終的結(jié)論。如“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課，演繹推理綜合活動(dòng)流程如圖6。環(huán)節(jié)一，提出猜想。先根據(jù)已有信息提出猜想。環(huán)節(jié)二，說(shuō)理例證。先通過(guò)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將轉(zhuǎn)化為240÷360；再通過(guò)商不變性質(zhì)將240÷360轉(zhuǎn)化為2÷3；最后通過(guò)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系將2÷3轉(zhuǎn)化為，由此得出和。環(huán)節(jié)三，確認(rèn)結(jié)論。概括得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

五、基于教學(xué)差異的一課多式推理學(xué)習(xí)路徑

基于推理類(lèi)型、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平的教學(xué)差異，圍繞同一節(jié)課或同一個(gè)推理活動(dòng)，從不同角度對(duì)猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)模塊進(jìn)行多種方式組合，以“一課多式”探索推理能力培養(yǎng)的不同路徑，促進(jìn)合情推理和演繹推理的融合共進(jìn)。

1.基于推理類(lèi)型差異的一課多式

相同的教學(xué)內(nèi)容根據(jù)推理類(lèi)型的不同可以設(shè)計(jì)不同的學(xué)習(xí)路徑。合情推理可以采用“操作觀察—形成猜想—例證說(shuō)理—確認(rèn)結(jié)論”的學(xué)習(xí)路徑。如“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課，合情推理的學(xué)習(xí)路徑為：（1）畫(huà)一畫(huà)。出示，，等分?jǐn)?shù)，在正方形中用陰影部分表示出分?jǐn)?shù)的含義。（2）比一比。根據(jù)陰影部分大小，說(shuō)說(shuō)這三個(gè)分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系。（3）寫(xiě)一寫(xiě)。還能寫(xiě)出更多一樣大的分?jǐn)?shù)嗎？（4）說(shuō)一說(shuō)。怎樣的分?jǐn)?shù)是一樣大的？演繹推理可以采用“銜接聯(lián)想—形成猜想—例證說(shuō)理—確認(rèn)結(jié)論”的學(xué)習(xí)路徑。同樣是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，演繹推理的學(xué)習(xí)路徑為：（1）問(wèn)題激活。有跟大小相等的分?jǐn)?shù)嗎？寫(xiě)一寫(xiě)。（2）大膽猜想。猜想一下，只要怎樣分?jǐn)?shù)的大小就不變。（3）例證說(shuō)理。這些分?jǐn)?shù)單位不同，怎樣證明它們大小相等？（4）確認(rèn)結(jié)論。說(shuō)一說(shuō)剛才研究的規(guī)律。雖然通過(guò)合情推理和演繹推理可以得出相同結(jié)論，但學(xué)生所感知的推理過(guò)程、推理方法和思維方式是不同的。

2.基于內(nèi)容結(jié)構(gòu)差異的一課多式

根據(jù)不同知識(shí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)差異、同一內(nèi)容不同教學(xué)處理的結(jié)構(gòu)差異，可以構(gòu)造出單一式、迭代式與外延式等一課多式。單一式結(jié)構(gòu)適合知識(shí)內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)較少的內(nèi)容，推理活動(dòng)框架結(jié)構(gòu)為“猜想—驗(yàn)證”，如“整十、整百數(shù)乘一位數(shù)口算”就屬于該推理活動(dòng)框架。迭代式結(jié)構(gòu)適合較難的知識(shí)內(nèi)容，進(jìn)行分層推進(jìn)，推理活動(dòng)框架結(jié)構(gòu)為“猜想—驗(yàn)證—猜想—驗(yàn)證……” 迭代式的推理結(jié)構(gòu)適用于相對(duì)復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容，包括兩類(lèi)：一類(lèi)是不同猜想形式的迭代，如“三角形內(nèi)角和”的推理框架，為后續(xù)的“多邊形內(nèi)角和”埋下推理的種子。另一類(lèi)是多元猜想形式的迭代，學(xué)生無(wú)法一次性獲得最終的數(shù)學(xué)猜想，如“比的基本性質(zhì)”，可以通過(guò)對(duì)比等值的分?jǐn)?shù)、比、除法，先猜想它們有什么相同和不同，通過(guò)轉(zhuǎn)換來(lái)論證；再猜想比的基本性質(zhì)，進(jìn)而根據(jù)相互關(guān)系來(lái)證明，不斷迭代。外延式推理活動(dòng)框架結(jié)構(gòu)為“猜想—驗(yàn)證—外延猜想”，是典型的類(lèi)比推理，適用于從一個(gè)結(jié)論走向同類(lèi)型的另一個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)，是引發(fā)知識(shí)關(guān)聯(lián)和學(xué)生自主學(xué)習(xí)的重要形式。如“交換律”“9的倍數(shù)的特征”……都可以采用這樣的結(jié)構(gòu)來(lái)開(kāi)展學(xué)習(xí)。

3.基于認(rèn)知水平差異的一課多式

學(xué)生原有認(rèn)知水平差異會(huì)對(duì)推理活動(dòng)產(chǎn)生重要影響。根據(jù)學(xué)生對(duì)推理結(jié)論的認(rèn)知程度差異，形成發(fā)現(xiàn)式、驗(yàn)證式等一課多式的學(xué)習(xí)路徑。發(fā)現(xiàn)式，適用于多數(shù)學(xué)生對(duì)研究結(jié)論未知，路徑為“實(shí)驗(yàn)—猜想—說(shuō)理—結(jié)論”，側(cè)重規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。驗(yàn)證式適用于多數(shù)學(xué)生已經(jīng)知道結(jié)論，路徑為“猜想—實(shí)驗(yàn)—說(shuō)理—結(jié)論”，側(cè)重規(guī)律的驗(yàn)證。如“長(zhǎng)方體的體積”一課，可以根據(jù)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體體積公式的了解程度，選擇合適的學(xué)習(xí)路徑。其中，發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)路徑通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，對(duì)擺放的立方體單位個(gè)數(shù)、長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高數(shù)據(jù)之間的規(guī)律進(jìn)行觀察，用不完全歸納推理得出體積公式；驗(yàn)證式學(xué)習(xí)路徑通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，對(duì)已知體積公式作出驗(yàn)證，盡管學(xué)習(xí)路徑不同但都可以促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展。

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［責(zé)任編輯：陳國(guó)慶］