何楠 李洪兵

【摘?要】?本文結(jié)合實(shí)例探討了生長(zhǎng)式多概念教學(xué)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)尋找滿足學(xué)生需求的知識(shí)體系為突破口，以“起、承、轉(zhuǎn)、合”為教學(xué)主線，讓概念向關(guān)聯(lián)生長(zhǎng)，在課堂中充分展示知識(shí)、情感、能力形成和思維生長(zhǎng)的過(guò)程，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的魅力，讓學(xué)生思維素養(yǎng)雙生長(zhǎng)，從而真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】?多概念；核心素養(yǎng)；生長(zhǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)新課標(biāo)）明確指出為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的目標(biāo)不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)，重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.在教學(xué)過(guò)程中既要重視學(xué)科知識(shí)前后的整體關(guān)聯(lián)，又要厘清知識(shí)產(chǎn)生的源頭、結(jié)構(gòu)和價(jià)值所在，既要理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，又要關(guān)注把握數(shù)學(xué)概念的本性，讓學(xué)生用發(fā)展的眼光、思維和語(yǔ)言建立有意義、有價(jià)值的知識(shí)體系，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，發(fā)展和拓展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵.

1?多概念的內(nèi)涵及特征

1.1?內(nèi)涵分析

多個(gè)數(shù)學(xué)概念合成一堂課呈現(xiàn)被稱(chēng)為數(shù)學(xué)的多概念教學(xué).數(shù)學(xué)的多概念體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)概念之間的共性和異性，在整個(gè)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中起到承上啟下的作用.數(shù)學(xué)的多概念合在一起，表明了每個(gè)概念之間存在的共同特性和不同概念之間的差異性，與其他數(shù)學(xué)概念一起成為數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分.以三角形的高、中線、角平分線為例，它們的本質(zhì)都是為了給三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊搭建數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)生和發(fā)展的橋梁.但三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊之間的搭建方式存在明顯的差異.

1.2?特征分析

生長(zhǎng)式的多概念教學(xué)遵循一般數(shù)學(xué)概念課堂“從何來(lái)？怎樣形成的？有何價(jià)值？向何去”的發(fā)展趨勢(shì)，也有自身顯著的特征.

1.2.1?生長(zhǎng)性

基于新課標(biāo)理念，要實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的育人目標(biāo)，必然展示知識(shí)的生成、生長(zhǎng)和發(fā)展的全過(guò)程，展現(xiàn)概念發(fā)生的背景、概念發(fā)展的必要性及概念體現(xiàn)的價(jià)值.在知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，使“數(shù)學(xué)直觀、邏輯推理（去異求同）、數(shù)學(xué)抽象（揭示特質(zhì)）、數(shù)學(xué)建模（靈活應(yīng)用）、提煉思想”貫穿多概念發(fā)展的全過(guò)程，讓數(shù)學(xué)的多概念教學(xué)自然而又深入.

1.2.2?延伸性

本節(jié)課內(nèi)容的多概念教學(xué)，在三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊構(gòu)造的橋梁中，點(diǎn)與線段之間的構(gòu)造方式有無(wú)數(shù)種，但三角形的高、中線和角平分線這三條線段體現(xiàn)了特殊位置關(guān)系的研究?jī)r(jià)值，為三角形的研究提供了基本方向和方法，形成了初中階段研究平面幾何圖形的基本思路.

2?多概念的教學(xué)實(shí)踐

2.1?教學(xué)分析

筆者認(rèn)為多概念教學(xué)內(nèi)容多，課堂時(shí)間有限，教師在引導(dǎo)學(xué)生研究學(xué)習(xí)時(shí)不能做到十全十美，時(shí)間分配不能平均“用力”.考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和三角形高的復(fù)雜性，本節(jié)課確定三角形高的概念為重點(diǎn)研究對(duì)象.在三角形高的研究過(guò)程中，教會(huì)學(xué)生研究方法與策略，學(xué)生再用學(xué)到的思想與方法類(lèi)比研究三角形的中線和角平分線，完成本節(jié)課的教學(xué)，體現(xiàn)類(lèi)比思想和歸納思想.基于生長(zhǎng)式的多概念教學(xué)的教學(xué)探究基本思路，如圖1.

大致流程（主線）：起——承——轉(zhuǎn)——合.

2.2?教學(xué)片斷

下面以《三角形的高、中線、角平分線》為例進(jìn)行生長(zhǎng)式多概念教學(xué)的實(shí)踐探究.三角形是幾何研究的基本圖形，三角形的頂點(diǎn)、內(nèi)角和邊是構(gòu)成三角形的基本元素，三角形的內(nèi)角和三角形的三邊都存在探究的意義和研究的價(jià)值，那么，三角形的基本元素兩兩之間有沒(méi)有同樣的探究的意義和研究的價(jià)值呢？

環(huán)節(jié)1?起——開(kāi)課挑起凌云志

概念的引入是概念課的起始環(huán)節(jié)，是形成概念的基礎(chǔ)，概念的引入過(guò)程也是對(duì)概念生成原因的解釋過(guò)程[1].在此過(guò)程中，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適合學(xué)生學(xué)情的情境，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生感受到知識(shí)的連貫性和整體性，實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)明確指出的素養(yǎng)目標(biāo).基于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，抓住學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，拉近學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的距離.根據(jù)學(xué)生的生理心理特征，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，找準(zhǔn)概念的生長(zhǎng)點(diǎn)，一開(kāi)課就讓學(xué)生生疑，引起他們的學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)生疑惑處展開(kāi)概念教學(xué).

問(wèn)題1?如圖2，通過(guò)小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，你對(duì)三角形有哪些認(rèn)識(shí)？

教學(xué)分析?組織學(xué)生小組合作探究，學(xué)生已經(jīng)探究過(guò)三角形中的基本元素：頂點(diǎn)、內(nèi)角、邊，三角形的相關(guān)計(jì)算（周長(zhǎng)和面積）.其中三角形的面積除了研究三角形的基本元素邊以外，也探究了三角形的相關(guān)元素高.

問(wèn)題2?三角形的高怎么作？

教學(xué)分析?讓學(xué)生動(dòng)手操作，邊操作邊用語(yǔ)言描述高的作法，從哪開(kāi)始到哪結(jié)束，喚醒學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)，如圖3，抓住學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)引出課題.

環(huán)節(jié)2?承——辯課奏響最強(qiáng)音

概念的生成、獲得的過(guò)程是認(rèn)知沖突、抽象概括生成的，不僅要有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，也需要?jiǎng)邮植僮?，讓學(xué)生在勞動(dòng)中感悟知識(shí)收獲成長(zhǎng).本環(huán)節(jié)的關(guān)鍵就是尋找第一個(gè)概念的生機(jī)點(diǎn)——概念易混淆處，給學(xué)生時(shí)間和空間，對(duì)概念特征進(jìn)行辨析，讓不同的思維碰撞，形成真討論的勃勃生機(jī)的課堂氛圍.

問(wèn)題3?你還能做出三角形的哪些高？

教學(xué)分析?讓學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)歷、鞏固對(duì)三角形高的認(rèn)識(shí)，為下一步研究做鋪墊.

問(wèn)題4?三角形的三條高有怎么樣的位置關(guān)系？

教學(xué)分析?在學(xué)生動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上學(xué)生變成了驗(yàn)證三角形三條高交于一點(diǎn)的實(shí)踐者，教師再借助幾何畫(huà)板展示，驗(yàn)證銳角三角形交于一點(diǎn)的事實(shí)，如圖4.

問(wèn)題5?有沒(méi)有三角形的三條高的交點(diǎn)不在三角形內(nèi)部的情況？

教學(xué)分析?抓住學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生先獨(dú)立思考動(dòng)手操作，其后設(shè)置小組合作交流，最后讓小組展示分享學(xué)生的成果，教師利用幾何畫(huà)板展示驗(yàn)證并讓學(xué)生體會(huì)三角形三條高的交點(diǎn)從內(nèi)到外的變化過(guò)程，展現(xiàn)知識(shí)的延續(xù)性和完整性.師生共同得出結(jié)論：如圖5，銳角三角形的三條高交于三角形的內(nèi)部，直角三角形的三條高交于三角形的直角頂點(diǎn).鈍角三角形的三條高交于三角形的外部.

問(wèn)題6?為什么三角形的三條高交點(diǎn)存在以上三種情況？

教學(xué)分析?解決以上問(wèn)題都要回歸概念的本質(zhì)，概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是知識(shí)的源泉.小學(xué)階段高的定義為：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段是三角形的高.強(qiáng)調(diào)的是頂點(diǎn)和對(duì)邊，隨著學(xué)生對(duì)知識(shí)的加深知曉三角形的邊是一條線段，但是過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線存在沒(méi)有交點(diǎn)的情形，因此本節(jié)課的重點(diǎn)是在小學(xué)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上明確三角形的高是過(guò)三角形頂點(diǎn)作對(duì)邊所在直線的垂線，從而形成的垂線段是三角形的高.

通過(guò)探究三角形高的過(guò)程，歸納研究三角形高的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題和歸納的能力.

環(huán)節(jié)3?轉(zhuǎn)——柳暗花明又一村

生長(zhǎng)式概念不僅是橫向推進(jìn)的過(guò)程，也是縱向發(fā)展的過(guò)程，既要抓住前后知識(shí)點(diǎn)的共性，也要抓住前后知識(shí)點(diǎn)的異性.本環(huán)節(jié)要牢牢抓住后續(xù)概念的不同點(diǎn)在學(xué)生容易忽視的地方巧妙轉(zhuǎn)場(chǎng)，讓學(xué)生在類(lèi)比甄別中自然進(jìn)入后續(xù)概念的探究學(xué)習(xí)活動(dòng).

問(wèn)題7?觀察三角形的高使得原來(lái)的三角形發(fā)生了怎么樣的變化？

教材分析?三角形的高把原來(lái)的三角形一分為二，得到兩個(gè)特殊的直角三角形.此外，三角形的內(nèi)角被分成了兩個(gè)角，對(duì)邊被分為了兩條線段，為后面的研究埋下伏筆.

問(wèn)題8?你能大膽地猜想三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊還能構(gòu)建哪些橋梁呢？

教材分析?先讓學(xué)生通過(guò)折紙活動(dòng)發(fā)散思維去猜想，去構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)線段一分為二的特殊點(diǎn)（中點(diǎn)），內(nèi)角一分為二的特殊分法（角平分線）.體現(xiàn)特殊位置關(guān)系的研究?jī)r(jià)值.讓學(xué)生直觀的感受到知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程.通過(guò)折紙的直觀展示轉(zhuǎn)化到理性表達(dá)，使學(xué)生直觀感受到研究與三角形有關(guān)線段的思路和方法，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.從而獲得三角形中線和角平分線的定義.

問(wèn)題9?通過(guò)類(lèi)比探究高的過(guò)程，你認(rèn)為三條中線會(huì)交于一點(diǎn)嗎？角平分線呢？

教材分析?知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程需要學(xué)生自己動(dòng)手去實(shí)踐，通過(guò)類(lèi)比的思想去探究三角形的中線和角平分線，進(jìn)而解決三角形的中線和角平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部和為什么會(huì)交于內(nèi)部的問(wèn)題.

通過(guò)類(lèi)比高的研究方法，學(xué)生完成中線和角平分線的定義、作法和性質(zhì).讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、分析和總結(jié)，過(guò)渡到三角形的中線和角平分線，它們都是根據(jù)頂點(diǎn)與對(duì)邊的特殊關(guān)系構(gòu)建的橋梁，這是三角形三條線段的共性.但它們的位置不同，這是三角形三條線段的異性.

環(huán)節(jié)4?合——對(duì)比留下滿堂香

在生長(zhǎng)式概念教學(xué)過(guò)程中，不僅要厘清學(xué)生已有的知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且也要為后續(xù)知識(shí)的生長(zhǎng)提供整體學(xué)習(xí)的方法和思維發(fā)展的方向.既要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)概念中摸清源頭，又要讓學(xué)生在概念中明確知識(shí)的生長(zhǎng)趨勢(shì)，從而減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，真正實(shí)現(xiàn)“雙減”目的，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).本環(huán)節(jié)是總結(jié)升華，屬于點(diǎn)睛之筆，一定要高屋建瓴對(duì)多概念進(jìn)行對(duì)比，提煉出它們之間的共性和異性，并形成此類(lèi)知識(shí)的研究模型和套路，在對(duì)比過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生入腦入心的素養(yǎng)習(xí)慣.

本節(jié)課從三角形的基本元素出發(fā)生長(zhǎng)到相關(guān)元素：高、中線、角平分線，它們的共性是頂點(diǎn)與對(duì)邊構(gòu)建的橋梁，它們的異性是三角形的高表明垂直關(guān)系側(cè)重于最短距離、三角形的中線表明線段平分關(guān)系側(cè)重于面積相等、三角形的角平分線表明角的平分關(guān)系側(cè)重于邊的“對(duì)稱(chēng)”比例關(guān)系，它們的對(duì)稱(chēng)性、構(gòu)成的距離空間和度量特性，也正是幾何整個(gè)體系研究的基本套路.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)以三角形的高、中線、角平分線串起相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，形成指向?qū)W生未來(lái)的幾何知識(shí)體系，同時(shí)讓學(xué)生掌握相關(guān)概念的研究通法.通過(guò)對(duì)三角形的基本要素和相關(guān)要素的理解，以要素為突破點(diǎn)，織起三角形的立體知識(shí)體系網(wǎng)，讓學(xué)生在后續(xù)研究四邊形、圓的相關(guān)知識(shí)時(shí)能快速嵌入已經(jīng)習(xí)得的幾何素養(yǎng)從而真正讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程融為一體.

3?教學(xué)反思

三角形是既簡(jiǎn)單又能充分反映空間本質(zhì)的基本幾何圖形，掌握三角形知識(shí)就意味著理解了空間幾何的大部分基本性質(zhì)，并且它是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)[2].三角形概念是從概念組成的基本要素和相關(guān)要素人手，歸納它們的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，明晰三角形的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本方法，形成相關(guān)的數(shù)學(xué)思維方式.

3.1?整合素材層級(jí)遞進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“如果學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)的愿望，我們所有的計(jì)劃，所有的探索和理論統(tǒng)統(tǒng)都會(huì)落空.”思維的產(chǎn)生來(lái)源于認(rèn)知的沖突，適時(shí)的遞進(jìn)追問(wèn)可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望，讓學(xué)生的思維活起來(lái).本節(jié)課找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，注重與小學(xué)知識(shí)的銜接，注重動(dòng)手能力的培養(yǎng)，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過(guò)程中提出問(wèn)題，整體構(gòu)建學(xué)習(xí)內(nèi)容.從圖形性質(zhì)的研究角度和研究方法，滲透數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)線段的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步積累學(xué)習(xí)幾何圖形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能獲得的同時(shí)，著力體現(xiàn)幾何圖形的研究思路，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象獲得研究數(shù)學(xué)對(duì)象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑，從中發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并探尋解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，最終獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論.將學(xué)生思維的發(fā)展作為教學(xué)的著力點(diǎn)與落腳點(diǎn)，讓學(xué)生思維螺旋上升.

3.2?類(lèi)比探究動(dòng)手操作，促使學(xué)生深度表達(dá)

“予人以魚(yú)，惠其一時(shí)，授之以漁，惠其一世.”本節(jié)課是多概念教學(xué)，如果沒(méi)有合理安排本節(jié)課的重難點(diǎn)，本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)難以完成，本節(jié)課選取以三角形的高為重點(diǎn)，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作畫(huà)三角形的高、觀察與猜想、合作與交流、幾何畫(huà)板演示驗(yàn)證，學(xué)生得出三角形高的定義與性質(zhì)，形成研究三角形相關(guān)要素的研究方法與策略.再讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比從定義、性質(zhì)和特征等方面去研究三角形的中線和角平分線.教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的研究幾何圖形的基本思路，引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)抽象的一般幾何對(duì)象，要從具體、特殊的對(duì)象進(jìn)行探索，這給學(xué)生一個(gè)由近及遠(yuǎn)的宏觀數(shù)學(xué)視野，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，能遷移、類(lèi)比地去研究并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).學(xué)生從本節(jié)課中積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，潛移默化地形成和發(fā)展自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).思維能力的發(fā)展還體現(xiàn)在教師用問(wèn)題不斷引發(fā)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生多角度地思考問(wèn)題，注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握科學(xué)的認(rèn)知方法，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生的個(gè)人素養(yǎng)全面提升.

3.3?優(yōu)化探究追問(wèn)實(shí)效，促成素養(yǎng)深度達(dá)成

課堂教學(xué)是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主要陣地，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)提出問(wèn)題，以素養(yǎng)為目標(biāo)形成螺旋上升的問(wèn)題串，凸顯學(xué)科特點(diǎn)，培養(yǎng)思維能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的全過(guò)程，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，學(xué)會(huì)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想和方法，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).教師有效組織學(xué)生自主、合作、探究“三線”，引導(dǎo)學(xué)生啟發(fā)、討論、參與，學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)積極，充分發(fā)揮主體作用，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系.總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，形成研究幾何圖形的常用技巧，對(duì)學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維品質(zhì)起到積極的推動(dòng)作用.深度挖掘教材內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，突出過(guò)程，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生的主體地位得到很好的落實(shí)，充分體現(xiàn)新課標(biāo)“雙主”作用.

參考文獻(xiàn)

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[2]章建躍.研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（04）：1-10.

[3]金紅江.緊抓要素之間關(guān)聯(lián)促進(jìn)知識(shí)體系建構(gòu)——“三角形相關(guān)概念復(fù)習(xí)”設(shè)計(jì)與思考[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（08）：34-38.

作者簡(jiǎn)介?何楠（1992—），女，中學(xué)一級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

李洪兵（1973—），男，中學(xué)正高級(jí)教師，重慶市特級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.