邢孟雨 何聲清

【摘要】梳理新課改二十年來(lái)范希爾理論在幾何教育領(lǐng)域的應(yīng)用研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前研究的四個(gè)核心議題：基于思維水平理論考察學(xué)生對(duì)特定幾何概念的理解；基于思維水平理論考察教師對(duì)特定幾何概念的理解；基于思維水平理論評(píng)估教材中幾何概念的認(rèn)知水平；基于教學(xué)階段理論設(shè)計(jì)特定幾何概念的教學(xué)過(guò)程.上述研究構(gòu)建了系列針對(duì)特定幾何概念的思維水平模型和教學(xué)階段模型，豐富了范希爾理論的實(shí)踐成果，但是相對(duì)松散、不成體系，存在測(cè)評(píng)工具設(shè)計(jì)不精準(zhǔn)、思維水平評(píng)估不客觀、教學(xué)階段設(shè)計(jì)不清晰、實(shí)踐效果評(píng)估不規(guī)范等問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】范希爾理論；幾何思維水平；幾何教學(xué)；應(yīng)用研究

1問(wèn)題提出

“以學(xué)定教”是課程目標(biāo)設(shè)定、教材內(nèi)容選取、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的基本準(zhǔn)則.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出數(shù)學(xué)教學(xué)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征[1]，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出“數(shù)學(xué)教學(xué)要通過(guò)制定科學(xué)合理的學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，促進(jìn)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段素養(yǎng)水平的達(dá)成”[2].以幾何領(lǐng)域?yàn)槔?，學(xué)生的幾何概念是按照一定的次序和方向得以發(fā)展的，主要可以劃分為拓?fù)鋷缀坞A段、投影幾何階段及歐式幾何階段[3].上述有關(guān)學(xué)生幾何認(rèn)知發(fā)展的階段規(guī)律在宏觀上對(duì)于學(xué)段目標(biāo)設(shè)定、教材內(nèi)容選取均具有指導(dǎo)價(jià)值.

在微觀層面上，教師在常規(guī)教學(xué)中踐行“以學(xué)定教”時(shí)則面臨諸多困難，對(duì)于學(xué)情的分析常?；诮?jīng)驗(yàn)判斷、缺乏科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)[4].如何在微觀層面上，基于科學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)描述、解釋學(xué)生學(xué)習(xí)特定幾何概念時(shí)的特征？荷蘭數(shù)學(xué)教育家范希爾（Van Hiele）夫婦提出了一個(gè)刻畫(huà)學(xué)生幾何概念理解的五水平理論（以下簡(jiǎn)稱“思維水平理論”），認(rèn)為幾何概念的學(xué)習(xí)先后要經(jīng)歷視覺(jué)（visuality）、分析（analysis）、非形式化的演繹（informal deduction）、形式的演繹（formal deduction）及嚴(yán)密性（rigior）五個(gè)水平[3].視覺(jué)水平是指學(xué)生從整體輪廓上辨認(rèn)和描述幾何圖形及其元素，并根據(jù)對(duì)其形狀的操作解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.例如學(xué)生可能會(huì)將某個(gè)圖形視作三角形，因?yàn)樗雌饋?lái)像一個(gè)三明治.分析水平是指學(xué)生能分析圖形的要素、特征，由此建立圖形的特性，解決形體的比較、圖形的分類等幾何問(wèn)題.例如學(xué)生知道三角形有六個(gè)基本元素，但不能理解內(nèi)角越大，其對(duì)邊越長(zhǎng)的性質(zhì).非形式化的演繹水平是指學(xué)生能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的非形式化推論，探求圖形的內(nèi)在屬性和包含關(guān)系，同時(shí)又能用公式、定義及性質(zhì)做一些演繹推論.例如在了解等腰三角形的性質(zhì)后，學(xué)生會(huì)推出等腰直角三角形是特殊的直角三角形.形式的演繹水平是指學(xué)生開(kāi)始重視證明及其充分和必要條件，對(duì)比證明的不同方式，會(huì)用形式邏輯驗(yàn)證幾何定義、（逆）定理、猜想等.例如“至少有一條邊對(duì)應(yīng)相等”或“至少一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”是證明兩個(gè)三角形全等的必要條件，“兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等”則是其充分條件.嚴(yán)密性水平是指在不同的公理系統(tǒng)下，學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝蒲荻ɡ?，以分析比較不同的幾何系統(tǒng).例如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較.

根據(jù)思維水平理論，范希爾夫婦還相應(yīng)地提出了幾何教學(xué)的五階段理論（以下簡(jiǎn)稱“教學(xué)階段理論”），兩者共同構(gòu)成了完備的范希爾理論[3].教學(xué)階段理論認(rèn)為，幾何教學(xué)包括如下幾個(gè)關(guān)鍵階段：①學(xué)前咨詢，是指學(xué)生在與教師的交流下，理解學(xué)習(xí)任務(wù)和后續(xù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)；②引導(dǎo)定向，是指學(xué)生在教師安排的活動(dòng)順序中，逐漸認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)前進(jìn)的方向；③闡明，是指學(xué)生在教師的適當(dāng)點(diǎn)撥下，獲取知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和部分的學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)；④自由定向，是指學(xué)生在自主完成作業(yè)和探索問(wèn)題答案的過(guò)程中，明確學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容間的聯(lián)系；⑤整合，是指在習(xí)得的學(xué)習(xí)方法、內(nèi)容及關(guān)系的內(nèi)化統(tǒng)一中，學(xué)生的思維水平達(dá)到新的層次.

范希爾理論對(duì)于幾何領(lǐng)域的“以學(xué)定教”提供了一個(gè)可操作的參考框架.自引進(jìn)國(guó)內(nèi)后，學(xué)界基于該框架開(kāi)展了哪些應(yīng)用研究？是如何研究的？取得哪些有益經(jīng)驗(yàn)？本研究通過(guò)梳理新課改二十年來(lái)的相關(guān)研究來(lái)回答這些問(wèn)題.

2范希爾理論在幾何領(lǐng)域應(yīng)用研究的議題和方法

當(dāng)前應(yīng)用研究的主要議題可歸結(jié)為四個(gè)方面.第一，基于思維水平理論考察學(xué)生對(duì)特定幾何概念的理解水平；第二，基于教學(xué)階段理論設(shè)計(jì)特定幾何概念的教學(xué)過(guò)程.除此之外，還有研究基于思維水平理論，以“教師”和“教材”為研究對(duì)象，由此衍生了另外兩個(gè)議題，分別是：第三，基于思維水平理論研究教師對(duì)特定幾何概念的理解；第四，基于思維水平理論評(píng)估教材中幾何概念的認(rèn)知水平.

2.1學(xué)生的幾何思維水平研究

從研究對(duì)象來(lái)看，當(dāng)前有關(guān)學(xué)生幾何思維水平的研究大都集中在中學(xué)生群體.從研究范式來(lái)看，當(dāng)前研究大都先對(duì)思維水平理論進(jìn)行具體化，即構(gòu)建特定幾何概念的思維水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；其次，根據(jù)上述評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)編制測(cè)量工具；最后通過(guò)施測(cè)數(shù)據(jù)等對(duì)學(xué)生的理解水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

大部分研究都證實(shí)了應(yīng)用思維水平理論測(cè)量學(xué)生幾何思維水平的可行性.它既能夠?yàn)樵\斷學(xué)生的幾何思維水平提供參考依據(jù)，又能夠指導(dǎo)教師設(shè)計(jì)各個(gè)思維水平對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)目標(biāo)[5].特別地，對(duì)于開(kāi)放性問(wèn)題，應(yīng)用思維水平理論指導(dǎo)編制評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，能夠更科學(xué)地刻畫(huà)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn).例如，以基于思維水平理論設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為指導(dǎo)，有研究對(duì)北京市初三學(xué)生的幾何思維水平進(jìn)行測(cè)評(píng)，詳細(xì)統(tǒng)計(jì)了各水平學(xué)生的占比[6]；有研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)及翻折概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生的幾何思維大都處于非形式化的演繹水平，但沒(méi)有達(dá)到形式的演繹水平[7].上述這樣的評(píng)價(jià)方式能夠?yàn)閷W(xué)情分析提供更多有價(jià)值的信息.

除了對(duì)幾何思維水平的整體考察外，另有研究對(duì)學(xué)生關(guān)于特定幾何概念的思維發(fā)展水平進(jìn)行實(shí)證研究.例如，楊文萍分析了高二文科生立體幾何垂直證明的四個(gè)思維水平，指出學(xué)生的理解受到平面幾何知識(shí)的負(fù)遷移作用[8].邢玉琢對(duì)七、八年級(jí)學(xué)生幾何思維水平及其影響因素的研究顯示，學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)、幾何學(xué)習(xí)興趣及教師的教學(xué)方式與其幾何思維發(fā)展密切相關(guān)[9].黃興豐等人的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于初中階段，學(xué)生在七年級(jí)時(shí)其幾何思維尚未達(dá)到高階水平，在八、九年級(jí)時(shí)則有飛躍式發(fā)展[10]；對(duì)于高中階段，學(xué)生的空間幾何思維在視覺(jué)水平和分析水平上發(fā)展充分，在非形式化的演繹水平和形式的演繹水平上則發(fā)展緩慢[11].

2.2教師的幾何思維水平研究

教師的專業(yè)知識(shí)是影響教學(xué)效果的重要因素，有研究以思維水平理論為框架考查了教師的幾何思維水平.例如，官紅嚴(yán)和周超基于思維水平理論編制測(cè)評(píng)工具和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)老師的幾何思維水平能夠達(dá)到分析水平和非形式化的演繹水平，僅有1/4的教師能夠達(dá)到形式的演繹水平[12].這與國(guó)外研究基本一致，即具有高層次幾何思維水平的教師基數(shù)較小[13].值得注意的是，當(dāng)前以教師為研究對(duì)象考查其幾何思維水平的研究?jī)H寥寥數(shù)篇，建議未來(lái)加強(qiáng)研究.

2.3教材中幾何內(nèi)容的認(rèn)知水平研究

我國(guó)當(dāng)前的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材類型多樣，呈現(xiàn)“一綱多本”的格局.，不同版本教材對(duì)于幾何內(nèi)容的設(shè)置存在一定差異為了比較不同教材中幾何內(nèi)容認(rèn)知水平的差異，研究者通常借助思維水平理論作為分析框架.例如，崔冉分析了滬教版和人教版初中教材“幾何證明”內(nèi)容的認(rèn)知水平，指出兩版教材均覆蓋了前四個(gè)水平，但滬教版教材的編排更能凸顯思維水平間的銜接[14].唐恒鈞和張維忠通過(guò)對(duì)比美國(guó)《發(fā)現(xiàn)幾何》和我國(guó)華師大版數(shù)學(xué)教材中的“相似”內(nèi)容，指出兩國(guó)教材都注重將直觀幾何作為學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，但是美國(guó)教材的難度更大，這也意味著對(duì)學(xué)生思維水平的要求更高[15].

2.4幾何教學(xué)階段研究

作為思維水平理論的延續(xù)，教學(xué)階段理論著重為幾何教學(xué)提供可操作的框架，基于教學(xué)階段理論開(kāi)展科學(xué)化的教學(xué)實(shí)踐也就成為一項(xiàng)重要議題.

在教學(xué)實(shí)踐中，已有研究大都根據(jù)特定概念將其具體化，即提出“特定概念的教學(xué)階段”（為簡(jiǎn)略表述，下文統(tǒng)一稱作“基于教學(xué)階段理論的教學(xué)”）.幾乎所有基于教學(xué)階段理論的教學(xué)都證實(shí)了其對(duì)于學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的積極影響.例如，韋琳設(shè)計(jì)了“相似三角形的判定”的五階段教學(xué)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究表明它對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)和思維水平均有積極作用[16].韋爽設(shè)計(jì)了“橢圓和球體”的階段化教學(xué)方案，通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)、解題思路都要優(yōu)于對(duì)照班[17].除了對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和幾何思維水平有積極作用以外，還有研究證實(shí)，基于教學(xué)階段理論的教學(xué)能夠積極預(yù)測(cè)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的非智力因素.例如，萬(wàn)涵琪的研究發(fā)現(xiàn)，在開(kāi)展基于教學(xué)階段理論的“全等三角形”教學(xué)后，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣均有提升，整體學(xué)習(xí)氛圍更為濃厚；師生認(rèn)為基于教學(xué)階段理論的教學(xué)能更適應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“更能兼顧到幾何學(xué)習(xí)方面存在困難的學(xué)生”[18].

3分析與討論

當(dāng)前應(yīng)用范希爾理論開(kāi)展的研究議題主要有學(xué)生或教師幾何思維水平的測(cè)評(píng)、教材中幾何內(nèi)容思維水平的評(píng)估以及幾何內(nèi)容的階段教學(xué).其中，前三個(gè)研究議題主要以思維水平理論為依據(jù)，最后一個(gè)議題通常同時(shí)以思維水平理論和教學(xué)階段理論為依據(jù).

3.1已有研究針對(duì)特定的幾何概念，在師生思維水平、教材認(rèn)知水平和教學(xué)階段方面進(jìn)行了深入的探索，形成了系列具體的思維水平模型、教學(xué)階段模型，這豐富了范希爾理論的實(shí)踐成果

已有研究通常依據(jù)思維水平理論，制定特定幾何概念的思維水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、教材認(rèn)知水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以形成具體化、可操作的評(píng)價(jià)工具.但值得注意的是，當(dāng)前研究對(duì)于根據(jù)該理論劃分幾何思維（認(rèn)知）水平的可靠性看法不一.例如，有研究認(rèn)為，學(xué)生的范希爾幾何思維水平在同一層次內(nèi)具備多樣性[19].因此，依據(jù)思維水平理論評(píng)價(jià)學(xué)生作答時(shí)，有可能出現(xiàn)“某種作答難以歸結(jié)到這五個(gè)水平”的情況，即學(xué)生的作答實(shí)際超出了該理論的預(yù)設(shè).還需要指出的是，當(dāng)前研究多以平面幾何里的概念為載體，而較少有以立體幾何為載體的研究.

3.2已有研究在設(shè)計(jì)教學(xué)階段時(shí)通常采取兩種范式，但缺少對(duì)其實(shí)踐效果的評(píng)估

第一種范式是基于思維水平理論考察學(xué)生的學(xué)習(xí)特征，據(jù)此設(shè)計(jì)階段化的教學(xué)過(guò)程.第二種范式是：基于思維水平理論設(shè)計(jì)測(cè)評(píng)工具、開(kāi)展實(shí)證研究，結(jié)合教學(xué)階段理論、實(shí)證研究結(jié)果設(shè)計(jì)階段化的教學(xué)過(guò)程.換言之，第一種范式的主要依據(jù)是思維水平理論，第二種范式則是同時(shí)以思維水平理論和教學(xué)階段理論為指導(dǎo).值得注意的是，無(wú)論采取哪種范式開(kāi)展階段化教學(xué)，當(dāng)前研究通常僅依據(jù)教學(xué)前后的數(shù)據(jù)對(duì)比來(lái)分析其實(shí)踐效果，鮮有研究通過(guò)開(kāi)展教學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)基于教學(xué)階段理論的教學(xué)與常規(guī)教學(xué)的實(shí)踐效果進(jìn)行對(duì)比.從零星的實(shí)驗(yàn)研究來(lái)看，研究者主要通過(guò)比較不同教學(xué)方式下學(xué)生成績(jī)的增量、思維水平的變化及幾何興趣的差值等[18].需要注意的是，學(xué)生“思維水平的表現(xiàn)傾向具有偶然性與不穩(wěn)定性”[19]，因此有必要開(kāi)展進(jìn)一步的訪談，通過(guò)定量、定性研究的互證來(lái)謹(jǐn)慎地評(píng)估基于教學(xué)階段理論的教學(xué)在實(shí)踐中的效果.

3.3當(dāng)前有關(guān)范希爾理論的應(yīng)用研究相對(duì)松散、不成體系

范希爾理論給評(píng)估學(xué)生的幾何思維水平提供了框架、打開(kāi)了窗口，但只有針對(duì)特定概念形成系列具體化的思維水平模型、教學(xué)階段模型，其對(duì)于教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)價(jià)值才得以最大化地發(fā)揮.但是，檢索文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)有關(guān)范希爾理論的實(shí)證研究雖逐年遞增，但這些研究大都是碩士學(xué)位論文，尚缺乏專門的研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)展系統(tǒng)的研究.具體而言：第一，在評(píng)估學(xué)生幾何思維水平時(shí)，有些研究在編制測(cè)評(píng)工具時(shí)缺少對(duì)題目水平的論證，有些研究在評(píng)估學(xué)生作答時(shí)缺少對(duì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的論證，由此導(dǎo)致研究不夠精準(zhǔn).第二，在評(píng)估教材內(nèi)容的認(rèn)知水平時(shí)，已有研究大都聚焦平面幾何的內(nèi)容，缺少對(duì)立體幾何內(nèi)容的關(guān)注.第三，在衡量教師幾何思維水平方面的研究較少，尚不具備代表性.教師自身對(duì)范希爾理論知之甚少，難以準(zhǔn)確運(yùn)用其設(shè)計(jì)和展開(kāi)教學(xué)，因此開(kāi)展針對(duì)教師的研究十分必要.第四，當(dāng)前研究在設(shè)計(jì)階段化教學(xué)時(shí)大都機(jī)械地參照其實(shí)證研究結(jié)論.因此，需要在依據(jù)實(shí)證研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，整合教育技術(shù)等其他必要因素進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì).盡管研究表明，基于教學(xué)階段理論的教學(xué)能夠積極預(yù)測(cè)學(xué)生的非智力因素[18]，但僅僅借助基于教學(xué)階段理論設(shè)計(jì)的教學(xué)往往難以取得顯著的效果，需要整合教育技術(shù)等必要的支撐因素.

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作者簡(jiǎn)介? 邢孟雨（1997—），女，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

何聲清（1988—），男，講師，博士，碩士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.