張尚琦

[摘? 要] 最大化地發(fā)揮例題的教學(xué)功能，是踐行“雙減”政策的有力措施，也是將學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解放的必要手段. 文章摘錄一位教師的例題教學(xué)過程，展開剖析，提出相應(yīng)的優(yōu)化策略，并從以下幾方面談一些思考：追根溯源，因勢利導(dǎo);變式訓(xùn)練，提高實(shí)效;尊重差異，分層教學(xué).

[關(guān)鍵詞] “雙減”政策;例題教學(xué);變式訓(xùn)練

教育是立德樹人的事業(yè)，基礎(chǔ)教育關(guān)系到學(xué)生個(gè)人的發(fā)展. 隨著社會(huì)發(fā)展的實(shí)際需求，國家針對義務(wù)教育頒布了“雙減”政策，該政策的落地與有序推行，進(jìn)一步明確了“如何培養(yǎng)人”的理念. 踐行“雙減”政策過程中，筆者產(chǎn)生了較多感悟與思考，本文以一次聽課過程中的一道例題教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾卧凇半p減”背景下，優(yōu)化課堂例題教學(xué)設(shè)計(jì)，提高教學(xué)實(shí)效.

教學(xué)簡錄

問題：如圖1所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=與直線y=mx相交于點(diǎn)A（-1，a），B，且BC與x軸垂直，點(diǎn)C為垂足，已知△COB的面積為1.

（1）m，n的值分別是多少？

（2）直線AC的解析式是什么？

1. 問題情境

本題作為一道綜合題，涉及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)知識，這位教師首先帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧了與之相關(guān)的內(nèi)容，要求學(xué)生先完成以下三個(gè)問題：

（1）已知函數(shù)y=kx為正比例函數(shù)，且過點(diǎn)（1，-3），該函數(shù)還會(huì)經(jīng)過的點(diǎn)為（? ? ?）

A. （-1，3）? ? ? ?B. （1，3）

C. （-3，1）? ? ? ? D. （3，-1）

（2）已知在反比例函數(shù)y=-中，如果在該函數(shù)圖象上任意取點(diǎn)A，并過點(diǎn)A分別作x，y軸的垂線，這兩根垂線與平面直角坐標(biāo)系圍成一個(gè)矩形，該矩形的面積是多少？

（3）已知一次函數(shù)分別過點(diǎn)（3，5）與（-1，-1），寫出該函數(shù)的解析式.

2. 思維鏈接

問題1：原題條件中的關(guān)鍵點(diǎn)有哪些？

問題2：△COB的面積為1，根據(jù)這個(gè)條件，你們會(huì)聯(lián)想到反比例函數(shù)中的哪個(gè)結(jié)論？

問題3：觀察原題，思考求比例系數(shù)、函數(shù)解析式有哪些常用方法，本題缺乏哪些解題條件？

問題4：結(jié)合正、反比例函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，觀察圖象會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B之間存在怎樣的關(guān)系？據(jù)此大家能聯(lián)想到其他解決問題的辦法嗎？

3. 變式訓(xùn)練

變式1：如果反比例函數(shù)y=-與直線AC相交于點(diǎn)E，則△EOA和△EBA的面積分別是多少？該反比例函數(shù)的圖象上，有沒有一點(diǎn)P使得四邊形PBCA為平行四邊形？如果有，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若無，請說明理由.

變式2：將直線AB圍繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A依然落于反比例函數(shù)y=-的圖象上，經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的反比例函數(shù)與直線分別相交于點(diǎn)A′，B′，此時(shí)所形成的四邊形AA′BB′是什么形狀？求直線A′B′的解析式.

變式3：若取一把銳角為30°的直角三角尺置于圖象中，讓直角頂點(diǎn)與變式2中的點(diǎn)A′或點(diǎn)B′重合，此時(shí)三角板的兩條直角邊分別與x軸、y軸相交，交點(diǎn)分別為M（x′，0），N（0，y′），此時(shí)的x′，y′具備怎樣的函數(shù)關(guān)系？

4. 總結(jié)提煉

（1）知識層面：正比例函數(shù)圖象具備怎樣的性質(zhì)？待定系數(shù)法的應(yīng)用;反比例函數(shù)圖象具備怎樣的性質(zhì)？k具備怎樣的幾何意義？

（2）數(shù)學(xué)思想方法層面：轉(zhuǎn)化歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.

（3）解題思維的注意點(diǎn)在于：要充分關(guān)注基礎(chǔ)圖形知識的積累，為熟練、靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

教學(xué)剖析

1. 問題情境針對性弱

問題情境的創(chuàng)設(shè)是為了解決原題所服務(wù)，需具備明顯的針對性. 這位教師設(shè)計(jì)了三道題目，意在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)特點(diǎn)，并提取學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)內(nèi)待定系數(shù)法在函數(shù)中如何應(yīng)用的信息，為解決原題做好分解工作. 但是，課堂時(shí)間有限，學(xué)生在對這三道題目的探索中，不會(huì)有太多的思考空間，因此，此設(shè)計(jì)上存在“走過場”的嫌疑，復(fù)習(xí)效果一般.

其實(shí)，本節(jié)課在問題情境的創(chuàng)設(shè)時(shí)，可從原題出發(fā)，借助原題的題干進(jìn)行改編，或直接呈現(xiàn)原題的題干. 這樣能讓學(xué)生從情感上更加熟悉、接納問題，為拓展思維奠定基礎(chǔ).

2. 思維鏈接節(jié)點(diǎn)不夠精準(zhǔn)

解題思維鏈接的目的在于幫助學(xué)生搭建思維的臺階，讓學(xué)生的思維跟隨問題拾級而上，呈螺旋式上升[1]. 思維鏈接基本以由淺入深的問題形式呈現(xiàn)，學(xué)生從問題中感知解題思路. 因此，教師在問題設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮到知識的本質(zhì)與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，找到知識的生長點(diǎn)，只有這樣，才能在合適的節(jié)點(diǎn)上提出問題.

教師還需掌握好思維鏈接的問題的“度”，每一個(gè)問題都應(yīng)具備啟發(fā)思維與引導(dǎo)思考的作用，讓學(xué)生在問題的探索中，獲得啟發(fā). 鑒于此，教師可從理解題意、分析題意與解決策略的思維鏈接入手，尋找知識的生長點(diǎn)，進(jìn)行問題的設(shè)計(jì).

3. 變式設(shè)計(jì)偏離原題

變式訓(xùn)練的目的在于訓(xùn)練學(xué)生的解題思維，讓學(xué)生獲得解題技巧，形成舉一反三的解題能力. 這位教師所設(shè)計(jì)的變式，單從每個(gè)問題來分析，都遵循了知識難度由淺入深的原則，但結(jié)合本堂課的教學(xué)來說，卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)地偏離了原題，無法有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

如變式1中的條件“反比例函數(shù)y=-”并非原題的條件，而是來自教師的引導(dǎo);同樣，待求的結(jié)論“△EOA，△EBA的面積以及點(diǎn)P的坐標(biāo)”，都不是原題待求的結(jié)論，此變式的設(shè)計(jì)顯然與原題無關(guān). 雖然該變式具有滲透分類討論思想的功效，涉及圖形面積割補(bǔ)法的應(yīng)用，還補(bǔ)充了一些數(shù)學(xué)思想，卻存在偏離原題的弊端，從某種意義上來說，就是創(chuàng)造了一道新題，而非變式.

變式2、變式3亦然，雖然從單個(gè)問題來看，都是好問題，但與原題的條件、結(jié)論都沒有什么關(guān)系，學(xué)生很難從中探尋出知識之間的聯(lián)系，無法達(dá)到觸類旁通的目的.

本節(jié)課涉及一道例題教學(xué)，教學(xué)的目的在于通過對原題的研究、拓展，起到“以一當(dāng)十”的教學(xué)效果. 因此，設(shè)計(jì)變式應(yīng)在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行，通過改變原題條件、結(jié)論，讓學(xué)生的思維從“原點(diǎn)”出發(fā)，發(fā)散到相關(guān)知識中去，最終再回歸到原題.

優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于以上分析，筆者結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況與知識特點(diǎn)，將原設(shè)計(jì)進(jìn)行了以下優(yōu)化，以達(dá)到“減負(fù)增效”的教學(xué)成效.

1. 問題情境

例題教學(xué)相對枯燥，為了調(diào)動(dòng)課堂氣氛，吸引學(xué)生的注意力，筆者在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，以搶答的方式提出了兩個(gè)問題.

（1）如圖2所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=與直線y=mx相交于點(diǎn)A（-1，2），B，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）如圖3所示，雙曲線y=上存在點(diǎn)B，若BC與x軸為垂直的關(guān)系，點(diǎn)C為垂足，且△COB的面積為1，求n的值.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生想在最短的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地說出答案，就需要集中注意力，積極地調(diào)動(dòng)所有的感官系統(tǒng)，從認(rèn)知體系中提取可靠的信息. 這兩個(gè)問題緊扣一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)特點(diǎn)而提出，不僅起到復(fù)習(xí)、鞏固的作用，還成功地將學(xué)生的注意力集中到課堂上，為接下來的教學(xué)奠定了良好的知識與情感基礎(chǔ).

2. 思維鏈接

問題1：細(xì)致審題，本題提供了哪些已知條件？

問題2：將以上兩個(gè)搶答題結(jié)合在一起分析，根據(jù)本題的已知條件，我們能聯(lián)想到與之相關(guān)的哪些知識？

問題3：原題需求什么結(jié)論？想要求出相應(yīng)的結(jié)論，什么條件是必備的？這些必備條件在原題中是否提供？

問題4：大家準(zhǔn)備如何解決此題？你們覺得解題的突破口在哪兒？

設(shè)計(jì)意圖? 此環(huán)節(jié)的本質(zhì)是為學(xué)生的思維搭建“腳手架”，設(shè)計(jì)追問的形式，不僅能讓學(xué)生探尋到良好的解題思路，還能形成一環(huán)扣一環(huán)的思維鏈. 以上三個(gè)問題恰巧落于知識的生長點(diǎn)處，每一個(gè)問題都具有良好的引導(dǎo)與提示功能，起到引領(lǐng)與啟發(fā)的作用.

3. 變式訓(xùn)練

變式1（變條件）：將原題中△COB的面積為1，改成△COA的面積為1，其他條件與結(jié)論均不變.

變式2（變結(jié)論）：原題題干不發(fā)生改變，問題改為①求出△ABC的面積;②求雙曲線y=與直線AC的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

變式3（條件和結(jié)論互換）：如圖1所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=與直線y=-2x相交于點(diǎn)A（-1，a），B，且BC與x軸垂直，點(diǎn)C為垂足.

（1）△COB的面積是多少？

（2）直線AC的解析式是什么？

設(shè)計(jì)意圖? 由淺入深地變換問題的條件、結(jié)論，以及互換問題的條件與結(jié)論的變式設(shè)計(jì)，使得學(xué)生的認(rèn)知與思維拾級而上. 學(xué)生通過對變式的自主探索，自然而然地獲得了對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法與舉一反三的解題能力.

4. 總結(jié)提煉

（1）解題過程中，你在什么地方遇到了障礙？

（2）解決原題，大家用到了哪些數(shù)學(xué)知識與思想方法？

（3）通過本節(jié)課的教學(xué)，你們覺得哪些方法對今后的解題有幫助？

設(shè)計(jì)意圖? 以上三個(gè)問題，不僅引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)解題過程，而且促進(jìn)學(xué)生自我反省與自我評價(jià). 尤其是第（3）問，學(xué)生總結(jié)本節(jié)課獲得的能力的同時(shí)也對后期解題展開了思考，這是一個(gè)承上啟下的總結(jié)，為建立學(xué)習(xí)信心奠定了基礎(chǔ).

教學(xué)思考

1. 追根溯源，因勢利導(dǎo)

例題教學(xué)首先要明確教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，對問題中所涉及的知識點(diǎn)與縱橫相關(guān)的知識點(diǎn)有一個(gè)明確的認(rèn)識;其次要追溯學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，了解學(xué)生的知識儲備. 教師只有掌握了以上兩點(diǎn)，才能在教學(xué)過程中準(zhǔn)確找到知識的生長點(diǎn)，為設(shè)計(jì)啟發(fā)性的問題提供依據(jù).

追溯問題的本源是歸納解題策略、滲透數(shù)學(xué)思想方法的根本. 就題論題，治標(biāo)不治本，學(xué)生難以從中獲得啟發(fā)，更談不上各種能力的培養(yǎng). 因此，例題教學(xué)更應(yīng)注重學(xué)生的思維過程. 課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)的熱身活動(dòng)，教師不僅要做好相關(guān)知識的準(zhǔn)備，還要設(shè)計(jì)有吸引力的問題，抓住學(xué)生的眼球，讓學(xué)生在令人深思、含而不露的問題中自然而然地形成解題策略.

當(dāng)然，課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，無論教師的預(yù)設(shè)多么完美，都有可能出現(xiàn)意料之外的狀況. 這就要求教師擁有過硬的專業(yè)素養(yǎng)與隨機(jī)應(yīng)變的能力，因勢利導(dǎo)地做好引導(dǎo)與啟發(fā)工作，讓課堂在“以生為本”的基礎(chǔ)上，不偏離“航線”，一路向前.

2. 變式訓(xùn)練，提高實(shí)效

“雙減”政策的落地，將“減負(fù)增效”的實(shí)際成效擺上了臺面. 例題教學(xué)要實(shí)現(xiàn)高效，變式訓(xùn)練是最佳的方法. 變式能將與問題相關(guān)的知識羅列到一起，讓學(xué)生在類比分析中厘清知識脈絡(luò)，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系. 不論是一題多變、多題一解還是一題多解等，均需遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的過程，學(xué)生的創(chuàng)造性思維，在對問題的分析與總結(jié)中得以生長.

變式訓(xùn)練的本質(zhì)是激活靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生從不同維度去審視同一個(gè)知識點(diǎn)，并找出與之相關(guān)聯(lián)的一些內(nèi)容，最后串珠成鏈，建構(gòu)體系[2]. 教學(xué)中，教師可以在學(xué)生解決一般性的問題后，設(shè)計(jì)一些變式題，起到乘勝追擊的作用，讓學(xué)生換個(gè)角度尋找新的突破口. 這不僅是學(xué)生思維上的自我突破，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的有效途徑.

變式訓(xùn)練使得學(xué)生突破原有的單一的思維模式，促使他們綜合評估并靈活應(yīng)用相關(guān)知識，拓展解題思路，避免產(chǎn)生就題論題的弊端，為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)做好鋪墊. 實(shí)踐證明，變式訓(xùn)練不僅是“雙減”背景下的必然趨勢，還是促進(jìn)學(xué)生個(gè)人成長有效方法，它對提煉數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的認(rèn)知水平具有無可替代的作用.

3. 尊重差異，分層教學(xué)

學(xué)生之間的差異性是客觀存在的現(xiàn)實(shí)，教師作為課堂的設(shè)計(jì)者與執(zhí)行者，不僅要做好知識的傳授工作，還要放下教師的“權(quán)威”，成為每個(gè)學(xué)生的引導(dǎo)者與支持者，要結(jié)合學(xué)生實(shí)際，從真正意義上為學(xué)生的差異化發(fā)展做好服務(wù)工作. “雙減”背景下，針對學(xué)生差異性，教師可以從分層要求、分類指導(dǎo)、分層作業(yè)、個(gè)別點(diǎn)撥與多元評價(jià)等方面來實(shí)施[3].

結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，教師在例題教學(xué)過程中，可設(shè)計(jì)層次性的問題，讓學(xué)生有選擇性地進(jìn)行思考，也可對部分學(xué)生實(shí)施個(gè)別輔導(dǎo)，確保每個(gè)層次認(rèn)知水平的學(xué)生都能在教學(xué)中獲得不同程度的發(fā)展. 從宏觀角度來說，教師可協(xié)助學(xué)校開發(fā)一些具有研究性與拓展性的課程或社團(tuán)活動(dòng)，以滿足不同學(xué)生的需求，從多渠道滿足、支持學(xué)生的差異化發(fā)展.

總之，例題教學(xué)是照亮學(xué)生思維的燈塔，是貫徹落實(shí)“雙減”政策的關(guān)鍵. 教師教學(xué)時(shí)，切忌貪多貪快，只有將問題理清講透，才能讓學(xué)生從真正意義上擁有觸類旁通的解題能力. 當(dāng)然，學(xué)生除了在課堂上吃透知識，還要做到應(yīng)用時(shí)能反復(fù)揣摩例題中所涉及的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法. 如此，可最大化地發(fā)揮例題的作用，這也是提高教學(xué)實(shí)效的主要措施.

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