函數(shù)易錯(cuò)題歸因分析

聶青青

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是高考考查的核心內(nèi)容，函數(shù)教學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).從知識(shí)視角來(lái)說(shuō)，函數(shù)概念較為形式化和抽象，特別是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性結(jié)合起來(lái)至于具體或抽象的函數(shù)中，學(xué)生較難整體把握.從數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)視角看，學(xué)生如果對(duì)函數(shù)的概念未真正理解，對(duì)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)不能熟練運(yùn)用，不能用函數(shù)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，出錯(cuò)是很正常的.對(duì)于易錯(cuò)題，對(duì)錯(cuò)因進(jìn)行系統(tǒng)的整理和反思是很必要的，可以防止重復(fù)犯同樣或類似的錯(cuò)誤．

考生出錯(cuò)的原因很多，但典型錯(cuò)誤就那幾種.函數(shù)的三大類型的易錯(cuò)題，錯(cuò)因都很相似，為提高考生解題的防錯(cuò)意識(shí)，幫助考生正確全面地解答函數(shù)問(wèn)題，舉例進(jìn)行剖析．

一、概念不清致錯(cuò)

研究函數(shù)繞不開(kāi)的就是函數(shù)的定義域，高中階段用集合的觀點(diǎn)定義函數(shù)，函數(shù)的定義域確定就是一非空數(shù)集.學(xué)生在面對(duì)含參數(shù)的問(wèn)題并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)，屢犯的錯(cuò)誤有很大一部分都是忽視定義域非空，復(fù)合函數(shù)研究時(shí)也會(huì)忽視函數(shù)的定義域.根本原因就是概念不清，對(duì)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則的實(shí)質(zhì)理解不到位．

1.忽視定義域?yàn)榉强占?/p>

例1.記函數(shù)f（x）=2-x+3x+1的定義域?yàn)锳，g（x）=lg［（x-a-1）（2a-x）］（a≤1）的定義域?yàn)锽．

（1）求A；

（2）若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

錯(cuò)解：（1）由2-x+3x+1≥0，得x-1x+1≥0，

∴x<-1或x≥1，即A=（-∞，-1）∪［1，+∞）．

（2）由（x-a-1）（2a-x）>0，得（x-a-1）（x-2a）<0．

當(dāng)a+1=2a即a=1時(shí)，B=φ，滿足BA；

當(dāng)a+1>2a即a<1時(shí)，B=（2a，a+1），

要使BA，則2a≥1或a+1≤-1．

又a≤1，∴12≤a≤1或a≤-2，

∴滿足BA的a的取值范圍是（-∞，-2）∪［12，1］．

錯(cuò)因剖析：由函數(shù)的概念知，函數(shù)的定義域?yàn)榉强占?，所以錯(cuò)解中a=1時(shí)，B=φ是不合適的，應(yīng)舍去.正解：（-∞，-2）∪［12，1）．

2.研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性忽視定義域

例2.已知函數(shù)f（x）=lg（x2-4x-5）在（0，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A. （-∞，-1］

B. （-∞，2］

C. ［2，+∞）

D. ［5，+∞）

錯(cuò)解：令g（x）=x2-4x-5，易知g（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，

∴a≥2，選C．

錯(cuò)因剖析：研究f（x）=lg（x2-4x-5）的單調(diào)性，忽視其定義域應(yīng)為x|x2-4x-5>0=（-∞，-1）∪（5，+∞）．

正解：f（x）=lg（x2-4x-5）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（5，+∞），

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f（x）在（5，+∞）上單調(diào)遞增，

∴a≥5，選D．

3.混淆原函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域

例3.已知函數(shù)f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函數(shù)g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大．

錯(cuò)解：g（x）=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=log23x+6log3x+6=（log3x+3）2-3，

∵1≤x≤9，∴0≤log3x≤2，

∴當(dāng)x=9即log3x=2時(shí)，g（x）的最大值為22．

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)解混淆了函數(shù)的定義域，誤認(rèn)為g（x）的定義域仍為f（x）的定義域．

正解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，9］，故g（x）的定義域應(yīng)滿足1≤x≤9且1≤x2≤9，

∴x∈［1，3］，∴l(xiāng)og3x∈［0，1］．

當(dāng)x=3即log3x=1時(shí)，g（x）的最大值為13．

4.忽視函數(shù)具備奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

例4.若函數(shù)f（x）=k-2x1+k·2x在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值為．

錯(cuò)解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0即k-11+k=0，∴k=1．

錯(cuò)因分析：f（0）=0是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件，錯(cuò)解忽視了這一點(diǎn)；另外討論f（x）的奇偶性應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域．

正解：（方法一）當(dāng)k≥0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)镽，

則f（-x）+f（x）=0即k-2-x1+k·2-x+k-2x1+k·2x=0，

整理得（k2-1）（22x+1）（1+k·2x）·（k+2x）=0，

∴k2=1，又k≥0，∴k=1．

當(dāng)k<0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閤|x≠log2（-1/k），

要使f（x）具備奇偶性，則-1k=1，所以k=-1，

此時(shí)f（x）=2x+12x-1，f（-x）=2-x+12-x-1=1+2x1-2x=-f（x）．

綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)k的值為-1或1．

（方法二）先不討論定義域，用函數(shù)的奇偶性定義，x∈D都有f（-x）+f（x）=0，

即k-2-x1+k·2-x+k-2x1+k·2x=0，整理得（k2-1）（22x+1）（1+k·2x）·（k+2x）=0，

∴k2=1，得k=±1（其中k=1時(shí)定義域?yàn)镽，k=-1時(shí)定義域不含0）．

若此時(shí)不檢驗(yàn)k=±1是否都能使f（x）為奇函數(shù)，答案也是正確的．

筆者發(fā)現(xiàn)，考生認(rèn)為自己用了定義法了，無(wú)需再檢驗(yàn)，但這種做法是不正確的，如題：

（變式）已知函數(shù)g（x）=ln1+ax1+x為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

錯(cuò)解：x∈D都有g(shù)（-x）+g（x）=0，得ln1-ax1-x+ln1+ax1+x=0，

整理得（a2-1）x2=0，∴a2-1=0即a=±1．

如果不再繼續(xù)檢驗(yàn)a=±1是否都能使得g（x）為奇函數(shù)，則將出現(xiàn)錯(cuò)誤.

因?yàn)閍=1時(shí)g（x）=ln1+x1+x=0其定義域?yàn)閤|x≠-1，顯然不是奇函數(shù)．

所以，在已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值時(shí)，一定要優(yōu)先考慮定義域，若不考慮定義域而用定義法，則需檢驗(yàn)結(jié)果是否都符合題意．

5.不能精確求出實(shí)際問(wèn)題中的自變量的取值范圍

例5.在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中線AD的長(zhǎng)為y，AB的長(zhǎng)為x，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域．

錯(cuò)解：在△ADB與△ADC中，利用余弦定理cos∠ADC=1+y2-（3-x）22y以及cos（π-∠ADC）=1+y2-x22y，

∴1+y2-（3-x）2+1+y2-x2=0，解得y2=x2-3x+72．

又y>0，∴y=x2-3x+72，

易知x2-3x+72>0恒成立，

∴其定義域?yàn)閤|x>0且3-x>0=x|0

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)解中只考慮三條邊均為正，忽視了三角形應(yīng)滿足任意兩邊之和大于第三邊（實(shí)際上滿足這個(gè)條件也相當(dāng)于滿足了任意兩邊之小于第三邊，無(wú)需重復(fù)考慮），不能精確定位實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍．

正解：在△ABC中，依題中條件顯然有AB+AC>BC，還應(yīng)滿足AB+BC>AC以及AC+BC>AB，

即x+2>3-x且2+（3-x）>x，

∴12

二、審題不清致錯(cuò)

在知識(shí)已經(jīng)定位的條件下審題決定著解題的成敗，審題不清的真正原因是沒(méi)有正確把握概念、性質(zhì)，一線教學(xué)中，教師應(yīng)重視概念的教學(xué)，對(duì)于考生易混淆的卡點(diǎn)，需設(shè)置不同的問(wèn)題進(jìn)行區(qū)分．

1.混淆“函數(shù)的定義域?yàn)镽”與“函數(shù)的值域?yàn)镽”

例6.已知函數(shù)f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

錯(cuò)解：要使f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域?yàn)镽，則應(yīng)滿足3ax2+（2a+1）x+1>0恒成立，

故a>0，

Δ=（2a+1）2-12a<02-32

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)誤原因是把問(wèn)題與命題“已知函數(shù)f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”相混淆.一般地，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，若定義域?yàn)镽，則轉(zhuǎn)化為不等式3ax2+（2a+1）x+1>0恒成立；若值域?yàn)镽，則應(yīng)轉(zhuǎn)化為g（x）=3ax2+（2a+1）x+1的值域包含（0，+∞）．

正解：要使f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域?yàn)镽，則g（x）=3ax2+（2a+1）x+1的值域包含（0，+∞），即g（x）的函數(shù)值要取到所有正數(shù)．

當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x+1能取到（0，+∞）；

當(dāng)a≠0時(shí)，須有a>0，

Δ=（2a+1）2-12a≥00

2.混淆“有意義”與“定義域”

例7.若函數(shù)f（x）=lg（1-a2x）的定義域是（1，+∞），求a的取值范圍．

錯(cuò)解：依題意知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，1-a2x>0恒成立，∴a<2x恒成立．

又函數(shù)y=2x在x∈（1，+∞）上的值域?yàn)椋?，+∞），

∴a≤2．

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)解混淆了“有意義”與“定義域”的概念，函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的所有自變量的集合，而使得函數(shù)有意義的自變量的范圍可能只是定義域的一個(gè)子集．

正解：函數(shù)f（x）=lg（1-a2x）的定義域是（1，+∞），

即不等式1-a2x>0的解集是（1，+∞）．

∵1-a2x>02x>ax>log2a，

∴l(xiāng)og2a=1，a=2，

因此a的取值范圍是單元素集{2}．

3.混淆“自對(duì)稱”與“互對(duì)稱”

例8.函數(shù)y=f（x+1）與函數(shù)y=f（3-x）的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱．

錯(cuò)解：設(shè)x1=x+1，x2=3-x，依題意可得f（x1）=f（x2）且x1+x22=2，

∴函數(shù)y=f（x+1）與函數(shù)y=f（3-x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱．

錯(cuò)因剖析：此例是兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱問(wèn)題，錯(cuò)解把問(wèn)題（互對(duì)稱）與“函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（3-x），則f（x）圖像關(guān)于直線 對(duì)稱”（自對(duì)稱）混淆.實(shí)際上y=f（x+1）與y=f（3-x）是兩個(gè)不同的函數(shù)，此例討論的是函數(shù)的“互對(duì)稱”問(wèn)題．

正解：函數(shù)y=f（x+1）的圖像是由函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移1個(gè)單位得到，

函數(shù)y=f（3-x）的圖像為函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

即y=f（-x），再向右平移3個(gè)單位得到，即y=f［-（x-3）］=f（3-x）．

設(shè)點(diǎn)A（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖像上，點(diǎn)A（x，y）向左平移一個(gè)單位得到A′（x-1，y）；

點(diǎn)A（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱再向右平移3個(gè)單位得到A″（-x+3，y）．

易看出點(diǎn)A′（x-1，y）與A″（-x+3，y）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

故函數(shù)y=f（x+1）與函數(shù)y=f（3-x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱．

三、直覺(jué)思維致錯(cuò)

直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用，特別是選擇題或填空題只求結(jié)果不求過(guò)程.為了快速解決問(wèn)題，避開(kāi)繁雜的計(jì)算及邏輯推理，很大一部分考生也會(huì)憑直覺(jué)覺(jué)做題.憑直覺(jué)得出的結(jié)論未必可靠，直覺(jué)思維覺(jué)也要件;建立在扎實(shí)的基礎(chǔ)積累和嚴(yán)格的邏輯思維之上，因此未必每次憑感覺(jué)做題都能幸運(yùn).“憑感覺(jué)”僅看到了問(wèn)題的表象，并未深入研究問(wèn)題的本質(zhì)．

1.解析式變形不到位

例9.已知函數(shù)f（x）=log2（x2+1-x），判斷函數(shù)的奇偶性．

錯(cuò)解：∵x2+1-x≥0恒成立，

∴x∈R，又f（-x）=log2（x2+1+x），

顯然f（-x）≠f（x）且-log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x）即-f（x）≠f（-x），

∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

錯(cuò)因剖析：一線教學(xué)中，有很大一部分考生不具備“式感”，只看表象就認(rèn)為-log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x）或者log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x），實(shí)則運(yùn)算能力不足，對(duì)解析式的變形不到位，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的特殊性沒(méi)有“特意”分析．

正解：∵（x2+1-x）（x2+1+x）=1，

∴f（-x）=log2（x2+1+x）=log2（x2+1-x）-1

=-log2（x2+1-x）=-f（x）．

又f（-x）=f（x）不恒成立，

∴f（x）為奇函數(shù)．

2.數(shù)形結(jié)合中作圖過(guò)于粗糙

例10. 當(dāng)k∈（0，12）時(shí)，方程|1-x|=kx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ．

錯(cuò)解：作y=|1-x|和y=kx（0

易看出兩曲線在x>0時(shí)有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴原方程僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

錯(cuò)因剖析：實(shí)際上考生作圖過(guò)于粗糙（圖一是軟件作圖截取部分），忽略了正比例函數(shù)的增長(zhǎng)速度會(huì)比冪指數(shù)為12的冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度更快，y=kx（0

正解：（方法一）分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，精確作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，可知方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解．

（方法二）由|1-x|=kx，得|1-x|=k2x2．

當(dāng)x∈［0，1）時(shí)，原方程可化為x-1=k2x2，Δ=1-4k2，其中k∈（0，12）.

所以方程在x∈［0，1）有一個(gè)實(shí)數(shù)解，同理可驗(yàn)證方程在x∈［1，+∞）有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，從而原方程共有三個(gè)實(shí)數(shù)解．

類似的易錯(cuò)題還有：（1）函數(shù)f（x）=lgx-sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè);

（2）函數(shù)y=x2的圖像與y=2x的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè)．

針對(duì)以上錯(cuò)誤類型，在平時(shí)的教與學(xué)中，應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí)，立足課本，在對(duì)比中應(yīng)用各種函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)概念定義應(yīng)“咬文嚼字”，注意其限制條件；重視數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，提高作圖、識(shí)圖、用圖能力；重視錯(cuò)題的歸類整理，考生對(duì)于某些易錯(cuò)題往往一錯(cuò)再錯(cuò)，究其原因是沒(méi)有探究出錯(cuò)的根本原因，因此要重視對(duì)錯(cuò)題的歸類整理．

從某種意義上說(shuō)數(shù)學(xué)就是解題，減少錯(cuò)誤也是提高成績(jī)的一種重要方式.特別是函數(shù)部分，函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想都有涉及.適量訓(xùn)練時(shí)必要的，在日常教學(xué)中，要減少機(jī)械訓(xùn)練的量，并提高不斷糾錯(cuò)的質(zhì)，才能站在更高的角度看問(wèn)題．

責(zé)任編輯徐國(guó)堅(jiān)