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      有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測模型

      2023-05-30 10:48:04常思江李東陽
      航空兵器 2023年1期
      關(guān)鍵詞:控制力穩(wěn)定性

      常思江 李東陽

      引用格式:常思江,李東陽.有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測模型[J].航空兵器,2023,30(1):11-18.

      ChangSijiang,LiDongyang.AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryforGuidedProjectiles[J].AeroWeaponry,2023,30(1):11-18.(inChinese)

      摘要:針對彈箭在控制力作用下的穩(wěn)定性問題,對有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測模型進(jìn)行研究。通過對彈軸系縱軸向角速度的線性化,在彈軸系下建立了有控彈箭角運(yùn)動方程;通過對彈軸系與非滾系之間滾轉(zhuǎn)角的線性化,在非滾系下建立了五階角運(yùn)動方程。根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,分別推導(dǎo)出彈軸系和非滾系下的穩(wěn)定性邊界解析預(yù)測模型。對兩種模型在多種工況下開展了仿真分析,結(jié)果表明,所提出的彈軸系模型可用于升弧段和降弧段,但控制方位角的應(yīng)用范圍受限;而非滾系模型不受控制方位角范圍限制,預(yù)測精度較好,但只能用于降弧段,且控制力過大對模型精度產(chǎn)生不利影響;實際工程中建議對兩種模型進(jìn)行綜合應(yīng)用。

      關(guān)鍵詞:有控彈箭;控制力;角運(yùn)動;穩(wěn)定性;彈軸坐標(biāo)系;非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

      中圖分類號:TJ760

      文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

      文章編號:1673-5048(2023)01-0011-08

      DOI:10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0219

      0引言

      隨著精確打擊和低間接傷害概率逐漸成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭對彈藥武器的基本要求,各類低成本彈道修正彈、制導(dǎo)炮彈、制導(dǎo)航彈等有別于一般導(dǎo)彈的有控彈箭應(yīng)運(yùn)而生,目前已廣泛用于航炮、艦炮、地炮等武器系統(tǒng),具有較高的效費(fèi)比[1]。

      由于這類有控彈箭主要是在相應(yīng)的無控彈箭平臺基礎(chǔ)上通過制導(dǎo)化改造而成,故自20世紀(jì)70年代末以來,研究人員就十分關(guān)注彈箭在控制力作用下的穩(wěn)定性和動力學(xué)響應(yīng)等問題[2-4],針對各種有控彈箭開展了相關(guān)研究。Wernert等[5]對鴨式布局雙旋穩(wěn)定彈的穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行了研究;Corriveau等[6]針對脈沖發(fā)動機(jī)控制彈箭,研究了雙脈沖策略下的彈體響應(yīng)特性;Cooper等[7]研究了鴨式布局非對稱尾翼彈的穩(wěn)定性問題。國內(nèi)外學(xué)者近年來針對鴨式布局(含固定舵和可偏轉(zhuǎn)舵)雙旋彈這類有控彈箭,對自由運(yùn)動[5]、強(qiáng)迫運(yùn)動[8]、彈體對控制力和重力的動態(tài)響應(yīng)[9]、法向力計算模型[10]、質(zhì)心偏移運(yùn)動特性[11]、全彈道動態(tài)穩(wěn)定性[12]、控制穩(wěn)定性[13]等方面開展了深入研究。此外,Hu等[14]利用傳遞函數(shù)研究了捷聯(lián)導(dǎo)引頭延時所引起的彈箭錐形運(yùn)動不穩(wěn)定;Li等[15]研究了彈道修正彈的穩(wěn)定控制力邊界問題。

      從研究方法角度,上述研究主要是基于攻角方程,通過各種簡化對攻角方程實施近似解析求解,從而得到相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)等。為了驗證相關(guān)解析解的有效性,往往還需對剛體彈道模型進(jìn)行數(shù)值計算,由此也引出一重要的學(xué)術(shù)問題。

      Lloyd等[2]通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),對具有頭部控制力的有控彈箭(如鴨式布局雙旋彈,其頭部與后體通過滾動軸承連接,可實現(xiàn)差動滾轉(zhuǎn)),控制力的作用會引起彈體章動和進(jìn)動不穩(wěn)定,而傳統(tǒng)的外彈道線化理論卻無法解釋數(shù)值計算中出現(xiàn)的這種現(xiàn)象。研究表明[2-3],這其實與角運(yùn)動建模的坐標(biāo)系選取有關(guān)。彈箭角運(yùn)動建模,可選擇彈軸坐標(biāo)系(以下簡稱彈軸系)或非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(以下簡稱非滾系)。若采用反旋電機(jī)等部件,可近似實現(xiàn)頭部控制力相對于慣性系(如地面坐標(biāo)系)保持方向不變[2,11-13],則在非滾系內(nèi)建模,必然引入新的變量(滾轉(zhuǎn)角度N),如忽略該變量,將無法預(yù)測上述不穩(wěn)定現(xiàn)象;在彈軸系內(nèi)建模,存在縱軸向角速度的問題(表現(xiàn)為彈體俯仰角和擺動角速度的耦合),若忽略該縱軸向角速度,則等效于在非滾系內(nèi)建模。以往研究常假設(shè)俯仰角為零(即水平射擊),這與實際中“控制力往往在彈道降弧段作用”的工況具有較大差異。

      對此,Lloyd等[2]首先在非滾系下建模,對彈軸系與非滾系之間的滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行簡化,并利用線性化理論研究了角運(yùn)動方程的特征根,進(jìn)而給出控制力在水平和鉛直方向的穩(wěn)定范圍。針對同一問題,Murphy[3]認(rèn)為,不必從彈軸系轉(zhuǎn)換到非滾系也能得到相應(yīng)結(jié)果,他通過引入共軛變量,采用擬線性法求出復(fù)攻角方程的特征根,據(jù)此給出控制力誘導(dǎo)出的最大平衡攻角之穩(wěn)定邊界。Li等[15]針對彈道修正彈的控制力穩(wěn)定邊界問題,通過補(bǔ)償矩陣對控制力和重力的影響在彈軸系內(nèi)進(jìn)行了補(bǔ)償,但并未深究不同坐標(biāo)系下建模的本質(zhì)差異。

      文獻(xiàn)[2-3,15]所研究的問題本質(zhì)上可概括為“有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測”?!胺€(wěn)定性邊界”是指只要控制力大小在邊界范圍內(nèi),則可保證受控彈箭的穩(wěn)定飛行;而“解析預(yù)測”是指利用角運(yùn)動方程,通過解析方式找到相應(yīng)的邊界值。該研究可為有控彈箭總體方案的初步設(shè)計提供理論依據(jù)。根據(jù)上述分析,該問題的關(guān)鍵在于坐標(biāo)系。簡言之,Lloyd等[2]認(rèn)為不能在彈軸系內(nèi)建模而只能在非滾系中建模;Murphy[3]和Li等[15]則都認(rèn)為可在彈軸系內(nèi)建模,只不過需針對具體方程做一些修正。此外,上述文獻(xiàn)僅針對彈道降弧段工況進(jìn)行了研究,而實際上在彈道升弧段進(jìn)行控制也是需要的(如對于防空類彈藥)。

      為從彈道學(xué)機(jī)理角度厘清上述問題,本文以一類具有前(頭部)、后(彈身)兩體雙旋結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈道修正彈為研究對象(其頭部可提供彈道控制所需的法向力),將在彈軸系和非滾系下分別建立計及控制作用的彈箭角運(yùn)動模型,根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,推導(dǎo)穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測模型,考察升弧段和降弧段兩類工況,據(jù)此分析不同坐標(biāo)系下所得結(jié)果的優(yōu)勢和局限性,以期為該問題的機(jī)理研究及有控彈箭總體方案設(shè)計等提供參考。

      1不同坐標(biāo)下的彈箭角運(yùn)動方程

      1.1坐標(biāo)系簡介

      彈箭攻角運(yùn)動方程的建??稍趶椵S系或非滾系下進(jìn)行。由于彈軸系和非滾系是從地面坐標(biāo)系(簡稱地面系)和彈體坐標(biāo)系(簡稱彈體系)得到,故本節(jié)先介紹地面系和彈體系。

      地面系原點A取為炮口中心;ZE軸沿重力方向,向下為正;XE軸與重力方向垂直,指向彈體的速度方向為正;YE軸由右手法則確定。通常將地面系(AXEYEZE)平移至彈體質(zhì)心,得平動坐標(biāo)系(OXEYEZE)。

      彈體系與彈體固聯(lián),原點位于彈箭質(zhì)心O;X軸與彈體縱軸重合,指向頭部為正;Y軸在彈翼對稱平面內(nèi)與X軸垂直,從彈尾向前看去,向右為正;Z軸方向按右手法則確定。彈體系(OXYZ)可由平動坐標(biāo)系經(jīng)歐拉轉(zhuǎn)換,依次繞Z軸、Y軸和X軸旋轉(zhuǎn)彈體偏角ψ、俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角得到。

      彈軸系的Y軸始終在水平面內(nèi),為此,將彈體系繞X軸轉(zhuǎn)過滾轉(zhuǎn)角-即得彈軸系(OXYAZA);非滾系X軸的角速度始終為零,故將彈軸系繞X軸轉(zhuǎn)過滾轉(zhuǎn)角N,使X軸的角速度為零,即得到非滾系(OXYNZN)。需要說明的是,滾轉(zhuǎn)角N是一個人為定義的角度,與飛行器俯仰角、偏航角、滾轉(zhuǎn)角等姿態(tài)角相比,并非一可視化的姿態(tài)角,其物理意義在于:角速度N恰與彈軸系X軸的自轉(zhuǎn)角速度抵消,從而保證非滾系X軸的自轉(zhuǎn)角速度為零,使得角運(yùn)動建模過程得以簡化。

      值得說明的是,對于雙旋穩(wěn)定彈的控制力,在彈軸系內(nèi)建模,模型相對準(zhǔn)確但計算不便;在非滾系內(nèi)建模,模型誤差稍大但計算方便。因此,本文在兩種坐標(biāo)系下開展研究,以便為不同應(yīng)用場合提供適用的模型和算法。

      1.2彈軸坐標(biāo)系下的角運(yùn)動方程

      設(shè)彈箭在彈軸系下的角速度三分量分別為p,q,r,則彈軸系縱軸向(X軸)的角速度可表示為

      Ωx(s)=-rdVtanθ(1)

      式中:d為彈徑;V為來流速度;s為無量綱彈道弧長,s=∫Vdt/d,t為彈箭飛行時間;θ為彈體俯仰角。

      對于本文研究的有控彈箭,作用在彈體上的控制力和力矩如圖1所示。

      如圖1所示,NC和MC分別為控制力和控制力矩;控制力作用點至彈體質(zhì)心的距離為XC(定義控制力作用點位于質(zhì)心之前為正,XC>0);φP為控制力NC相對于地面系鉛直軸(重力方向)的方位角。

      控制力在彈軸系中的表達(dá)式為

      FCxFCyAFCzA=NC0sinφP-cosφP(2)

      控制力矩在彈軸系中的表達(dá)式為

      MCxMCyAMCzA=XCNC0cosφPsinφP(3)

      當(dāng)控制力很小或為零時,角速度Ωx(s)≈0;但對于控制力較大的情形,Ωx(s)值不可忽略,否則會引起文獻(xiàn)[2]所示的誤差。

      設(shè)攻角在彈軸系下的分量為高低攻角α和方向攻角β,則θ=θV+α,其中θV為彈道傾角;同時,將攻角角速度近似等于彈體橫向角速度,即r≈-β·,q≈α·。因此,為方便后續(xù)求平衡點,對式(1)做如下近似:

      Ωx(s)=β′tan(θV+α)≈β′[tanθV+(1+tan2θV)α](4)

      取狀態(tài)變量

      x=[αα′ββ′]T(5)

      式中:“′”表示對無量綱弧長s的一階導(dǎo)數(shù)。

      根據(jù)外彈道理論[16],在彈軸系下建立以時間t為自變量的橫向運(yùn)動方程,為

      v·=Fay+Fnaym-(uΩz-Ωxw)

      w·=Faz+Fnazm-(vΩx-Ωyu)

      q·=May+MnayIy-(σpΩz-Ωxr)

      r·=Maz+MnazIy-(Ωxq-σpΩy)(6)

      式中:Ωx,Ωy,Ωz為彈軸系相對于地面系的角速度分量;其余符號同前。

      定義復(fù)攻角ξ=(v+iw)/V和復(fù)彈體擺動角速度μ=(q+ir)(d/V),取無量綱彈道弧長s=∫Vdt/d為自變量,則可將式(6)寫成復(fù)數(shù)形式,即

      ξ′+V′V+iΩxdVξ-iuVμΩ=(Fy+iFz)dmV2μ′+V′V+iΩxdVμ-iσpdVμΩ=(My+iMz)d2ItV2(7)

      式中:

      μΩ=(Ωy+iΩz)(d/V),可認(rèn)為μΩ≈μ;

      Fy+iFz=mAV2(Cy+iCz)/d+(Fnay+iFnaz);

      My+iMz=Ak-2t·(Cm+iCn)ItV2/d2+(Mnay+iMnaz);(Cy+iCz)為側(cè)向氣動力系數(shù),(Cm+iCn)為側(cè)向氣動力矩系數(shù),限于篇幅,兩者的具體表達(dá)式從略。

      從式(7)中第1式解出μ,將其關(guān)于s求一階導(dǎo)數(shù)可得μ′,將μ和μ′代入式(7)中第2式,經(jīng)推導(dǎo)得到只含有復(fù)攻角ξ的角運(yùn)動方程,為

      ξ″+[H-i(P1-P2)]ξ′-[M-P1P2+i(PT-P′2+S1)]ξ=(Ry+iRz)(8)

      式中:P1=P-Ωx(s);P2=Ωx(s)+P20;P=σpd/V;P20=PACNpα/σ+ACSN;等號右端的Ry和Rz是與控制力和重力有關(guān)的項,其具體表達(dá)式較冗長,這里從略;其余符號同前。

      由于攻角α≈v/V和β≈w/V,式(8)可化為以α,α′,β,β′為狀態(tài)變量的狀態(tài)空間形式的角運(yùn)動方程(一階微分方程組),將式(4)與Ry,Rz的具體表達(dá)式代入其中,忽略影響較小的重力項,并記x1=α,x2=α′x3=β,x4=β′,可得

      x′=[x2x′2x4x′4]T(9)

      式中:

      x′2=(M-[-Ω2x+(P-P20)Ωx+PP20])x1-(PT-Ω′x+S1)x3-(P-P20-2Ωx)x4-Hx2+Rz0+RzΩΩx;

      x′4=(M-[-Ω2x+(P-P20)Ωx+PP20])x3+(PT-Ω′x+S1)x1+(P-P20-2Ωx)x2-Hx4+Ry0+RyΩΩx;

      Ry0=(-FCyAkC+FCzAP+F′CyA)B;

      Rz0=(-FCzAkC-FCyAP+F′CzA)B;

      RyΩ=-FCzAB;RzΩ=FCyAB;

      kC=xCk-2t+Ak-2tCMq;xC=XC/d;

      H=-Ak-2t(CMq+CMα·)+ACNα;

      M=Ak-2tCMα+A2CNαk-2tCMq;

      S1=Ak-2tCSM+A2CSNk-2tCMq;

      T=T0-ΩxPH1;T0=1σAk-2tCMpα+ACNα;

      H1=H+Ak-2tCMα·;

      P=σpdV;P20=PACNpασ+ACSN;

      A=ρSd2m;B=dmV2;k-2t=md2It。

      其中:m為彈箭質(zhì)量;S為彈體橫截面積;ρ為彈箭所處位置的大氣密度;σ=Ix/It,Ix和It分別為彈體的軸向和橫向轉(zhuǎn)動慣量;CMq為赤道阻尼力矩系數(shù);CMα·為下洗延遲力矩系數(shù);CNα為法向力系數(shù);CMα為俯仰力矩系數(shù);CSN為誘導(dǎo)側(cè)向力系數(shù);CSM為誘導(dǎo)側(cè)向力矩系數(shù);CNpα為馬格努斯力系數(shù);CMpα為馬格努斯力矩系數(shù)。

      1.3非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的角運(yùn)動方程

      在非滾系下建立角運(yùn)動模型時,為了準(zhǔn)確地計及控制力的影響,相對于地面系方向固定的控制力在向非滾系的三個軸進(jìn)行投影時,必須考慮滾轉(zhuǎn)角度N的影響,此時會出現(xiàn)N的三角函數(shù),使得角運(yùn)動方程在非滾系內(nèi)出現(xiàn)幾何非線性。對此,考慮到一般情況下N不斷變化且量值較小,可對N進(jìn)行小角度假設(shè),即sinN≈N,cosN≈1,以消除幾何非線性。

      因此,控制力在非滾系中的三分量為

      FCxFCyNFCzN≈0FCyA+FCzAN-FCyAN+FCzA(10)

      控制力矩在非滾系內(nèi)的三分量為

      MCxMCyNMCzN≈0(-FCzA+FCyAN)XC(FCzAN+FCyA)XC(11)

      設(shè)非滾系下的速度分量為(u,v,w),令α=v/V表示非滾系內(nèi)攻角的高低分量,β=w/V表示非滾系內(nèi)攻角的側(cè)向分量,且由于θ=θV+α,故可近似取θ′≈α′。

      采用文獻(xiàn)[16]中角運(yùn)動建模的一般思路,經(jīng)繁雜的推導(dǎo),可得到非滾系下的彈箭橫向運(yùn)動方程組為

      β′=Fay+FnaymdV2-uVr^-βV′V

      α′=Faz+FnazmdV2+uVq^-αV′V

      q^′=May+MnayItd2V2-σp^r^-q^V′V

      r^′=Maz+MnazItd2V2+σp^q^-r^V′V

      ′N=(q^sinN+r^cosN)tanθ(12)

      式中:p^=pd/V;q^=qd/V;r^=rd/V;Fay,F(xiàn)az,May,Maz為作用在彈箭上的空氣動力和力矩;Fnay,F(xiàn)naz,Mnay,Mnaz為重力和控制力,即

      Fay=dmV2[-ACNαβ+(p^ACNpα+ACSN)α+

      A(CNq+CNα·)r^];

      Faz=dmV2[-ACNαα-(p^ACNpα+ACSN)β-

      A(CNq+CNα·)q^;

      May=d2ItV2[Ak-2tCMαα+Ak-2t(p^CMpα+CSM)β+

      Ak-2t(CMq+CMα·)q^];

      Maz=d2ItV2[-Ak-2tCMαβ+Ak-2t(p^CMpα+CSM)α+

      Ak-2t(CMq+CMa·)r^];

      Fnay=FCyN+mgcosθ·N;

      Fnaz=FCzN+mgcosθ;

      Mnay=MCyN;Mnaz=MCzN。

      式中:CNq為彈軸擺動引起的俯仰阻尼力系數(shù);CNα·為下洗延遲俯仰阻尼力系數(shù)。關(guān)于CNq和CNα·的具體描述可參見文獻(xiàn)[17]。

      根據(jù)小角度假設(shè),對式(12)的最后一式做如下近似:

      ′N≈r^tanθ(13)

      為便于建模,這里取狀態(tài)變量為

      x=βαq^r^NT(14)

      將控制力和力矩表達(dá)式(10)~(11)、氣動力和力矩的具體表達(dá)式代入式(12),并結(jié)合式(13),經(jīng)推導(dǎo)、整理,可得非滾系下的五階角運(yùn)動方程為

      x′=Kx+Q(15)

      式中:

      K=LNp0NqF3NpL-Nq0-F2MpMMq-PM3-MMpPMq-M2000tanθ0;

      Q=[F2,F(xiàn)3,M2,M3,0]T;

      矩陣K和矩陣Q中元素的具體表達(dá)式為

      L=-ACNα

      M=Ak-2tCMα

      Mp=Ak-2t(p^CMpα+CSM)

      Np=p^ACNpα+ACSN

      Mq=Ak-2t(CMq+CMα·)

      Nq=A(CNq+CNα·)-1

      F2=FCyAB

      F3=FCzAB

      M2=-xCk-2tFCzAB

      M3=xCk-2tFCyAB。

      值得說明的是,本文通過對滾轉(zhuǎn)角N進(jìn)行線性化得到的上述五階角運(yùn)動方程,相較于文獻(xiàn)[15]中的六階角運(yùn)動方程,降低了計算復(fù)雜度。

      2穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測模型

      根據(jù)上述不同坐標(biāo)下的彈箭角運(yùn)動方程,利用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,推導(dǎo)相應(yīng)的穩(wěn)定性邊界預(yù)測模型。

      2.1彈軸坐標(biāo)系下的解析預(yù)測模型

      對彈軸系下的彈箭角運(yùn)動方程式(9),求其平衡點為

      xe=δMRz0-δTRy00δMRy0+δTRz00(16)

      式中:δM=-M~M~2+(PT0+S1)2;δT=(PT0+S1)M~2+(PT0+S1)2;M~=M-P·P20;下標(biāo)“e”表示“平衡點”。

      在平衡點附近進(jìn)行局部線性化,可得平衡點的Jacobian矩陣為

      Je=0100M~-H-(PT0+S1)RC20001PT0+S1P~M~RC4(17)

      式中:

      P~=P-P20;RC2=(-P~·x1e+H1·x3e+RzΩ)Ωx1-P~;RC4=(-P~·x3e-H1·x1e+RyΩ)Ωx1-H;Ωx1(x1e)=tanθV+(1+tan2θV)x1e;

      x1e和x3e分別表示狀態(tài)變量x1和x3對應(yīng)的平衡點。

      由上式可見,控制力出現(xiàn)在RC2和RC4中,從而影響平衡點的特征根。因此,可通過特征根來分析控制力對彈箭角運(yùn)動穩(wěn)定性的影響。

      系統(tǒng)的特征多項式可表達(dá)為

      d4λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0(18)

      式中:

      d4=1;d3=H-RC4;d2=-2M~-P~RC2-HRC4;d1=-M~(H-RC4)+(PT0+S1)(P~-RC2);d0=M~2+(PT0+S1)2。

      根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論中的Routh判據(jù),在控制力作用下,若彈箭角運(yùn)動在平衡點附近是穩(wěn)定的,則彈箭的結(jié)構(gòu)參數(shù)、氣動參數(shù)以及控制參數(shù)等,需滿足以下條件:

      di>0,i=0,1,2,3d2d3-d1>0d1d2d3-d23d0-d21>0(19)

      由于控制力和控制力矩參數(shù)出現(xiàn)在系數(shù)d1,d2及d3中,則利用不等式組式(19),可確定彈箭在某一飛行條件下允許的控制參數(shù)范圍。這里,控制參數(shù)組合為(FyC,F(xiàn)zC,xC),也可采用(NC,φP,xC)的組合形式,兩者通過式(2)~(3)進(jìn)行換算。

      2.2非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的解析預(yù)測模型

      由非滾系下的彈箭角運(yùn)動方程式(15)可知,與控制力(矩)有關(guān)的項(即F2,F(xiàn)3,M2,M3)包含在系數(shù)矩陣K中。根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,通過求解K的特征根可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,進(jìn)而確定控制力的穩(wěn)定范圍。

      彈箭角運(yùn)動系統(tǒng)的平衡點為

      xe=-K-1Q(20)

      系統(tǒng)的特征多項式為

      d5λ5+d4λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0(21)

      式中:

      d0=tanθ{

      [-(LM-MpNp)P+(LMp+MNp)Mq]F2+[(LM+MpNp)Mq+(LMp-MNp)P+(M2+M2p)Nq]F3+

      [-Mq(L2-N2p)-(LM-MpNp)Nq]M2+[-P(L2-N2p)-(LMp+MNp)Mq]M3};

      d1=(P2+M2q)(L2-N2p)+(M2+M2p)N2q+2LNq(MMq+PMp)+

      tanθ{(2LP+MpNq)M3+(L2-N2p+2LMq+MNq)M2+(-LM-MpNp-MMq-PMp)F3+[-(LMp+MNp)+MP-MpMq]F2};

      d2=-2[(L2-N2p)Mq+L(P2+M2q)+(LM+MMq+PMp)Nq]+tanθ·[MF3+F2Mp-PM3-(2L+Mq)M2];

      d3=L2-N2p+P2+M2q+4LMq+2MNq+M2tanθ;d4=-2Mq-2L;d5=1。

      仍采用Routh判據(jù),可得非滾系內(nèi)彈箭角運(yùn)動穩(wěn)定所必須滿足的條件為

      di>0,i=0,1,2,3,4d4d3-d2>0d2(d4d3-d2)-d4(d4d1-d0)>0d4d1-d0>0(22)

      當(dāng)僅考慮水平方向的控制力FCyA時,即FCzA=0,則F3=0且M2=0,從上述di的表達(dá)式可知,只有di(i=0,1,2)中含有控制力F2和力臂系數(shù)xc(定義xc=xC·k-2t),故可將F2和xc分離出來,即等價表達(dá)為如下形式:

      di=di0+dic·F2(23)

      式中:dic=dic0+dicc·xc。限于篇幅,di0,dic0,dicc的具體表達(dá)式從略。

      于是,不等式組式(22)可改寫為

      di>0,i=3,4di0+dicF2>0,i=0,1,2-d2cF2+d3d4-d20>0a2F22+a1F2+a0>0(d4d1c-d0c)F2+d4d10-d01>0(24)

      式中:

      a2=-d22c;

      a1=d3d4d2c-d24d1c+d4d0c-2d20d2c;

      a0=d3d4d20-d24d10+d01d4-2d220。

      只要給出控制力的作用位置XC,控制力F2的穩(wěn)定范圍就可通過求解不等式組式(22)或式(24)得到。

      3仿真與分析

      至此,推導(dǎo)出了彈軸系下的穩(wěn)定性邊界解析預(yù)測模型式(19)和非滾系下的穩(wěn)定性邊界預(yù)測模型式(22)或式(24)。為驗證模型的有效性,開展仿真分析。

      3.1仿真條件

      以某105mm旋轉(zhuǎn)彈[15]為例,假設(shè)在彈道降弧段進(jìn)行控制,對應(yīng)的彈道參數(shù)和氣動力系數(shù)如表1所示。其中,LCG為彈體重心至彈頂?shù)木嚯x,以彈徑的倍數(shù)計。據(jù)此計算出角運(yùn)動方程的系數(shù),如表2所示。

      除上述外,本節(jié)仿真中還考慮控制力作用位置在θV=±43°處(彈道升弧段和降弧段)、彈體左旋(取p=-1050rad/s)的工況,并給出相應(yīng)的仿真結(jié)果。

      3.2結(jié)果與分析

      (1)彈軸系解析模型的仿真結(jié)果與分析

      將表1~2中的系數(shù)代入不等式組式(19),可得控制力參數(shù)組(NC,φP,xC)的可行范圍,如圖2所示。

      圖2中,藍(lán)色對應(yīng)不等式d1>0,青色對應(yīng)不等式d2>0,綠色對應(yīng)不等式d3>0,紅色對應(yīng)不等式d2d3-d1>0,黃色對應(yīng)不等式d1d2d3-d23d0-d21>0;豎軸的數(shù)值為不等式符號左端的取值。不難看出,后兩個不等式(紅色和黃色)起主要作用。

      圖3~4分別給出了彈道升弧段(θV=43°)和降弧段(θV=-43°)工況下,不同控制方位角φP對應(yīng)的穩(wěn)定控制力NC的范圍。同時,轉(zhuǎn)速取p=±1050rad/s。

      圖3(a)和圖4(a)均為控制方位角φP的極坐標(biāo)表示,p=1050rad/s對應(yīng)彈體右旋,p=-1050rad/s對應(yīng)彈體左旋。

      由圖可知,對于升弧段,所推導(dǎo)模型只能預(yù)測右旋彈在φP∈(0°,180°)時的NC穩(wěn)定邊界,而無法預(yù)測φP∈(180°,360°)時的NC穩(wěn)定邊界,對于左旋彈卻正好相反;對于降弧段,模型只能預(yù)測右旋彈在φP∈(180°,360°)時的NC穩(wěn)定邊界,而無法預(yù)測φP∈(0°,180°)時的NC穩(wěn)定邊界,左旋彈也正好相反。

      根據(jù)第1.2節(jié)關(guān)于控制力的描述,NC可表示控制力的幅值(值域為[0,+∞]),控制力方向由φP表征。若控制力作用位置為彈頂(xC=2.96),考察p=1050rad/s時的降弧段工況,利用解析模型可計算得到:當(dāng)φP=90°時,控制力的穩(wěn)定邊界為4.9N;當(dāng)φP=270°時,控制力的穩(wěn)定邊界為37.27N。只有當(dāng)控制力小于對應(yīng)邊界值時,才可實現(xiàn)穩(wěn)定的角運(yùn)動。同時,對未采取任何近似的方程組式(12)(可認(rèn)為是精確模型)進(jìn)行數(shù)值積分,所得結(jié)果為:當(dāng)φP=90°時,控制力的穩(wěn)定邊界為55N;當(dāng)φP=270°時,控制力的穩(wěn)定邊界為37N。顯然,解析模型與精確模型對穩(wěn)定控制力一側(cè)邊界(φP=270°)的預(yù)測結(jié)果十分吻合,但對另一側(cè)(φP=90°)則差異較大。這也是該解析模型的主要缺點。但相比于現(xiàn)有文獻(xiàn)中的模型,該模型既可求解降弧段(θV<0)工況,又可求解升弧段(θV>0)工況。

      值得說明的是,方程組式(12)來自于6自由度剛體彈道方程組,未作任何簡化,只是對應(yīng)于某一特征點(速度V為常數(shù))。對方程組式(12)進(jìn)行數(shù)值積分,本質(zhì)上等同于對6自由度剛體彈道方程組在相應(yīng)特征點上進(jìn)行數(shù)值求解。因此,通過數(shù)值積分方程組式(12)來驗證解析計算模型是合理、可行的。

      根據(jù)第2節(jié)的理論分析,穩(wěn)定控制力只能在平衡點附近的一定鄰域內(nèi)滿足穩(wěn)定性,無法保證在任何條件下均實現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)動。

      (2)非滾系解析模型的仿真結(jié)果

      這里仍以上述105mm旋轉(zhuǎn)彈為例。由于非滾系解析模型無法計算彈道升弧段工況,故僅給出降弧段(θV=-43°)工況下不同控制方位角φP對應(yīng)的穩(wěn)定控制力NC的范圍,仍取p=±1050rad/s。將上述結(jié)果與彈軸系解析模型在相同條件下的計算結(jié)果進(jìn)行對比,如圖5所示。

      由圖5可知,對于降弧段工況,兩種坐標(biāo)系下的模型對于右旋時相對于鉛垂平面向左的控制力穩(wěn)定范圍、左旋時相對于鉛垂平面向右的控制力穩(wěn)定范圍,給出了相同的估計結(jié)果(可稱為有效估計結(jié)果)。

      取p=1050rad/s,θV=-43°,xC=2.96為條件,由解析模型計算可得:對于水平控制力NC·sinφP,當(dāng)φP=90°時,控制力的穩(wěn)定邊界為53.65N;當(dāng)φP=270°時,控制力的穩(wěn)定邊界為36.87N。由此可知,圖5所示兩種模型的有效估計結(jié)果與前述方程組式(12)的數(shù)值積分結(jié)果較為吻合??梢?,本文利用小角度假設(shè)對滾轉(zhuǎn)角N進(jìn)行線性化是合理、可行的。與彈軸系模型相比,非滾系模型消除了對控制方位角φP應(yīng)用范圍的限制,這是該模型的優(yōu)勢,但其缺點在于無法應(yīng)用于θV>0的升弧段。當(dāng)θV>0時,判別式(24)的解為空集,但對方程組式(12)進(jìn)行數(shù)值積分,仍可得到穩(wěn)定控制力的邊界。

      值得注意的是,由于非滾系模型在推導(dǎo)過程中,對滾轉(zhuǎn)角N進(jìn)行了小攻角假設(shè),因而上述結(jié)論只在N不太大時成立(如N<60°)。從五階角運(yùn)動方程式(15)及其平衡點表達(dá)式(20)可知,N的穩(wěn)態(tài)值只涉及α,β的方程,故N的穩(wěn)態(tài)值大小與控制力的大小有關(guān)。當(dāng)控制力的模值越大,N也越大,并且攻角α,β也越大,此時線性化系統(tǒng)式(15)就和原系統(tǒng)相差較大,不能很好地預(yù)測角運(yùn)動方程的穩(wěn)態(tài)值,很可能會出現(xiàn)過估計的現(xiàn)象,這就限制了穩(wěn)定性判據(jù)不等式(22)的應(yīng)用范圍。

      4結(jié)論

      本文針對作用在有控彈箭上的相對于慣性系方向固定的控制力,提出了彈軸系和非滾系下的兩個穩(wěn)定性邊界解析預(yù)測模型,用于估計控制力對彈箭角運(yùn)動穩(wěn)定性的影響,可量化給出穩(wěn)定控制力的邊界范圍。

      通過對比、分析兩個坐標(biāo)系下的模型,總結(jié)出兩者各自的優(yōu)勢和不足:

      (1)與現(xiàn)有文獻(xiàn)模型相比,本文所建立的彈軸系模型可應(yīng)用于升弧段和降弧段兩種工況;不足之處在于其給出的穩(wěn)定控制力上、下界,只有其中一個足夠準(zhǔn)確,而另一個卻由于近似處理的原因而退化為無效。

      (2)由于本文所提出的非滾系模型是一個五階方程,相較于文獻(xiàn)中的六階方程,降低了計算復(fù)雜度。在降弧段,該模型對穩(wěn)定控制力的預(yù)測結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果吻合較好;不足之處在于其不能用于升弧段。此外,滾轉(zhuǎn)角N的大小和控制力大小密切相關(guān),過大的控制力會產(chǎn)生較大的N,導(dǎo)致小角度假設(shè)失效,影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

      在實際應(yīng)用中,建議根據(jù)所研究有控彈箭的彈道特點、戰(zhàn)術(shù)技術(shù)要求等,同步利用上述彈軸系模型和非滾系模型開展穩(wěn)定性邊界預(yù)測,在對兩個模型的計算與分析結(jié)果進(jìn)行綜合考量后,作為理論設(shè)計的依據(jù)。

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      AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryfor

      GuidedProjectiles

      ChangSijiang*,LiDongyang

      (CollegeofEnergyandPowerEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

      Abstract:Aimingattheproblemofprojectilestabilityundertheactionofcontrolforce,thispaperstudiedtheanalyticalpredictionmodelofstabilityboundaryforguidedprojectiles.Bylinearizingthelongitudinalaxialangularvelocityofbodyaxiscoordinate,theangularmotionequationunderthebodyaxiscoordinateisestablished.Throughlinearizingtherollanglebetweenthebodyaxiscoordinateandnon-rollingcoordinate,afive-orderequationofangularmotionisproposedunderthenon-rollingcoordinate.Usingthestabilitytheoryoflinearsystem,theanalyticalpredictionmodelofstabilityboundaryunderthebodyaxiscoordinateandnon-rollingcoordinateareobtained.Simulationsofthetwomodelsundervariousworkingconditionsareconducted.Resultsindicatethattheproposedmodelunderthebodyaxiscoordinatecanbeappliedintherisingarcsegmentandthefallingarcsegment,whereasthecontrolforceorientationislimited.Themodelunderthenon-rollingcoordinateisnotlimitedbythecontrolforceorientation,andthepredictionaccuracyisgood.Thedrawbackofthismodelisthatitcanonlybeusedforthefallingarcsection,anditsaccuracywillbeharmfullyaffectedbyexcessivecontrolforce.Itissuggestedthatthetwomodelsshouldbeappliedcomprehensivelyinpracticalengineering.

      Keywords:controllableprojectiles;controllableforce;angularmotion;stability;bodyaxiscoordinate;non-rollingcoordinate

      收稿日期:2022-10-17

      基金項目:瞬態(tài)沖擊技術(shù)重點實驗室基金項目(6142606183107)

      *作者簡介:常思江(1983-),男,廣西恭城人,博士,副研究員。

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