徐奇　侯星　吳亞婷

摘 要：在經(jīng)濟決策的許多應用領域中存在著大量的動態(tài)多目標優(yōu)化問題，根據(jù)動態(tài)多目標優(yōu)化問題具有隨環(huán)境變化而改變的特性，提出了一種基于參考點信息預測的動態(tài)多目標優(yōu)化決策模型（RGPS）。當環(huán)境發(fā)生變化時，通過選取當前環(huán)境下關聯(lián)個體較多的參考點，將同一參考點下的個體作為子種群，每個子種群的質心作為預測點集。利用歷史種群信息，對歷史時刻關聯(lián)到同一參考點的個體質心建立時間序列，通過灰色預測策略產(chǎn)生預測個體；同時為了增加種群的多樣性，在每個預測個體加上擾動。實驗結果表明RGPS模型在處理動態(tài)多目標經(jīng)濟決策問題的有效性。

關鍵詞：動態(tài)多目標優(yōu)化；灰色預測；參考點；時間序列

中圖分類號：F224.3? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1671-9255（2023）01-0043-05

一、文獻綜述

隨著中國開放經(jīng)濟已成體系并日益復雜，在科學管理與經(jīng)濟決策的許多應用領域中存在著很多動態(tài)多目標優(yōu)化問題（DMOPs）[1]，例如，在經(jīng)濟決策問題中既要使社會總產(chǎn)值有較高的增長速度，又需要保持產(chǎn)品一定的增長速度，同時還要使環(huán)境污染程度盡可能降低。牛鴻蕾等人根據(jù)低碳經(jīng)濟發(fā)展目標對工業(yè)行業(yè)進行重新歸類，并根據(jù)動態(tài)多目標優(yōu)化模型，以預測未來5年中國工業(yè)結構調整的碳排放效應。[2]文旭等人針對現(xiàn)有環(huán)境經(jīng)濟調度模型無法滿足污染氣體排放風險管理的現(xiàn)狀，建立計及污染氣體排放風險的多目標隨機動態(tài)環(huán)境經(jīng)濟調度模型，其仿真實驗證明了所提模型的有效性。[3]動態(tài)多目標優(yōu)化問題中目標之間難以進行比較，且目標之間相互沖突，相關參數(shù)可能隨著外部環(huán)境的變化而改變，因此，解決動態(tài)多目標優(yōu)化問題要考慮如何在環(huán)境變化時較快地找到當前時刻的最優(yōu)解集，以響應環(huán)境變化。

通常，一個具有 維決策變量， 個目標函數(shù)的DMOPs定義為：

其中， 為時間變量，f=（f1，f2，…，fm）是與 相關的 維目標函數(shù)，x=（x1，x2，…xn）為 維決策變量， 為決策空間， 和 分別為不等式和等式約束。[4]

當前，根據(jù)求解DMOPs不同動態(tài)處理策略，可以分為基于記憶的策略、種群多樣性保持策略和基于預測的策略。[5-10]相對于其他策略，預測策略有著更加廣泛的適用性，通過尋找問題的變化趨勢來生成符合環(huán)境變化規(guī)律的初始種群。預測策略能否有效的引導種群進化依賴于每個歷史環(huán)境獲得最優(yōu)解集的質量和從歷史環(huán)境中獲得有效的引導種群進化的信息。Wang等人提出了一種基于灰色預測模型的預測方法（GM-DMOPs），通過將種群分為多個聚類，利用每個聚類的質心建立灰色預測模型，生成新環(huán)境下的種群個體，實驗結果表明了將灰色預測策略引入DMOPs的有效性。[11]丁進良等人提出了一種基于參考點預測策略的模型，通過對關聯(lián)到相同參考點的個體建立時間序列，使用線性回歸預測模型產(chǎn)生新環(huán)境下的初始種群以實現(xiàn)快速響應環(huán)境變化，加快種群在新環(huán)境下的收斂速度。[12]李二超等人提出了一種基于參考線預測策略的模型，通過記錄每個參考線關聯(lián)的個體在環(huán)境變化初始時和個體自主進化后個體位置的變化，以預測最優(yōu)個體所在的方向。[13]盡管這些模型能夠較好地響應環(huán)境變化，但在環(huán)境變化過程中，如何迅速收斂仍然是動態(tài)多目標優(yōu)化問題的難點之一。

本文基于文獻[11]中的灰度預測模型提出了一種基于參考點的灰度預測模型（RGPS），在環(huán)境變化后，利用結構化參考點和種群個體關聯(lián)的策略來記錄歷史信息，選取當前環(huán)境最靠近真實Pareto前沿面（PF）的參考點集，利用歷史種群信息，對不同環(huán)境且關聯(lián)在同一參考點下的個體的種群質心作

為一個時間序列，對每一個時間序列利用灰度預測策略預測產(chǎn)生新環(huán)境下的個體，從而引導種群進化方向，加快模型的收斂速度。通過對FDA和DMOP測試函數(shù)集上的7個標準動態(tài)測試函數(shù)的實驗[4，140]，表明了RGPS模型具有更好的收斂速度，能夠快速地對環(huán)境變化做出響應。

二、基于參考點信息預測的動態(tài)多目標優(yōu)化決策模型（RGPS）

在本節(jié)中，我們將詳細描述RGPS模型的構建過程，該模型受到高斯逆建模方法的影響。[15]為了清晰和易于理解，整個RGPS模型分為預處理和模型搭建兩個主要部分，其中（一）～（三）小節(jié)主要介紹RGPS模型的參考點生成方法、環(huán)境與參考點的關聯(lián)策略及灰度預測模型的運行機理，（四）～（五）小節(jié)主要介紹種群初始化及RGPS模型的運行機理及步驟。RGPS模型主要是利用均勻分布的參考點信息加快個體與參考點的關聯(lián)效率，利用歷史種群信息尋找個體種群質心的簡化方法來預測新環(huán)境下的個體，從而加快預測模型在新環(huán)境下的收斂速度。

（一）基于高斯逆建模方法的個體關聯(lián)

本文采用高斯逆建模方法設計生成均勻分布在超平面上的參考點。對于給定的 個目標問題，在每個軸上具有均勻間距 的歸一化超平面上生成 個點。設 是每個目標軸的等距劃分數(shù)（即 ），生成的參考點個數(shù) 計算為：

圖1為三目標優(yōu)化問題參考點生成示意圖，其中 （ ）， 。

參考點與個體的關聯(lián)方式如下：首先，連接每個參考點和原點作為該參考點的參考向量。然后，計算個體與每個參考向量的垂直距離，最后個體將與距離最小的參考點進行關聯(lián)。圖2給出兩目標問題中個體 與參考點 的關聯(lián)示意圖。

（二）選取預測個體

當環(huán)境發(fā)生變化后，種群會自主向當前環(huán)境下的PF方向進化。研究表明[16]，隨著種群進化，距離真實Pareto前沿面的參考點關聯(lián)個體越多。因此，每個參考點信息對預測過程并非同等重要?；谶@一特點，本文選出當前環(huán)境下關聯(lián)個體較多的參考點，將同一參考點下的個體作為子種群，每個子種群的質心作為預測點集，利用歷史種群信息，比對同一參考點下質心位置的變化，以反應環(huán)境變化的方向。具體步驟見方法1。

方法1 預測個體選取策略

Step 1：利用第一小節(jié)方法對當前種群個體進行參考點關聯(lián)。利用非支配排序算法，記錄每個個體所在支配層信息。

Step 2：計算各參考點關聯(lián)的個體數(shù) ，并進行降序排列，選取前 個參考點。其中，若兩個參考點關聯(lián)個體數(shù)一致，則選擇關聯(lián)的個體支配層靠前多的參考點信息。//H為參考點個數(shù)。

Step 3：根據(jù)公式（3）將當前環(huán)境 時刻選取的參考點 關聯(lián)的個體求其質心。

其中， 為該參考點關聯(lián)的個體數(shù)，xm（m=1，…，p）是 關聯(lián)的個體。

（三）構建基于參考點的灰度預測模型

灰色預測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要部分，在處理部分信息不完全或不確定的系統(tǒng)是非常有效的。[017-0]其通過識別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，找出無序、不規(guī)則的原始數(shù)據(jù)中的內(nèi)在規(guī)律，將原始數(shù)據(jù)變成規(guī)則的數(shù)據(jù)序列，以建立預測模型進行預測。

在灰色預測模型中，研究人員最常使用的預測模型是GM（1，1）。假設 為樣本原始數(shù)據(jù)序列，GM（1，1）模型為， 。其中，a為發(fā)展灰數(shù)； 為內(nèi)生控制灰數(shù)； 是原始數(shù)據(jù)通過使用累加生成新序列 （， ）。

然后進行累減還原，可以計算出所需要的預測值：

GM（1，1）預測模型是單變量模型，只能預測單個值，不能直接用于求解動態(tài)多目標問題。Wang提出了一種可以處理動態(tài)多目標問題中多變量問題的方法[11]，其依據(jù)k-mean聚類的方法求種群質心，但隨機初始化質心位置會對最后的聚類結果有很大的影響。因此，本文根據(jù)參考點信息從四個時刻的子種群中選擇同一參考點產(chǎn)生的質心點構建一個時間序列，建立灰色預測模型，對 時刻的種群個體進行預測。

假設決策空間為 維，種群規(guī)模為 ，根據(jù)3.2節(jié)從 時刻選取 個參考點。將從環(huán)境 時刻選取的參考點 關聯(lián)的個體種群 通過式（3）求得種群質心為 ；同樣，根據(jù)歷史信息求出 ， ， 時刻下參考點 關聯(lián)的個體種群的種群質心 ， ， 。

根據(jù)個體維數(shù)計算每個質心點的平均值 ，構建一個時間序列 ，通過式（4）預測新環(huán)境 的平均值 。

當樣本數(shù)據(jù)可以預測，那么每個變量的歷史數(shù)據(jù)之和與所有數(shù)據(jù)之和的比值可以作為對變量的比值估計。假設 的預測值為 ，通過 計算得到質心點的和值，根據(jù)分配比例 可以將和值分配給每個分量 ， 通過式（5）確定：

根據(jù)式（6）可得到下一環(huán)境 時刻的預測個體：

（四）初始化種群

為了使群保持良好的多樣性和收斂速度，將新環(huán)境 時刻的初始種群 分為記憶種部分、預測部分和隨機部分。其中，記憶種群從 時刻種群中選擇排名靠前的 個體構成。對于預測部分， 是新環(huán)境中參考點 的預測個體，假設在每個預測個體附近生成 個個體，其通過式? （7）在預測個體附近產(chǎn)生：

其中， 是預測產(chǎn)生的個體； 是標準偏差，定義為：

其中， 是決策空間維數(shù)。其余的隨機部分中的個體通過隨機方法生成，個數(shù)為 。

（五）RGPS模型建立步驟

RGPS模型以GM-DMOPS為基本框架[11]，當環(huán)境發(fā)生變化時，利用參考點信息對下一時刻種群進行預測，具體建立步驟如下：

Step 1：設置初始化參數(shù)，最大進化代數(shù) ，種群規(guī)模為 ，初始環(huán)境 ，環(huán)境變化幅度 ，環(huán)境變化頻率 ；

Step 2：初始化： ；初始化種群 ；當前進化代數(shù) ；

Step 3：環(huán)境檢測。如果環(huán)境發(fā)生變化，則跳轉步驟4，否則，跳轉步驟9；

Step 4：if? ?do；

Step 5：根據(jù)第二小節(jié)選出參與預測的參考點 ；

Step 6：根據(jù)第三小節(jié)預測生成下一時刻的個體；

Step 7：根據(jù)第四小節(jié)確定產(chǎn)生種群大小為 的預測種群作為下一時刻的初始種群 ；

Step 8：end if；

Step 9：對當前種群進行進化操作，根據(jù)第一小節(jié)方法將個體與參考點關聯(lián)，并存儲種群信息；

Step 10：判斷是否滿足停止條件。若滿足，則停止；否則， ，跳轉步驟3。

三、實驗數(shù)據(jù)分析

（一）測試問題

本文選取了7個FDA系列和DMOP系列作為測試函數(shù)。在7個測試函數(shù)中，F(xiàn)DA系列問題的決策變量之間是線性相關的，DMOP系列問題是對FDA系列問題的拓展。其中，F(xiàn)DA1、FDA4和DMOP3屬于第一類問題，PS隨時間變化，PF不隨時間變化；FDA2和DMOP1屬于第二類問題，PS不隨時間變化，PF隨時間變化；FDA3和DMOP2屬于第三類問題，PS和PF都隨時間變化。

（二）評價指標

本文采用兩個評價指標來評價算法性能，具體如下：

1．反向世代距離[19]，IGD（Inverted Generational Distance）

IGD用來評估種群的收斂性和種群的多樣性，算法性能越好，IGD值越小。公式如下：

其中， 為真實PF中的種群個體數(shù)， 為真實PF中的每個個體到求出的種群個體的最短距離。

2．Schott的間隔度量[20]，SP（ spacing metric）

SP是通過計算所求解集在目標空間的分布性來評價模型的性能。SP值越小，說明求得的解集分布越均勻，公式如下：

其中， 是算法求出的每個個體到真實PF中的個體最小距離， 為 的均值， 為求出的種群個體個數(shù)。

（三）參數(shù)設置

（1）基準函數(shù)參數(shù)設置：測試函數(shù)環(huán)境的變化頻率 ，環(huán)境變化的嚴重程度 ，最大迭代次數(shù) 。即對每個測試函數(shù)設置20個環(huán)境變化，算法運行300代停止，每個算法獨立運行30次。

（2）種群進化部分參數(shù)設置：種群規(guī)模 =200，交叉概率為0.9，變異概率為0.1。

（3）預測過程選取參考點個數(shù)： 。

（四）實驗結果分析

對于每一類測試問題，本文將所提RGPS模型與DNSGA2-B和GM-DMOPS進行了對比[8，11]，分別在7個測試函數(shù)上運行30次。3種模型性能評價指標IGD和SP統(tǒng)計均值見表1。

通過對比表1中數(shù)據(jù)，可以看出，本文所提RGPS模型的IGD值和SP性能指標在大部分測試函數(shù)上都優(yōu)于DNSGA2-B和GM-DMOPS模型。

通過選取3種算法在7種測試函數(shù)的部分時刻的Pareto最優(yōu)解集， RGPS模型在大多數(shù)測試函數(shù)中前期表現(xiàn)出了更好的收斂性，但是分布性較差，這是因為在進行參考點個體關聯(lián)時，初始種群分布不均勻，有些參考點并未關聯(lián)個體，從而陷入局部最優(yōu)解，但經(jīng)過進化，種群的分布性得到了改善。在處理第二測試問題（FDA2，DMOP1）和第三類測試問題（FDA3，DMOP2）時，測試函數(shù)在環(huán)境發(fā)生變化后，其PF會發(fā)生變化，RGPS模型能夠根據(jù)歷史參考點信息，更好的對環(huán)境變化后的種群進行預測，在保持種群收斂的同時，仍然有較好的分布性。整體來看，RGPS模型相較于DNSGA-II和GM-DMOPS模型表現(xiàn)更好，所得解集分布較為均勻，更加接近測試函數(shù)的真實前沿。

四、結論

經(jīng)濟決策的許多應用領域都存在著大量的動態(tài)多目標優(yōu)化問題。對于求解動態(tài)多目標優(yōu)化問題，在環(huán)境發(fā)生變化后快速找到當前環(huán)境下的最優(yōu)解集，是設計算法模型的研究重點。本文設計了一種基于參考點信息預測的動態(tài)多目標優(yōu)化模型，當環(huán)境發(fā)生變化后，該模型選取當前環(huán)境最靠近真實Pareto前沿面的參考點集，利用歷史種群信息，對不同環(huán)境且關聯(lián)在同一參考點下的個體的種群質心作為一個時間序列，對每一個時間序列利用灰度預測策略預測新環(huán)境下最優(yōu)解的潛在分布區(qū)域，加快模型響應環(huán)境變化的速度。通過與其他模型在7個標準測試函數(shù)上的對比，證明了RGPS模型在平衡種群多樣性和收斂性的同時，能夠快速響應環(huán)境變化，可以適用于多種動態(tài)多目標優(yōu)化問題。

參考文獻：

[1]毛征兵，范如國，陳略.新時代中國開放經(jīng)濟系統(tǒng)的SD多目標動態(tài)預測模型及其仿真研究[J].管理評論，2020（6）：29-44.

[2]牛鴻蕾.中國工業(yè)結構調整的碳排放效應預測——基于動態(tài)多目標優(yōu)化模型[J].技術經(jīng)濟與管理研究，2016（11）：17-21.

[3]文旭，王俊梅，郭琳，等. 計及污染氣體排放風險的多目標隨機動態(tài)環(huán)境經(jīng)濟調度模型[J].電力自動化設備， 2015（5）：131-138.

[4]Farina M，Deb K，Amato P.Dynamic multiobjective optimization problems[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2004（5）：425-442.

[5]劉敏，曾文華.記憶增強的動態(tài)多目標分解進化算法[J].軟件學報，2013（7）：18.

[6]Kazemi K J， Ehsan R A， Reza M M ， et al. A Novel Framework for Improving Multi-Population Algorithms for Dynamic Optimization Problems： A Scheduling Approach[J].Swarm and Evolutionary Computation， 2018（44）：788-805.

[7]Ruan G， Yu G，Zheng J，et al. The Effect of Diversity Maintenance on Prediction in Dynamic Multi-objective Optimization[J].Applied Soft Computing， 2017， 58：631-647.

[8]Deb K， Rao U V， Karthik S. Dynamic multi-objective optimization and decision-making using modified NSGA-II：

A case study on hydro-thermal power scheduling[C]//

Evolutionary Multi-Criterion Optimization （EMO 2007），2007：803-817.

[9]Rong M，Gong D，Pedrycz W，et al. A Multi-Model Prediction Method for Dynamic Multi-Objective Evolutionary Optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，，2019，PP（99）：1-1.

[10]Jiang M，Huang Z，Qiu L， et al.Transfer Learning-Based Dynamic Multiobjective Optimization Algorithms[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2017， 22（4）：501-514.

[11]Wang C，Yen G G，Jiang M. A grey prediction-based evolutionary algorithm for dynamic multiobjective optimization[J].Swarm and Evolutionary Computation，2020， 56（1）：100695.

[12]丁進良，楊翠娥，陳立鵬，等. 基于參考點預測的動態(tài)多目標優(yōu)化算法[J].自動化學報，2017（2）：8.

[13]李二超，趙雨萌.基于參考線的預測策略求解動態(tài)多目標優(yōu)化問題[J].控制與決策，2020（7）：14.

[14]Goh C K，Tan K C. A Competitive-Cooperative Coevolutionary Paradigm for Dynamic Multiobjective Optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation， 2009， 13（1）：103-127.

[15]Cheng R， Jin Y， Narukawa K ， et al. A Multiobjective Evolutionary Algorithm Using Gaussian Process-Based Inverse Modeling[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation， 2015， 19（6）：838-856.

[16]耿煥同，戴中斌，王天雷，等. 基于參考點選擇策略的改進型NSGA-III算法[J]. 模式識別與人工智能，2020， v.33;No.201（3）：4-14.

[17]Chen C I，Huang S J.The necessary and sufficient condition for GM（1， 1） grey prediction model[J]. Applied Mathematics & Computation， 2013（11）：6152-6162.

[18]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社，1990：4.

[19]Jiang S，Yang S. A Steady-State and Generational Evolutionary Algorithm for Dynamic Multiobjective Optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation， 2017， 21（1）：65-82.

[20]Cheng R，Jin Y，Narukawa K，et al. A Multiobjective Evolutionary Algorithm Using Gaussian Process-Based Inverse Modeling[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation， 2015， 19（6）：838-856.

Research on Dynamic Multi-objective Optimization Economic Decision Model Based on Reference Point Information Prediction

Xu Qi，Hou Xing，Wu Yating

（School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University，Huaibei， Anhui 235000）

Abstract：There are a lot of dynamic multi-objective optimization problems in many application fields of economic decision-making. According to the characteristics of dynamic multi-objective optimization problems changing with the environment， this paper proposes a dynamic multi-objective optimization decision model （RGPS） based on reference point information prediction. When the environment changes， by selecting the reference points with more related individuals in the current environment， the individuals under the same reference point are taken as the subpopulation， and the centroid of each subpopulation is taken as the prediction point set. Using historical population information， a time series is established for the individual centroids associated with the same reference point at historical time， and the predicted individuals are generated by the grey prediction strategy. At the same time， to increase the diversity of the population， perturbation is added to each predicted individual. Experimental results show that RGPS model is effective in dealing with dynamic multi-objective economic decision problems.

Key words： Dynamic multi-objective optimization; Grey forecast; Reference point; Time series

收稿日期：2023-02-06作者簡介：徐奇（1995－? ），男，安徽蚌埠人，淮北師范大學計算機科學與技術學院碩士研究生。