韓樂天 司偉建 曲明超

引用格式：韓樂天，司偉建，曲明超.雙極化面陣的快速波達(dá)方向估計(jì)算法［J］.航空兵器，2023，30（1）：120-126.

HanLetian，SiWeijian，QuMingchao.AFastEstimationAlgorithm-for-theDirection-of-ArrivalofDoublePolarizedSurfaceArrays［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：120-126.（inChinese）

摘要：針對目前極化敏感面陣空域-極化域聯(lián)合譜估計(jì)運(yùn)算量大、耗時(shí)長的問題，提出一種降維求根MUSIC（MultipleSignalClassification）優(yōu)化算法。通過對接收信號進(jìn)行降維處理，提出新的求解模型將傳統(tǒng)四維MUSIC轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一維求根MUSIC求解空域波達(dá)方向和引用已求解出的空域信息結(jié)合拉格朗日乘子法解決來波信號極化信息估計(jì)問題。相比傳統(tǒng)的4D-MUSIC和秩虧MUSIC，所提算法在不損失估計(jì)精度的前提下提高了運(yùn)算速度，降低了運(yùn)算復(fù)雜度，無需譜峰搜索過程，消除了因搜索步長而導(dǎo)致的量化誤差。對日后大規(guī)模陣列計(jì)算及MIMO（MultipleInputMultipleOutput）雷達(dá)引入提供快速求解方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提算法在低信噪比0dB下空域誤差約為0.85°，速度相比秩虧MUSIC提升了約64.7％，驗(yàn)證了該算法的有效性和高精度性。

關(guān)鍵詞：極化敏感面陣；空域-極化域聯(lián)合譜估計(jì)；MUSIC；MIMO;拉格朗日乘子法;信號處理

中圖分類號：TJ760

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-5048（2023）01-0120-07

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0112

0引言

波達(dá)方向（Direction-of-Arrival，DOA）技術(shù)，是一門空域信號處理技術(shù)，利用天線陣列得到的空間電磁場信息來估計(jì)來波方向，隨著電磁環(huán)境日益復(fù)雜，標(biāo)量傳感器陣列無法滿足測向系統(tǒng)的要求。由電磁矢量傳感器構(gòu)成極化敏感陣列，以矢量形式接受電磁波信號，可以同時(shí)獲得入射方向的空域信息和極化信息［1-3］，有效地提高陣列信號處理的整體性能，改善了空間源信號多維參數(shù)估計(jì)、自適應(yīng)波束形成［4-5］等性能，還可利用期望信號和噪聲信號在極化域的不同，進(jìn)行降噪濾波［6］。但引入極化信息提升信號處理性能的同時(shí)，也帶來了較高的計(jì)算負(fù)擔(dān)，除了需要估計(jì)二維空域信息外，還需進(jìn)一步估計(jì)二維的極化信息，計(jì)算量大、運(yùn)算復(fù)雜度高。

文獻(xiàn)［7］將子空間旋轉(zhuǎn)子不變參數(shù)估計(jì)方法（EstimationofSignalParametersviaInvarianceTechniques，ESPRIT）［8］引入極化敏感陣列測向中，實(shí)現(xiàn)了多信號DOA和極化參數(shù)的估計(jì)。文獻(xiàn)［9-10］將MUSIC［11-12］算法推廣到了極化敏感矢量陣列，但傳統(tǒng)的極化MUSIC需進(jìn)行四維譜峰搜索，不僅計(jì)算速度慢且復(fù)雜度高，已經(jīng)不適用于極化敏感陣列測向技術(shù)。文獻(xiàn)［13］提出了一種針對一維極化敏感線陣列的求根MUSIC算法，降低了復(fù)雜度，避免了譜峰搜索過程，但傳統(tǒng)的測向陣列多為面陣，此算法無法滿足相應(yīng)要求。文獻(xiàn)［14-15］提出了針對極化敏感陣列的降維秩虧MUSIC算法和極化模值約束降維算法，將傳統(tǒng)的四維搜索縮減為二維，利用優(yōu)化算法估計(jì)極化信息，但無法消除因譜峰搜索步長導(dǎo)致的量化誤差，且運(yùn)算過程復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)［16］提出一種針對普通標(biāo)量陣的二維求根MUSIC，降低了運(yùn)算復(fù)雜度且無需譜峰搜索。

本文提出一種基于雙極化敏感面陣的二維求根優(yōu)化MUSIC，首先提出一種新的求解模型，將傳統(tǒng)的四維空域極化域信息通過化簡轉(zhuǎn)換為針對空域信息的二維信號估計(jì)，將求解空域二維根轉(zhuǎn)換為求解兩個(gè)一維根的方法解決空域信息的估計(jì)，采用拉格朗日乘子法估計(jì)極化信息，無需譜峰搜索，大大降低了運(yùn)算復(fù)雜度，提高運(yùn)算速度，消除了因搜索步長設(shè)置導(dǎo)致的量化誤差。

1數(shù)據(jù)模型

1.1極化陣列擺放及其接收模型

本文接收單元采用雙正交偶極子極化敏感陣元，組成M行，N列極化敏感面陣，排列方式如圖1所示，相鄰兩正交偶極子陣列間距d=λ/2。

假設(shè)空間有K個(gè)遠(yuǎn)場點(diǎn)源，發(fā)射的窄帶完全極化不相關(guān)電磁信號入射到接收陣列中。入射信源數(shù)應(yīng)符合K≤2MN，K個(gè)信號的仰角和方位角分別為θk和φk，其中仰角θ為信號源入射信號與Z軸夾角，方位角φ為信號源入射信號與X軸夾角，取值范圍分別為θk∈［0，π/2］和φk∈［0，2π］，θ=0°時(shí)表示信號源正對天線陣入射。極化輔助角信息和極化相位差信息為γk和ηk，其中極化輔助角γ為兩電場分量強(qiáng)度之間關(guān)系，極化相位差η為垂直分量超前水平分量的相對相位差，取值范圍分別為γk∈［0，π/2］和ηk∈［－π，π］，假設(shè)輸入噪聲為空-時(shí)-極化白噪聲，且噪聲與入射信號獨(dú)立，入射信號互不相干。

設(shè)噪聲信號矩陣為N（t），入射信號矩陣為S（t）=［s1（t），s2（t），…，sk（t）］T，則極化敏感陣列信號接收模型為

X=［x1（t），x2（t），…，xm（t）］T=

∑Kk=1a（θk，φk，γk，ηk）sk（t）+N（t）=

AS（t）+N（t）（1）

式中：A=［aθ1，φ1，γ1，η1，aθ2，φ2，γ2，η2，…，aθk，φk，γk，ηk］為空域-極化域陣列流形，aθk，φk，γk，ηk為第k個(gè)信源的空域-極化域?qū)蚴噶?，表示為空域陣列流形與極化敏感陣元接收矢量的克羅內(nèi)克積；aθ，φ，γ，η=sssp，ss=Ay⊙Ax=［ay（θ1，φ1）ax（θ1，φ1），…，ay（θk，φk）ax（θk，φk）］為空域?qū)蚴噶浚琣y（θk，φk）=［1，…，ej2π（M－1）dsinφksinθk/λ］T和ax（θk，φk）=［1，…，ej2π（N－1）dcosφksinθk/λ］T分別為Y軸和X軸方向陣元的導(dǎo)向矢量。

針對電磁信息不完備的極化敏感陣元，如雙正交偶極子陣元，每個(gè)陣元只能接收到X和Y軸方向上的電場矢量，在入射波為完全極化信號的條件下其極化矢量為

sp=－sinφcosθcosφ

cosφcosθsinφcosγsinγejη（2）

針對不同種類的極化敏感陣元，極化矢量取決于對電磁的敏感程度。

1.2空域-極化域聯(lián)合譜估計(jì)

陣列接收信號的協(xié)方差矩陣R^可以表示為

R^=1L∑Ll=1XHX（3）

式中：L為快拍數(shù)。

對協(xié)方差矩陣R^進(jìn)行奇異值分解得到

R^=UsΣsUHs+UNΣNUHN（4）

式中：Us為K個(gè)較大特征值對應(yīng)的特征向量張成的信號子空間；UN為2MN－K個(gè)較小特征值對應(yīng)的特征向量張成的噪聲子空間。

在理想條件下，接收空間的信號子空間與噪聲子空間是相互正交的，即信號子空間中的導(dǎo)向矢量也與噪聲子空間正交：

aHθ，φ，γ，ηUN=0（5）

但因?yàn)榭臻g中噪聲、干擾等情況的存在，得到的信號子空間并不能做到和噪聲子空間完全的正交，因此，DOA是以最小優(yōu)化搜索的條件實(shí)現(xiàn)的，即

θMUSIC=argθminaHθ，φ，γ，ηU^NU^HNaθ，φ，γ，η（6）

所以，傳統(tǒng)MUSIC算法的譜峰估計(jì)公式為

PMUSIC=1aHθ，φ，γ，ηU^NU^HNaθ，φ，γ，η（7）

通過遍歷（θ，φ，γ，η）四個(gè)參數(shù)，尋找出對應(yīng)最大峰值的K個(gè)方位角、仰角、極化輔助角和極化相位差，則可得到K個(gè)來波信號的參數(shù)估計(jì)值。

但傳統(tǒng)的MUSIC需要搜索四維信息，所需要運(yùn)算的時(shí)間長、運(yùn)算量大、算法復(fù)雜度高且難以實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)［14］提出的秩虧MUSIC算法，將四維譜峰搜索變?yōu)槎S譜峰搜索。

利用下式替代式（6）：

{θ，φ}=argmaxθ，φdet－1{Hθ，φ}（8）

式中：Hθk，φk=DHθk，φkU^NU^HNDθk，φk為經(jīng)過秩虧變化后的譜峰函數(shù)，Dθk，φk=uθk，φkBθk，φk，uθk，φk=diag{ss}取空域陣列流形構(gòu)成對角陣；sp=θk，φk·hγk，ηk，θk，φk=－sinφkcosθkcosφkcosφkcosθksinφk為空域極化域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換因子，與矢量陣元位置有關(guān)，hγk，ηk=cosγksinγkejηk為第K個(gè)信號的極化矢量；B=［b1x，b1y，…，bmx，bmy］T為廣義極化敏感陣列，與極化敏感陣列類型與擺放位置有關(guān)，本文為電敏感的雙正交偶極子bmx=［10］，bmy=［01］。

文獻(xiàn)［14］將空域-極化域四維搜索降維到二維空域角度搜索，后通過優(yōu)化計(jì)算得到極化信息，一定程度上降低了運(yùn)算量，提高了運(yùn)算速度。但是因?yàn)樾柽M(jìn)行二維譜峰搜索，搜索步長導(dǎo)致的量化誤差無法消除。本文提出一種二維求根約束MUSIC算法，通過構(gòu)造多項(xiàng)式求根的方法求解空域信息，利用拉格朗日乘子法計(jì)算得出極化信息，無需譜峰搜索，進(jìn)一步提高了運(yùn)算速度，降低運(yùn)算復(fù)雜度，且消除了因?yàn)樗阉鞑介L導(dǎo)致的量化誤差。

2本文算法

2.1空域譜估計(jì)

利用空域?qū)蚴噶亢蜆O化域矢量信息的克羅內(nèi)克積替換空域-極化域陣列流形，構(gòu)造譜峰搜索函數(shù)：

PMUSIC=1aHθ，φ，γ，ηU^NU^HNaθ，φ，γ，η=

1［sssp］HU^NU^HN［sssp］（9）

令

ψ（θ，φ，γ，η）=［sssp］HU^NU^HN［sssp］（10）

通過克羅內(nèi)克積的運(yùn)算性質(zhì)可得

ψ（θ，φ，γ，η）=［sssp］HU^NU^HN［sssp］=

sHp［ssI2］HU^NU^HN［ssI2］sp（11）

式中：I2為2×2維單位陣；矩陣類型、維數(shù)與陣列種類及擺放位置有關(guān)，本文應(yīng)用為雙正交偶極子且沿X，Y軸正方向擺放則該矩陣為2×2維單位陣。通過數(shù)學(xué)分析，sp只有在仰角θ=π/2，且極化輔助角γ=π/2時(shí)，矩陣不滿秩。當(dāng)仰角θ=π/2時(shí)，說明信號源入射方向來自于水平方向，在工程應(yīng)用中此類情況常不做考慮，故可將矩陣sp近似看作行滿秩，由矩陣運(yùn)算的秩的關(guān)系中可知：

若A行滿秩，則Rank（BA）=Rank（B）;

若A列滿秩，則Rank（AB）=Rank（B）。

故可知針對式（11）中的sp，因其滿秩因此相乘任意矩陣不影響矩陣的秩，且可知，為使ψ=0必有解，可用下式取代式（11）進(jìn)行求根計(jì)算：

U=［ssI］HU^NU^HN［ssI］（12）

將式（12）代入（11）：

ss=ay（θ，φ）ax（θ，φ）（13）

得到

P=［ay（θ，φ）axo（θ，φ）］H·

U^NU^HN［ay（θ，φ）axo（θ，φ）］（14）

式中：axo（θ，φ）=ax（θ，φ）I2，進(jìn)一步可得到

P1=aHxo（θ，φ）［ay（θ，φ）I2N］H·

U^NU^HN［ay（θ，φ）I2N］axo（θ，φ）（15）

P2=［ay（θ，φ）I2］H［IMaxo（θ，φ）］H·

U^NU^HN［IMaxo（θ，φ）］［ay（θ，φ）I2］（16）

取

Q1=［ay（θ，φ）I2M］HU^NU^HN［a^y（θ，φ）I2M］（17）

Q2=［INaxo（θ，φ）］HU^NU^HN［INaxo（θ，φ）］（18）

則上述轉(zhuǎn)換過程可將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)為求根過程，如果ej2πdsinφsinθ/λ對應(yīng)多個(gè)目標(biāo)，則［17-18］

Rank（UNUHN）=2MN－K≥NN≤2M（N－1）（19）

因?yàn)樗≡肼暈榉橇阍肼暰仃?，故可以得出UNUHN為可逆的，式（19）表明行列式det{Q1}，det{Q2}為非零多項(xiàng)式。且式（17）～（18）分別為式（15）～（16）的因式，由于Q1和Q2中分別含有未知項(xiàng)sinφsinθ和cosφsinθ，將其分別視為整體求解，如果滿足det{Q1}=0和det{Q2}=0，則所求多項(xiàng)式的根對應(yīng)目標(biāo)信號源的入射方向。所以可以用式（17）～（18）來替代式（15）～（16）求根?？芍?/p>

ax（θ，φ）=［1，ej2πdcosφsinθ/λ，…，ej2π（M－1）dcosφsinθ/λ］T（20）

ay（θ，φ）=［1，ej2πdsinφsinθ/λ，…，ej2π（N－1）dsinφsinθ/λ］T（21）

于是構(gòu)造多項(xiàng)式，令

z1=ej2πdcosφsinθ/λ（22）

z2=ej2πdsinφsinθ/λ（23）

則

ax（z1）=［z01，z11，…，z（M－1）1］T（24）

ay（z2）=［z02，z12，…，z（N－1）2］T（25）

為構(gòu)造求解多項(xiàng)式，可用zN－12［aTy（z－12）I2M］替代［ay（θ，φ）I2M］H，同時(shí)利用zM－11［INaTxo（z－11）］替代［INaxo（θ，φ）］H，得到

Q1（z2）=zM－12［aTy（z－12）I2M］U^NU^HN［ay（z2）I2M］（26）

Q2（z1）=zM－11［INaTxo（z－11）］U^NU^HN［INaxo（z1）］（27）

于是問題變?yōu)榍蠼鈨蓚€(gè)一元多項(xiàng)式：

det{Q1（z2）}=det{zM－12［aTy（z－12）I2M］·

U^NU^HN［ay（z2）I2M］}=0（28）

det{Q2（z1）}=det{zM－11［INaTxo（z－11）］·

U^NU^HN［INaxo（z1）］}=0（29）

通過對一維求根MUSIC算法研究可知，求解的根在理想狀態(tài)下應(yīng)分布在單位圓上，但實(shí)際情況中數(shù)據(jù)矩陣因噪聲等存在誤差，信號子空間與噪聲子空間不能做到完全的正交，所以取模值最接近單位圓的K對根，即為所需求解的多項(xiàng)式（28）～（29）的解。

定義：

ui=sinφisinθi=（angle（z^2i）λ/（2πd））（30）

vj=cosφjsinθj=（angle（z^1j）λ/（2πd））（31）

式中：i，j=1，2，…，k。

可得到

φ^k=arctan（ui/vj）（32）

θ^k=arcsin（u2i+v2j）（33）

式中：i，j=1，2，…，k。

將得到的K2個(gè)不同的方位角和仰角組合，需進(jìn)行角度匹配，代入

Ui，j=argmini，j=1，…，k‖［ay（ui）axo（vi）］H·

U^NU^HN［ay（ui）axo（vi）］‖（34）

取最小值對應(yīng)的（θk，φk），即為所求K個(gè)信號源方位信息。

2.2極化域極化信息估計(jì)

求解極化信息，首先分析下面的表達(dá)式：

{θk，φk，γk，ηk}=argminθ，φ，γ，ηJ（θ，φ，γ，η）（35）

式中：J（θ，φ，γ，η）=Dθ，φhγ，ηDθ，φhγ，ηH

U^NU^HNDθ，φhγ，ηDθ，φhγ，η。

于是可將式（35）轉(zhuǎn)換為

{θk，φk，γk，ηk}=argminθ，φ，γ，ηhHγ，ηHθ，φhγ，ηhHγ，ηDHθ，φDθ，φhγ，η（36）

式中，角度參數(shù)（θ，φ）已知，則此時(shí)的任務(wù)為求出使J（θ，φ，γ，η）取極小值的極化參數(shù)（γ，η）。hγ，η的大小并不會影響J（θ，φ，γ，η）的極小值。假設(shè)h=hγ，η，且在h是任意非零矢量的情況下，Dθ，φ2=hHDHθ，φDθ，φh≠0成立。因此可知矩陣DHθ，φDθ，φ具有Hermitian特性。令Dθ，φh2=1，此時(shí)問題可轉(zhuǎn)化為

minγ，η{J（θ，φ，γ，η）}=

minh≠0hHHθ，φhhHDHθ，φDθ，φh=minhHDHθ，φDθ，φh=1hHHθ，φhhHDHθ，φDθ，φh

（37）

為了求解式（37）的最優(yōu)解，采用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解，設(shè)c為拉格朗日乘子，構(gòu)造函數(shù)表達(dá)式：

Fθ，φ（h，c）=hHHθ，φh+c（1－h(huán)HDHθ，φDθ，φh）（38）

對式（38）中的h和c各自求偏導(dǎo)，使其等于0，于是可以得到

Hθ，φh=cDHθ，φDθ，φh

hHDHθ，φDθ，φh=1（39）

根據(jù)式（39）可推導(dǎo)得出

hHHθ，φh=c≥0（40）

在實(shí)際測量中，針對入射信號的角度參數(shù)（θk，φk），可得到奇異Hermitian矩陣H（θk，φk）（k=1，2，…，K）。根據(jù)最小值min{c}=0和Hθk，φkhγk，ηk=0等條件，可知hγk，ηk與矩陣束{Hθ，φ，DHθ，φDθ，φ}的零特征值對應(yīng)的廣義特征向量線性相關(guān)，因此，可以表示為

{h^k}=Θmin{Hθk，φk，DHθk，φkDθk，φk}（41）

式中：Θmin（）為矩陣束的最小特征矢量，因此入射信號的極化信息可計(jì)算得到

{γ^k}=arctan{|h^k（2）|h^k（1）}（42）

{η^k}=arg{|h^k（2）|h^k（1）}（43）

式中：k=1，2，…，K。

算法步驟：

（1）求出極化敏感陣列所輸出的數(shù)據(jù)矩陣X和協(xié)方差矩陣R^；

（2）對協(xié)方差矩陣R^進(jìn)行奇異值特征分解，得到噪聲子空間U^N和信號子空間U^s；

（3）對矩陣式（10）進(jìn)行分解，用不含極化信息的式（12）進(jìn)行替換；

（4）將式（12）進(jìn)行求根處理得到式（28）～（29）；

（5）取求根得到（θk，φk），利用式（34）進(jìn)行角度匹配，得出估計(jì)的空域信息（θk，φk）；

（6）利用已估計(jì)的空域信息（θk，φk），結(jié)合式（42）～（43）計(jì)算出信號所對應(yīng)的極化信息（γk，ηk）。

本文算法從求解數(shù)學(xué)角度出發(fā)，提出降維模型，通過求解二維多項(xiàng)式的根來解決空域角度估計(jì)問題。本算法適用于不同種類，如單偶極子、雙正交偶極子等組成的可劃分為兩個(gè)一維線陣組成的極化敏感面陣列。每個(gè)運(yùn)算步驟都可在有限時(shí)間內(nèi)完成，在輸入噪聲為白噪聲的情況下，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的有效性和可靠性。

2.3算法復(fù)雜度分析

分析本算法的復(fù)雜度，并且與4D-MUSIC、秩虧MUSIC和4D-MVDR（MinimumVarianceDistortionlessResponse）［19］算法進(jìn)行比較，如表1所示。協(xié)方差矩陣所需要的復(fù)雜度為O{（2MN）2L}，奇異值分解以及求逆所需要的復(fù)雜度為O{（2MN）3}，2D-MUSIC［20］所需譜峰搜索復(fù)雜度為O{（n1（4MN+1）（2MN－K））}，4D-MUSIC譜峰搜索所需要的復(fù)雜度為O{（n2（4MN+1）（2MN－K））}，4D-MVDR譜峰搜索所需要的復(fù)雜度為O{n2（4MN+2MN）}，二維求根求解多項(xiàng)式的復(fù)雜度為O{［2N（M－1）］3+［2M（N－1）］3}，求根匹配復(fù)雜度為O{（K2（4MN+1）（2MN－K））}。

本文算法O{（2MN）2L+（2MN）3+［2N（M－1）］3+［2M（N－1）］3+K2（4MN+1）（2MN－K）}

4D-MUSICO{（2MN）2L+（2MN）3+（n2（4MN+1）·（2MN－K））}

4D-MVDRO{（2MN）2L+（2MN）3+（n2（4MN+2MN））}

秩虧MUSICO{（2MN）2L+（2MN）3+（n1（4MN+1）·（2MN－K））}

設(shè)M=4，信源數(shù)K=2，快拍數(shù)L=400；譜峰搜索步長為0.1°，搜索范圍設(shè)置為θ∈［0，π/2］，φ∈［0，2π］，γ∈［0，π/2］，η∈［－π，π］，則4種算法的復(fù)雜度曲線為圖2所示。

通過觀察4種算法的復(fù)雜度定義曲線可以看出，本文算法復(fù)雜度要明顯低于其余3種。同時(shí)比較了在不同陣元數(shù)下的本文算法耗費(fèi)的時(shí)間與秩虧MUSIC所需要的時(shí)間，如表2所示。

由表2可知，本文算法相比較秩虧MUSIC算法，運(yùn)算所需時(shí)間明顯減少。且隨著陣元數(shù)的不斷增多，尤其是多陣元的情況下，運(yùn)算時(shí)間優(yōu)勢依然明顯，證明了本算法的高效性。

3仿真實(shí)驗(yàn)

用計(jì)算機(jī)仿真來驗(yàn)證本文所提算法的準(zhǔn)確性及有效性，仿真所用的陣列結(jié)構(gòu)與擺放位置如圖1所示，采用雙正交偶極子組成陣列，陣元間距為λ/2，假設(shè)有兩個(gè)非相干信號入射陣列接收面陣中。

3.1信源空域-極化域信息估計(jì)

假設(shè)兩個(gè)入射信號參數(shù)（θ，φ，γ，η）分別為（15°，30°，40°，40°）和（45°，70°，55°，60°），入射噪聲為空域-極化域噪聲。設(shè)M=4，N=4，信源數(shù)K=2，快拍數(shù)L=100，信噪比為10dB時(shí)，根據(jù)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)n=100，繪制空域和極化域信息散點(diǎn)圖，如圖3所示。

從圖3可以清楚地看出，本文算法很好地估計(jì)了來波信號的空域-極化域信息，證明了算法的可靠性。

3.2不同陣元數(shù)下，本文算法隨信噪比變化的性能變化

假設(shè)兩個(gè)入射信號參數(shù)（θ，φ，γ，η）分別為（15°，30°，40°，40°）和（45°，60°，55°，60°），設(shè)N=4，信源數(shù)K=2，快拍數(shù)L=400，蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)n=500，探究不同陣元數(shù)下，本文算法的性能。定義空域-極化域角度估計(jì)均方根誤差為

eRMSEDOA=1K∑Kk=11n∑nl=1［（θ^k，l－θk）2+（φ^k，l－φk）2］（44）

eRMSEpolar=1K∑Kk=11n∑nl=1［（η^k，l－ηk）2+（γ^k，l－γk）2］（45）

式中：θ^k，l，φ^k，l，η^k，l，γ^k，l分別為第k個(gè)信源、第l次蒙特卡洛仿真中的估計(jì)值。

不同陣元數(shù)下空域-極化域估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線如圖4所示。由圖4可知，在相同信噪比下，隨著陣元數(shù)增多，空域-極化域估計(jì)的均方根誤差和也隨之減少，測量精度提高。在相同陣元數(shù)的條件下，隨著信噪比的增加，空域-極化域估計(jì)的均方根誤差和也隨之減少，測量精度提高。由此可知，在實(shí)際測量中可以通過提高陣元數(shù)達(dá)到高精度的目的，用低陣元數(shù)達(dá)到側(cè)向粗搜索效果。

3.3不同快拍數(shù)下，本文算法隨信噪比變化的性能變化

假設(shè)兩個(gè)入射信號參數(shù)（θ，φ，γ，η）分別為（15°，30°，40°，40°）和（45°，70°，55°，60°），設(shè)M=4，N=4，信源數(shù)K=2，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)n=500，論證不同快拍數(shù)下，本文算法隨信噪比變化的性能變化曲線，如圖5所示。

通過觀察圖5不同快拍數(shù)下空域-極化域估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線可知，在相同信噪比的條件下，隨著快拍數(shù)增多，空域-極化域估計(jì)的均方根誤差也隨之減少，測量精度提高。在相同快拍數(shù)下，隨著信噪比的增加，空域-極化域估計(jì)的均方根誤差也隨之減少，測量精度提高。在實(shí)際工程測量中，多快拍數(shù)意味著有效數(shù)據(jù)量、測量精度的提高。

3.4在相同條件下，本文算法與常用算法的性能對比

對比本文算法、4D-MUSIC、秩虧MUSIC和4D-MVDR四種算法，在相同信噪比、快拍數(shù)下，空域-極化域估計(jì)信息性能。假設(shè)兩個(gè)入射信號參數(shù)（θ，φ，γ，η）分別為（15°，30°，40°，40°）和（45°，70°，55°，60°），設(shè)M=4，N=4，信源數(shù)K=2，快拍數(shù)L=100，搜索范圍為θ∈［0，π/2］，φ∈［0，2π］，γ∈［0，π/2］，η∈［－π，π］，搜索步長為0.1°，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)n=500，得到不同算法的空域-極化域估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線，如圖6所示。

由圖6（a）可知，本文算法和4D-MUSIC、秩虧MUSIC都要優(yōu)于4D-MVDR算法，而本文算法在不同信噪比條件下，估計(jì)性能與4D-MUSIC、秩虧MUSIC相近，在低信噪比情況下，本文算法均方根誤差較小。由圖6（b）可知，在極化域極化信息估計(jì)上，4種算法效果相近，但4D-MVDR算法在低信噪比情況下性能較差。

通過上述仿真實(shí)驗(yàn)可知，想實(shí)現(xiàn)搜索精度的提升，可增加陣元數(shù)和快拍數(shù)來提升測量精度；可通過合理降低陣元數(shù)來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的粗搜索定位。在應(yīng)用中，常面對快拍數(shù)較少的情況，因此合理增加陣元數(shù)可解決測量精度問題。相比較傳統(tǒng)的四維MUSIC算法，在應(yīng)用中速度優(yōu)勢明顯。

4結(jié)論

本文將RD-MUSIC引入面陣的極化敏感陣列二維空域信息估計(jì)，提出了一種用于二維極化敏感面陣的求根方法和一種新求解模型，將普通的四維極化敏感陣列估計(jì)算法降維到二維估計(jì)，并使用求多項(xiàng)式根的方法估計(jì)空域信息，采用優(yōu)化方法估計(jì)極化信息，擺脫了傳統(tǒng)譜峰搜索運(yùn)算時(shí)間長、速度慢的缺點(diǎn)。在保證精度不變的情況下，提高了運(yùn)算速度，降低運(yùn)算復(fù)雜度，消除了因搜索步長導(dǎo)致的量化誤差。

本文算法未來可引入不同類型的極化天線陣列組成的面陣。同時(shí)，該算法復(fù)雜度低、運(yùn)算速度快的特點(diǎn)，使其在大規(guī)模MIMO雷達(dá)等復(fù)雜運(yùn)算中的應(yīng)用前景較廣。

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AFastEstimationAlgorithmfortheDirection-of-Arrivalof

DoublePolarizedSurfaceArrays

HanLetian1，2*，SiWeijian1，2，QuMingchao1，2

（1.CollegeofInformationandCommunication，HarbinEngineeringofUniversity，Harbin150001，China;

2.KeyLaboratoryofAdvancedMarineCommunicationandInformationTechnology，

MinistryofIndustryandInformationTechnology，HarbinEngineeringUniversity，Harbin150001，China）

Abstract：Inordertosolvetheproblemoflargecomputationandhighoperationcomplexityinspatialspectrumestimationcombinedwithpolarizationdomainspectrumestimationofpolarizationsensitivesurfacearray，adimensionreductionrootMUSIC（MultipleSignalClassification）optimizationalgorithmisproposed.Thereceivedsignalisprocessedbydimensionalityreduction，andanewsolutionmodelisproposedtotransformthetraditionalfour-dimensionalMUSICintotwoone-dimensionalrootMUSICtosolvethespatialwavearrivaldirection，andthepolarizationinformationestimationproblemofthewavesignalissolvedbyusingthespatialinformationandLagrangemultipliermethod.Comparedwiththetraditional4D-MUSICandrankdeficitMUSIC，thealgorithmimprovesthecalculationspeedandreducesthecalculationcomplexitywithoutlosingtheestimationaccuracy，eliminatesthespectrumpeaksearchprocess，andeliminatesthequantizationerrorcausedbythesearchstepsize.Itprovidesafastsolutionforlarge-scalearraycalculationandmultipleinputmultipleoutput（MIMO）radarintroduction.Simulationresultsshowthatthealgorithmiseffectiveandhighprecision.Thespatialerroroftheproposedalgorithmisabout0.85°atthelowSNRof0dB，andthespeedisimprovedbyabout64.7%comparedwiththerank-deficientMUSIC.

Keywords：polarizationsensitivesurfacearray;spatialspectrumestimationcombinedwithpolarizationdomainspectrumestimation;MUSIC;MIMO;Lagrangemultipliermethod;signalprocessing

收稿日期：2022-05-26

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61801143;61971155）

*作者簡介：韓樂天（1998-），男，山東淄博人，碩士研究生。