初中數(shù)學(xué)幾何證明題解題思維培養(yǎng)

施雪輝

【摘? 要】本文研究初中數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何證明題解題思維。分析初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中存在的問(wèn)題，如教學(xué)方式老套、教學(xué)過(guò)于重視成績(jī)等;列舉幾何證明題解題思維培養(yǎng)策略，如傳授多種證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力、以“教”作為切入點(diǎn)，提升學(xué)生的解題效率、以“練”作為切入點(diǎn)，提升幾何教學(xué)質(zhì)量、使用輔助線，突破幾何教學(xué)重難點(diǎn)。期望本文能夠?yàn)閺V大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者帶來(lái)一定的參考作用。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);幾何證明;解題思維;教學(xué)

在課程改革深入推進(jìn)、素質(zhì)教育全面開(kāi)展的時(shí)代背景下，改革初中數(shù)學(xué)教學(xué)、提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)質(zhì)量，刻不容緩、勢(shì)在必行。在初中數(shù)學(xué)課堂中，幾何證明題是學(xué)生常會(huì)遇到的一類(lèi)題目，這類(lèi)題目的靈活性較強(qiáng)，部分題目的證明難度較高，因此很多學(xué)生往往無(wú)法借助已有的知識(shí)儲(chǔ)備，高效地完成解題，這無(wú)疑會(huì)影響學(xué)生核心素養(yǎng)的持續(xù)成長(zhǎng)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生解答幾何證明題的思維，多為學(xué)生傳授一些科學(xué)合理且高效的解題思路，使學(xué)生的解題思維真正契合核心素養(yǎng)的要求，促進(jìn)學(xué)生的成長(zhǎng)發(fā)展。

一、初中階段學(xué)生的思維特點(diǎn)分析

目前看來(lái)，中學(xué)生大腦皮層發(fā)育速度快，記憶能力強(qiáng)，對(duì)課堂中學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容，往往能夠產(chǎn)生長(zhǎng)時(shí)間的記憶。因此在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可使用一系列科學(xué)合理的教學(xué)方式，對(duì)學(xué)生的思維給予一定的拓展，開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，使學(xué)生事半功倍地完成學(xué)習(xí)。此外，初中生思維的敏銳性，除記憶力強(qiáng)之外，還體現(xiàn)在他們思維角度的新穎性上，也就是說(shuō)這一階段內(nèi)，他們的思維尚未固化，因此具有高度的靈活性。故而，在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)多發(fā)揮學(xué)生在課堂中的主體性，一方面提升學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明的效率，另一方面為學(xué)生創(chuàng)新能力的提升打下良好的基礎(chǔ)。

二、初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中存在的問(wèn)題

課程改革實(shí)施以來(lái)，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)思路、教學(xué)模式有了明顯的變化，但目前看來(lái)，仍然有很多教師沿用著傳統(tǒng)的教學(xué)方式，對(duì)位于時(shí)代前沿的教學(xué)理念、教學(xué)方法缺乏了解，習(xí)慣使用一系列應(yīng)試教育下的方式、方法，為學(xué)生傳授枯燥乏味的知識(shí)，造成課堂學(xué)習(xí)氛圍較為沉悶，學(xué)生的學(xué)習(xí)生活十分單調(diào)，久而久之甚至使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。舉例而言，在初中數(shù)學(xué)教材中，“全等三角形”占據(jù)了較大的篇幅，屬于重難點(diǎn)知識(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成長(zhǎng)，以及后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著極為突出的影響力，但目前看來(lái)，很多教師在教到這部分知識(shí)內(nèi)容時(shí)，常會(huì)使用一系列“照本宣科”的方式，給予學(xué)生枯燥乏味的教學(xué)，要求學(xué)生以“死記硬背”的方式學(xué)習(xí)教材中涉及的概念，忽略從學(xué)生的實(shí)際生活出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)全等三角形的性質(zhì)展開(kāi)思索，影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)而限制了學(xué)生幾何證明思維的發(fā)展。

三、初中數(shù)學(xué)幾何證明題解題思維培養(yǎng)策略

（一）傳授多種證明方法，增強(qiáng)學(xué)生解題能力

解答幾何題，需要學(xué)生融會(huì)貫通地使用課堂中學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，目前看來(lái)，不論是教材中還是教輔資料中給出的幾何題目都有著極為突出的靈活性，對(duì)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力有著較高的要求，學(xué)生只有掌握正確的證明方法，才能夠得心應(yīng)手地利用已知條件，將題目一一擊破。在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可通過(guò)為學(xué)生傳授多種不同的證明方法，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，一般來(lái)講初中課堂中常用的幾何題證明方法包括如下幾種：其一，分析綜合法。使用正向思維，結(jié)合已知條件，循序漸進(jìn)地推出結(jié)論的一種推理方法，此外，使用逆向思維，從結(jié)果出發(fā)，針對(duì)結(jié)論成立的條件做出分析的證明方法，也屬于分析綜合法的范疇;其二，反證法。所謂反證法主要指的是在證明某一結(jié)論成立時(shí)，先證明它不成立，之后依據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，若推理過(guò)程與題目給出的條件以及相關(guān)的數(shù)學(xué)定義相背離，則可證明該結(jié)論正確;其三，面積法。所謂面積法，主要指的是將需要證明的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圖形之間的面積關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到證明目的的一種證明方法;其四，代數(shù)法。結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)代數(shù)解答方法得出結(jié)果的一種證明方法。

（二）以“教”作為切入點(diǎn)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率

“教”是幾何證明題教學(xué)最為重要的切入點(diǎn)，是課堂教學(xué)的核心之一。實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)懂得立足于教材，為學(xué)生設(shè)計(jì)一系列科學(xué)合理、生動(dòng)高效的教學(xué)活動(dòng)，使用多樣化的教學(xué)方法，為學(xué)生傳授相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)學(xué)完基礎(chǔ)知識(shí)與重難點(diǎn)知識(shí)，進(jìn)而掌握一定的證明方法，形成一定的解題思維。在“教”方面，教師應(yīng)重點(diǎn)做好如下幾方面的工作：首先，應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。初中生正處于青春期，性格活潑好動(dòng)，因此驅(qū)動(dòng)他們探索幾何題目的動(dòng)力主要還是學(xué)習(xí)興趣，為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在幾何題教學(xué)中，教師應(yīng)重視使用一系列生動(dòng)、形象的幾何圖形，激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力;其次，使用循循善誘的教學(xué)語(yǔ)言，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。目前看來(lái)，初中數(shù)學(xué)教材中，有很多幾何知識(shí)對(duì)于學(xué)生而言都是抽象的、枯燥的，有著一定的學(xué)習(xí)難度，學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)細(xì)致地掌握相應(yīng)的證明方法，如此便會(huì)阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成長(zhǎng)。為解決這一問(wèn)題，教師在平時(shí)可多使用循循善誘、層層遞進(jìn)的教學(xué)語(yǔ)言指導(dǎo)學(xué)生深入淺出地完成解題，使學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)幾何知識(shí)的邏輯性與規(guī)律性，進(jìn)而更好地解答幾何題目?，F(xiàn)階段看來(lái)，指導(dǎo)學(xué)生掌握幾何規(guī)律的主要方法，包括如下兩種：其一借助前人的探究成果，發(fā)現(xiàn)幾何知識(shí)的規(guī)律;其二在教師的指導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)一系列的分析、歸納與總結(jié)，探析幾何知識(shí)的主要規(guī)律。對(duì)于學(xué)生而言，這兩種探究方式皆有著一定的應(yīng)用價(jià)值，很多解題方法與規(guī)律，在學(xué)生看來(lái)是有規(guī)律可行的，長(zhǎng)期以如上思路為學(xué)生傳授幾何證明知識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活且融會(huì)貫通的解題思維，這十分有助于促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的成長(zhǎng)。

（三）以“練”作為切入點(diǎn)，提升幾何教學(xué)質(zhì)量

幾何證明題教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生“理論實(shí)踐結(jié)合”的意識(shí)，多為學(xué)生提供一系列靈活多變的題目，組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)演練，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)各類(lèi)數(shù)學(xué)定理、公式的理解，促進(jìn)學(xué)生解題思維的進(jìn)一步發(fā)展。需要注意的是，為真正使學(xué)生形成“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的解題思維，教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視做好課堂氛圍創(chuàng)設(shè)工作，主動(dòng)為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)輕松愉悅、寓教于樂(lè)的課堂氛圍，使學(xué)生的學(xué)習(xí)思路不易受到阻滯，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)練習(xí)幾何習(xí)題，夯實(shí)學(xué)生的基本功。

以下面這道題為例：圖1為菱形，連接對(duì)角線BD，并在其上取一點(diǎn)P，將A與P連接起來(lái)，并將其延長(zhǎng)至DC上，記相交點(diǎn)為E，再與BC的延長(zhǎng)線交于F，求證PC2=PE·PF。

實(shí)際教學(xué)中，教師可指導(dǎo)學(xué)生使用“分析綜合法”，借助逆向思維證明結(jié)論成立。如，可先假設(shè)結(jié)論成立，將其轉(zhuǎn)化為比例式=，將題目轉(zhuǎn)化為證明該比例式成立，為證明該式成立，我們需要證明△PCF∽△PEC，結(jié)合題目條件可知，在這兩個(gè)三角形中，有一個(gè)公共角存在，即∠CPF，之后我們只需證明∠PFC與∠PCE相等，就可得出△PCF∽△PEC的結(jié)論，由于題目已經(jīng)規(guī)定了該圖形為菱形，我們可以結(jié)合菱形的性質(zhì)，得出如下分析過(guò)程：∠ADB=∠BDC，DC=AD，故而△DAP與△DCP全等，由此可知∠DAP=∠DCP，又因BF與AD平行，且∠DAP=∠PFC，因此可推出∠DCP=∠PFC，最終可得出結(jié)論P(yáng)C2=PE·PF。

由上文所述不難看出，在幾何證明題解題過(guò)程中，分析綜合法有著極高的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于一些較難解答的問(wèn)題，學(xué)生可使用逆向思維，參考如上推理過(guò)程，從題目的結(jié)論出發(fā)，創(chuàng)新性地找到能夠使結(jié)論成立的條件，進(jìn)而使結(jié)論成立，完成整個(gè)幾何證明過(guò)程。在實(shí)際教學(xué)中，教師可多結(jié)合相應(yīng)的例題，為學(xué)生傳授此類(lèi)幾何證明方法，使學(xué)生的解題思維變得更為靈活，引導(dǎo)學(xué)生得心應(yīng)手地解決類(lèi)似的習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的穩(wěn)步提升。

（四）使用輔助線，突破幾何教學(xué)重難點(diǎn)

在解答幾何題目的過(guò)程中，學(xué)生通常并不會(huì)直接使用原有圖形求解，因?yàn)檫@樣解題，有著過(guò)高的難度，實(shí)際解題中較易出錯(cuò)。教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生使用輔助線進(jìn)行解題的意識(shí)與能力，引導(dǎo)學(xué)生使用這一解題工具，將題目簡(jiǎn)化，使解題條件變得更為直觀、清晰、明了，使學(xué)生更易找到題目的答案。經(jīng)歸納與總結(jié)，筆者認(rèn)為在初中數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生在解答幾何證明題時(shí)，多會(huì)用到如下幾種不同的輔助線制作方法：其一，連接兩條線段的中點(diǎn)，或制作中位線，進(jìn)而作出輔助線;其二，為線段添加垂線、平行線，制作輔助線;其三，為角添加平分線，或?yàn)閳D形添加對(duì)稱(chēng)軸，制作輔助線。

以下面這道題為例：如圖2所示，在△ABC中，AD平分∠A，求證AB：AC=BD：CD。本道題的解題思路如下：在圖中過(guò)D點(diǎn)制作垂直線，使DE與AB垂直、DF與AC垂直，由于AD平分∠A，依據(jù)題目條件，可得出DE與DF相等，如此便可得到===，繼而可推出=，即題目所求結(jié)論。

這道題目有著一定的難度，因此在課堂中，學(xué)生往往會(huì)感到無(wú)從下手，但若為題目給出的圖形添加兩條輔助線，本道題立刻就會(huì)變得迎刃而解，學(xué)生推出結(jié)論將會(huì)變得更加容易，這足以見(jiàn)得在初中數(shù)學(xué)幾何證明題教學(xué)中，添加輔助線，是一種極為重要的解題方法，教師在平時(shí)應(yīng)多從基本的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生明晰“輔助線”這一解題方法，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一證明方法的理解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展，顯著推動(dòng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的發(fā)展進(jìn)程。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，課程改革背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的思維，結(jié)合學(xué)生思維成長(zhǎng)的實(shí)際情況，圍繞幾何證明題，多為學(xué)生普及相應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)一些解題方法的理解，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力、實(shí)踐能力，使學(xué)生的解題變得更為高效，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展。

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