基于新課標(biāo)的初中代數(shù)推理教學(xué)初探

韋李花

【摘? 要】在新時(shí)代背景下，如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)已成為教育教學(xué)的工作重點(diǎn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》把推理能力作為核心素養(yǎng)在初中階段的重要表現(xiàn)之一，進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)代數(shù)推理的要求。代數(shù)推理是數(shù)學(xué)中常見的推理類型，是一種符號(hào)化的運(yùn)算與推理，以達(dá)到探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)的目的。教師應(yīng)重視學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有意識(shí)地把推理能力的培養(yǎng)巧妙地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)；初中；代數(shù)推理；教學(xué)

新時(shí)代背景下，如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)已成為教育教學(xué)的工作重點(diǎn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）把推理能力作為核心素養(yǎng)在初中階段的重要表現(xiàn)之一，進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)代數(shù)推理的要求?！缎抡n標(biāo)》“學(xué)業(yè)質(zhì)量部分”對(duì)第四學(xué)段（7—9年級(jí)）的學(xué)業(yè)是這樣描述的：“能從生活情境、數(shù)學(xué)情境中抽象概括出數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)的概念和規(guī)則，掌握相關(guān)的運(yùn)算求解方法，合理解釋運(yùn)算結(jié)果，形成一定的運(yùn)算能力、推理能力和抽象能力；知道運(yùn)動(dòng)過程中的不變量、圖形運(yùn)動(dòng)的變化特征，能運(yùn)用幾何圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行推理證明，初步掌握幾何證明方法，進(jìn)一步增強(qiáng)幾何直觀、空間觀念和推理能力”。事實(shí)上，初中數(shù)學(xué)對(duì)推理與證明的要求除了幾何推理還有代數(shù)推理。《新課標(biāo)》“課程實(shí)施部分”的“教材編寫建議部分”指出：“邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)容，學(xué)生的相關(guān)能力發(fā)展與心智水平密切相關(guān)：在小學(xué)階段，學(xué)生只需要感悟數(shù)學(xué)的說(shuō)理；到了初中階段，學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)道理，并會(huì)基于這樣的道理證明一些數(shù)學(xué)命題?！比欢趯?shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一部分教師更注重幾何推理的教學(xué)，把代數(shù)的運(yùn)算過程只作為單純的計(jì)算進(jìn)行教學(xué)，而不將其視為推理過程。那么，如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理思維呢？筆者對(duì)影響初中生代數(shù)推理的因素淺談感想，并結(jié)合實(shí)際教學(xué)例舉初中代數(shù)推理的教學(xué)。

一、影響初中生代數(shù)推理的因素

（一）個(gè)體差異

從學(xué)生的個(gè)體差異來(lái)看，年齡、性別以及認(rèn)知水平與風(fēng)格等方面存在差異性，不同學(xué)生具有不同的理解能力、學(xué)習(xí)環(huán)境等，展現(xiàn)在數(shù)學(xué)方面的基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力也有所不同。根據(jù)初中生成長(zhǎng)、認(rèn)知和思維等特點(diǎn)，《新標(biāo)準(zhǔn)》課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理的螺旋上升：七年級(jí)引導(dǎo)學(xué)生探究由特殊到一般的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理思維；八年級(jí)利用圖形結(jié)合代數(shù)推理，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理意識(shí)；九年級(jí)在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析法與綜合法的使用，進(jìn)一步掌握代數(shù)推理能力。對(duì)此，教師在實(shí)際教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的個(gè)體差異，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，選擇易于學(xué)生接受的教學(xué)內(nèi)容，采用符合生情的教學(xué)方法，開展具有針對(duì)性的教學(xué)工作。

（二）問題設(shè)置

從具體的問題設(shè)置來(lái)看，問題的情境、類型、難易程度、語(yǔ)言表述、問題中未知數(shù)的位置、問題的長(zhǎng)度、圖形的復(fù)雜程度等都影響著學(xué)生對(duì)代數(shù)推理的認(rèn)知?！缎抡n標(biāo)》指出：“在教學(xué)過程中，要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的結(jié)合，通過生活中或者數(shù)學(xué)中的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)，以及感悟數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型、求解模型、驗(yàn)證反思的過程，形成模型觀念?！睂?duì)此，教師在教育教學(xué)中要注意做到以下幾點(diǎn)：第一，在備課時(shí)要選擇貼近學(xué)生實(shí)際、生活化的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生利用自己平時(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)和原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行建模、求解、驗(yàn)證，從而深化對(duì)代數(shù)推理的理解；其次，教學(xué)中教會(huì)學(xué)生利用圖形直觀的特點(diǎn)，巧妙地將圖形作為轉(zhuǎn)化載體，展現(xiàn)相應(yīng)的運(yùn)算、推理方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)代數(shù)推理的掌握能力；最后，在代數(shù)推理時(shí)，要直觀地闡述相關(guān)結(jié)論，幫助學(xué)生厘清前因后果，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)代數(shù)推理的思維過程學(xué)習(xí)。

（三）解題過程

從學(xué)生的解題過程來(lái)看，在實(shí)際教學(xué)中，尤其是講解例習(xí)題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生這樣的困惑“老師，你是怎么想到的？為什么我想不到？”筆者結(jié)合個(gè)人實(shí)際教學(xué)發(fā)現(xiàn)，影響學(xué)生代數(shù)推理的因素主要包括以下幾點(diǎn)：第一，讀題能力弱，不能理解題意；第二，缺乏原有知識(shí)結(jié)構(gòu)，不能建立知識(shí)間的聯(lián)系；第三，習(xí)慣具體的數(shù)值化操作，不能將問題符號(hào)化；第四，計(jì)算能力弱，出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；第五，知識(shí)混淆，找不到正確的求解策略。對(duì)此，教師在教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生從讀題及從題目中獲取數(shù)學(xué)信息的能力，分析時(shí)要呈現(xiàn)解題步驟、揭示代數(shù)推理思維的產(chǎn)生過程，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和多元表征的能力，確保學(xué)生在課前已具備學(xué)習(xí)新知所必需的先驗(yàn)知識(shí)，并在建模時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，利用圖式等策略，促進(jìn)學(xué)生用結(jié)構(gòu)和模型的思想解決代數(shù)推理問題。

二、例舉初中代數(shù)推理的教學(xué)

從知識(shí)內(nèi)容的角度來(lái)看，幾何推理以圖形為載體，形象直觀，符合初中生的認(rèn)知特點(diǎn)；而代數(shù)推理側(cè)重于數(shù)與代數(shù)或代數(shù)表達(dá)式、方程、函數(shù)等的變形、性質(zhì)、運(yùn)算，還涉及部分圖形證明等問題，相對(duì)而言比較抽象。下面筆者根據(jù)教學(xué)與學(xué)生實(shí)際，用幾個(gè)例子談?wù)劤踔写鷶?shù)推理的教學(xué)。

（一）通過設(shè)計(jì)有針對(duì)性的推理任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

代數(shù)推理相對(duì)幾何推理來(lái)說(shuō)比較抽象，因此，教學(xué)中教師應(yīng)盡可能地通過設(shè)計(jì)更有針對(duì)性的推理任務(wù)，降低題目難度，讓學(xué)生更容易達(dá)到推理目標(biāo)。以《新課標(biāo)》例66代數(shù)推理為例，原題如下：

例66代數(shù)推理：

（1）設(shè)一個(gè)四位數(shù)，若a+b+c+d可以被3整除，則這個(gè)數(shù)可以被3整除。

（2）研究?jī)晌粩?shù)平方的規(guī)律。

關(guān)于例66（1）設(shè)置如下問題串探究：

（1）觀察數(shù)373、456、511、728中，能被3整除的數(shù)有哪些？

（2）小明猜想“能被3整除的整數(shù)，它的末位數(shù)一定是3”。小明的觀點(diǎn)正確嗎？如果不正確，請(qǐng)闡述你的猜想。

（3）小穎認(rèn)為“對(duì)任意的一個(gè)三位數(shù)，把它各位上的數(shù)字相加，如果個(gè)位的數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)三位數(shù)就能被3整除”。小穎的觀點(diǎn)正確嗎？若正確，請(qǐng)給予證明；若不正確請(qǐng)舉出反例。

（4）小亮繼續(xù)思考“將（3）中的條件和結(jié)論互換，結(jié)果仍然成立”。小亮的觀點(diǎn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（5）你認(rèn)為滿足什么條件的三位數(shù)一定能被9整除？請(qǐng)說(shuō)明理由。

通過問題串，采用“觀察—猜想—證明—結(jié)論—拓廣”這一探究問題的一般方法，讓學(xué)生掌握用符號(hào)表達(dá)與證明問題，感受代數(shù)推理的常見類型。

關(guān)于例66（2）設(shè)置如下問題串探究：

（1）任意寫出3個(gè)個(gè)位數(shù)是5的兩位數(shù)，觀察它們平方的規(guī)律；

（2）猜想任意兩位數(shù)平方的規(guī)律；

（3）當(dāng)a為任意正整數(shù)時(shí)，上面結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)舉出反例。

通過問題串的設(shè)計(jì)，學(xué)生可親歷“觀察—猜想—證明—結(jié)論—拓廣”的完整探究過程，初步感知代數(shù)推理，會(huì)用符號(hào)表達(dá)和證明問題。滲透從特殊到一般的思想方法，讓學(xué)生在探究中經(jīng)歷歸納、猜想與證明，進(jìn)一步感知代數(shù)推理的幾種類型。

（二）通過滲透類比遷移的思想，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力

代數(shù)的學(xué)習(xí)注重知識(shí)間的銜接與聯(lián)系，對(duì)此，在課堂教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與新知相關(guān)的知識(shí)，做好知識(shí)銜接，完成知識(shí)遷移，幫助學(xué)生整合初中階段的代數(shù)知識(shí)，建立完整的知識(shí)架構(gòu)，確保學(xué)生清晰地了解代數(shù)知識(shí)的特征，深化學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的形成與提升。

筆者查閱了北師大版、人教版和華師大版教材，發(fā)現(xiàn)三個(gè)版本的教材的“分式”內(nèi)容均以問題驅(qū)動(dòng)為原則建構(gòu)教材，不同程度地滲透類比遷移思想；分層設(shè)計(jì)例習(xí)題，注重類比推理。 以北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章第三節(jié)“分式的加減”內(nèi)容為例，教材的引入設(shè)計(jì)以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)同分母分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算，再將具體數(shù)值符號(hào)化，將知識(shí)遷移、螺旋上升，從而猜想、探究分式的加減運(yùn)算法則，讓學(xué)生親歷歸納推理，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際，為學(xué)生安排相應(yīng)的練習(xí)題幫助學(xué)生回憶舊知，以便更好地達(dá)到完成知識(shí)遷移的效果。

（三）通過合作探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力

初中生的代數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)常出現(xiàn)算法熟練、算理不清的現(xiàn)象，即大部分初中生往往只把代數(shù)的運(yùn)算過程看成一種計(jì)算而不看成推理過程。初中生在熟悉的知識(shí)背景下較容易發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，但若要將數(shù)量關(guān)系符號(hào)化或用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述則存在困難，并經(jīng)常出現(xiàn)轉(zhuǎn)化表征錯(cuò)誤的現(xiàn)象；對(duì)陌生的或抽象的問題，就較難發(fā)現(xiàn)相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，更無(wú)法準(zhǔn)確地闡述出它們之間的關(guān)系，在將問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律符號(hào)化的過程存在較大困難。在代數(shù)推理能力的計(jì)算方面，部分學(xué)生習(xí)慣于對(duì)具體的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算，不能主動(dòng)和熟練地將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化并用代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算，而且還缺乏檢驗(yàn)意識(shí)。因此，初中代數(shù)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理思維，就要求教師能引導(dǎo)學(xué)生開展代數(shù)推理論證活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生通過具體事例發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，并能用符號(hào)表達(dá)與論證；進(jìn)一步提升符號(hào)意識(shí)，養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)符號(hào)論證問題的習(xí)慣。

數(shù)學(xué)符號(hào)表征是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，但表征能力形成的過程不是一蹴而就的，良好符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)需要耐心地幫助學(xué)生理解符號(hào)的意義和正確表征的方法。代數(shù)推理要求論證的嚴(yán)密性，但初中生對(duì)代數(shù)推理論證嚴(yán)密性學(xué)習(xí)是一個(gè)從不嚴(yán)密到嚴(yán)密的過程，需要教師在教學(xué)中逐步進(jìn)行培養(yǎng)。

以《新課標(biāo)》例67、北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章第五節(jié)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”內(nèi)容為例。教材“做一做”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三道一元二次方程的求解，讓學(xué)生在求解方程、計(jì)算兩根的和與積后進(jìn)行合作討論交流，在探究中經(jīng)歷歸納、猜想與證明，感知代數(shù)推理，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)，從而發(fā)展抽象思維和歸納推理能力。

應(yīng)當(dāng)指出的是，代數(shù)推理能力對(duì)初中生學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的意義，以上觀點(diǎn)和例子只是筆者在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)的初探，如果要更進(jìn)一步地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師應(yīng)充分探究教學(xué)內(nèi)容與代數(shù)推理的關(guān)系，尋求符合校情、生情的教學(xué)方法，關(guān)注幾何直觀和代數(shù)推理的關(guān)系，創(chuàng)造性地調(diào)整教材內(nèi)容、選擇合適的例習(xí)題，在提升學(xué)生代數(shù)推理的能力的同時(shí)促進(jìn)教育教學(xué)質(zhì)量的提升。

【參考文獻(xiàn)】

[1]喬王麗.七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)式的困難分析[D].上海：上海師范大學(xué)，2014

[2]王營(yíng)營(yíng).“多元表征”理論在初中代數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用[J].百科論壇電子雜志，2021（22）：832.

[3]宋彥邦，如何培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力[J].新課程學(xué)習(xí)·上，2013（3）

[4]李樹臣，陳剛.加強(qiáng)代數(shù)推理能力訓(xùn)練不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)——“數(shù)與代數(shù)”中的數(shù)學(xué)推理問題例解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2021（2）：10-13.