彭銀航

算理和算法的關(guān)系，正如哲學(xué)中理論與實(shí)踐的關(guān)系一樣，算理是計(jì)算過(guò)程中的道理，側(cè)重解決“為什么這樣算”的問(wèn)題；算法是計(jì)算的具體操作方法，其實(shí)也是簡(jiǎn)化了的推理過(guò)程，其基本特點(diǎn)就是簡(jiǎn)捷化、程式化，側(cè)重解決“怎樣算”的問(wèn)題。對(duì)于學(xué)生而言，明白為什么更加重要，因?yàn)樗麄冋幵谶@樣的年齡，對(duì)未知充滿了好奇。

新算理的背景

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)老師在計(jì)算教學(xué)中要想提高學(xué)生的計(jì)算能力，重點(diǎn)就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生弄清楚算理，才能幫助學(xué)生更加合理地應(yīng)用計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算。各版本教材在闡述除數(shù)是小數(shù)的除法算理時(shí)，使用的是商不變規(guī)律。雖然容易理解，但是也存在一些問(wèn)題：一是算式本身含義的理解只注重了倍數(shù)關(guān)系而忽略了小數(shù)的特征；二是預(yù)判商和被除數(shù)的大小關(guān)系時(shí)只注重了讓學(xué)生用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題而忽略了本質(zhì)的原因，因此我們有必要探究新的算理。在2022版新課標(biāo)中，倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，我們更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注計(jì)算背后的算理，讓學(xué)生多思考算式背后的深層含義，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常重要的。

新算理的探究

從整數(shù)除法的兩個(gè)基本算理出發(fā)。整數(shù)除法是學(xué)生學(xué)習(xí)除法的開(kāi)始，整數(shù)除法的算理自然就成為學(xué)生理解除法最基本的算理。雖然教材中沒(méi)有明確出現(xiàn)“等分除”“包含除”，但是教師教學(xué)用書(shū)中還是出現(xiàn)了相應(yīng)的說(shuō)明。學(xué)生課本中的練習(xí)題也出現(xiàn)了相應(yīng)的題目，篇幅也不小，這就說(shuō)明教材編委在整數(shù)除法算理這塊還是很重視“等分除”和“包含除”這兩個(gè)最基本的算理的。我們以6÷2=3為例，進(jìn)行理解。

“等分除”的重新理解。在“等分除”的背景下，6÷2=3表示把6平均分給2個(gè)1，商表示每個(gè)1獲得3。通俗地講，6表示6個(gè)蘋(píng)果，2表示有兩個(gè)大盤(pán)子，1就相當(dāng)于1個(gè)大盤(pán)子，那么商就表示每1個(gè)大盤(pán)子獲得3個(gè)蘋(píng)果，如圖一。

由于每個(gè)盤(pán)子的3個(gè)蘋(píng)果來(lái)自于6個(gè)蘋(píng)果，那么商就來(lái)自于被除數(shù)，所以在“等分除”的前提下，我們可以說(shuō)商表示除數(shù)是1時(shí)所應(yīng)該獲得的被除數(shù)。這種對(duì)商的理解在這里顯得沒(méi)有什么，可是它在小數(shù)除法以及分?jǐn)?shù)除法的理解下將發(fā)揮重大作用。

“包含除”的重新理解。在“包含除”的背景下，6÷2=3表示以2為一份，6里面包含了3個(gè)2，如圖二。

所以在這里商表示被除數(shù)里所包含的除數(shù)的個(gè)數(shù)，但是為了后面對(duì)小數(shù)除法的更好理解，我們有必要在解讀得深一點(diǎn)，“6÷2”中的6和2都是以1為計(jì)數(shù)單位的，也就是說(shuō)被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位要相同。用學(xué)生熟悉的整數(shù)除法算理理解小數(shù)除法，本身就很有意義，這一理解對(duì)小數(shù)除法算理的重新理解非常重要。

用“等分除”理解除數(shù)是小數(shù)的除法算理。為了便于說(shuō)明，我們以2÷0.4為例來(lái)探究。相較于整數(shù)除法，在“等分除”的背景下，除數(shù)很容易看成幾個(gè)幾，這也是除數(shù)是小數(shù)時(shí)用“等分除”解釋的困難所在。如果我們用小數(shù)的眼光看除數(shù)，那么0.4就可以看成4個(gè)0.1。這樣一來(lái)，2÷0.4就可以理解為把2平均分成4份，每份是0.5，只不過(guò)這里的0.5是一個(gè)0.1獲得的，如圖三所示。

通俗地講，0.4就相當(dāng)于4個(gè)小盤(pán)子，0.1就是1個(gè)小盤(pán)子，10個(gè)小盤(pán)子才相當(dāng)于原來(lái)的一個(gè)大盤(pán)子，那么2÷0.4的商就應(yīng)該是0.5的10倍，所以2÷0.4=2÷4×10。在這里也就更加理解了商表示除數(shù)是1時(shí)所應(yīng)該獲得的被除數(shù)的含義。同理72÷0.36=72÷36×100，4.2÷0.021=4.2÷21×1000等。這種算理的關(guān)鍵在于要把除數(shù)巧妙地看成幾個(gè)零點(diǎn)幾、零點(diǎn)零幾、零點(diǎn)零零幾等，然后要確定幾個(gè)這樣的小份是1。

用“包含除”理解除數(shù)是小數(shù)的除法算理。為了對(duì)比“等分除”的解釋，我們用“包含除”解釋時(shí)仍然以2÷0.4為例。包含除的核心是被除數(shù)里包含了幾個(gè)除數(shù)，由于直接看2里包含了幾個(gè)0.4不方便，因?yàn)?表示2個(gè)1，0.4表示4個(gè)0.1，它們的計(jì)數(shù)單位不同。所以借鑒上面的經(jīng)驗(yàn)，我們用小數(shù)的眼光看被除數(shù)和除數(shù)，0.4表示4個(gè)0.1，2表示20個(gè)0.1。為了形象理解，可以這樣想，每一個(gè)0.1就相當(dāng)于一個(gè)蘋(píng)果，每4個(gè)0.1裝一個(gè)小袋將相當(dāng)于4個(gè)蘋(píng)果裝一小袋，那么20個(gè)0.1就相當(dāng)于20個(gè)蘋(píng)果，所以問(wèn)2里包含了幾個(gè)0.4就相當(dāng)于問(wèn)20里面包含了幾個(gè)4。為了直觀，我們用圖四展示“包含除”的理解。所以“包含除”在小數(shù)除法的算理重構(gòu)上主要體現(xiàn)在被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一上。

新算理的兩個(gè)應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

通過(guò)我的大量教學(xué)實(shí)踐和反思，新算理有兩大優(yōu)勢(shì)：一是有利于培養(yǎng)學(xué)生的估算能力。例如7.09÷0.52的估算，如果用“等分除”思考，可以這樣想，0.52獲得了7.09，而1里大約有兩個(gè)0.52，所以商大約是14。如果用“包含除”思考，可以這樣想，7.09大約有7個(gè)1，而每個(gè)1里大約包含2個(gè)0.52，所以7.09里大約包含14個(gè)0.52。二是有利于提高學(xué)生判斷商與被除數(shù)的大小關(guān)系時(shí)的準(zhǔn)確率。尤其是用“等分除”中提煉的商的含義去理解會(huì)更方便，例如判斷1.97÷0.89與1.97的大小時(shí)，可以這樣思考，0.89獲得了1.97，而1比0.89大，那么1獲得的一定比0.89獲得的大，所以商大于被除數(shù)。再例如判斷1.97÷1.09與1.97的大小，可以這樣思考，1.09獲得了1.97，而1比1.09小，那么1獲得的一定比1.09獲得的小，所以商小于被除數(shù)。課本在給學(xué)生展示判斷商與被除數(shù)大小關(guān)系時(shí)，用的是讓學(xué)生從幾組算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后記住規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律。從心理學(xué)和教育學(xué)的角度看，通常隨著時(shí)間的推移，學(xué)生容易遺忘，因?yàn)檫@是無(wú)意記憶。從“等分除”和“包含除”的角度思考，就不會(huì)出現(xiàn)類似的問(wèn)題，因?yàn)檫@是整數(shù)除法算理的延伸。

新舊算理的聯(lián)系和區(qū)別

新算理注重的是從整數(shù)除法的“等分除”和“包含除”的視角出發(fā)，通過(guò)從小數(shù)的視角把小數(shù)看成幾個(gè)幾，從而順利打通小數(shù)除法和整數(shù)除法的阻隔。教材上的算理用的是商不變規(guī)律，注重的是轉(zhuǎn)化思想的滲透。二者的聯(lián)系和區(qū)別主要有二：其一，包含除和商不變規(guī)律都是要把除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，雖然路徑不同，但是效果相同。包含除更加入微，更加叩問(wèn)知識(shí)本真。在解答為什要把除數(shù)化成整數(shù)時(shí)，商不變規(guī)律顯得浮于表面，而“包含除”就顯得直擊要害，因?yàn)橐阌谒伎及褞讉€(gè)幾當(dāng)做一份，然后才能看出被除數(shù)里有這樣幾份。其二，“等分除”雖然與商不變規(guī)律的解釋大相徑庭，但是稍作計(jì)算上的改變，最終的形式還是可以統(tǒng)一的。

由此看來(lái)，新舊算理不但互相補(bǔ)充，又具有歸一原則。在今后的教學(xué)中，如果能用學(xué)生熟悉的知識(shí)實(shí)施教學(xué)，多一些知識(shí)間的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)，我們的教學(xué)必將豐富多彩，也會(huì)使數(shù)學(xué)素養(yǎng)的理念得到真正落實(shí)，在“雙減”背景下也容易做到提質(zhì)增效。

專家點(diǎn)評(píng)

結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，本文作者在原有的除法教學(xué)算理的基礎(chǔ)上，探究出新的算理，從而豐富了學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)。正如文中所講到的，如果教師在教學(xué)時(shí)能夠把學(xué)生熟悉的知識(shí)進(jìn)行遷移，多一些“新算理”的探究和實(shí)踐，那么不管是什么課堂，一定是豐富多彩的，學(xué)生也一定興趣高漲。在新的時(shí)代背景下，希望能看到更多這樣的實(shí)踐，這樣的課堂。