剛-液耦合航天器系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)及穩(wěn)定性分析*

易中貴, 岳寶增, 劉 峰, 盧 濤, 鄧明樂

(1.北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 北京 100081;2.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081;3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 100076;4.中國空間技術(shù)研究院通信與導(dǎo)航衛(wèi)星總體部, 北京 100094)

0 引 言

現(xiàn)代航天器通常都需要攜帶大量的液體燃料推進(jìn)劑.當(dāng)這些復(fù)雜航天器或者探測器在執(zhí)行任務(wù)時,如姿態(tài)機(jī)動、軌道轉(zhuǎn)移、交會對接、懸停與避障等,復(fù)雜航天器系統(tǒng)的液體推進(jìn)劑與部件的相互運(yùn)動將會嚴(yán)重影響該耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

自20世紀(jì)60年代開始,研究人員們就發(fā)現(xiàn)可以采用剛體來等效封閉儲腔內(nèi)部分填充連續(xù)介質(zhì)液體的動力學(xué)行為[1-2].自此,得益于動力學(xué)描述的簡化、計算復(fù)雜度的減小以及在艦實時控制的可實現(xiàn)性等優(yōu)勢,相比于計算流體動力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)方法,等效力學(xué)模型(包括質(zhì)量彈簧與平面擺模型[1]、球擺模型[3-6]、運(yùn)動脈動球模型[7]等)在航天工程領(lǐng)域受到了越來越多工程人員的青睞.然而,對于大幅非平面晃動的情形(即液體首先會經(jīng)歷一個伴隨有液體起旋的大幅橫向晃動,進(jìn)而會出現(xiàn)明顯的旋轉(zhuǎn)晃動和液體自旋運(yùn)動,來自Tang和Yue[8]工作的數(shù)值結(jié)果很好地解釋了這一物理過程),Liu和Yue等[9-10]提出了一個復(fù)合3D剛體擺模型,該模型被證明是一個有效且可行的方案.通過與解析解、實驗解和數(shù)值解進(jìn)行對比,該模型成功預(yù)測了球形儲腔中的晃動力.在此之前,據(jù)研究者統(tǒng)計,還沒有發(fā)現(xiàn)研究液體起旋的相關(guān)工作.由于控制方程中出現(xiàn)的奇異性,即便是球擺模型也不能完成此項工作[10].

幾何力學(xué)是從現(xiàn)代微分幾何(流形)的觀點對經(jīng)典Lagrange和Hamilton力學(xué)的現(xiàn)代描述[11].這些現(xiàn)代的、內(nèi)稟的幾何技術(shù)為人們提供了一個全局和無坐標(biāo)描述的方案,這種方案可以避免選擇局部坐標(biāo)時容易遇到的繁冗的計算以及致命的奇異性問題[12],如剛體姿態(tài)表示里面的Euler角就是一個例子(這實際上是Lie群中的特殊正交群So(3))[10].

Arnold將著名的Lyapunov穩(wěn)定性理論向前推廣,從而得到能量-Casimir方法(該術(shù)語是由文獻(xiàn)[13]首次提出的).通過對能量-Casimir函數(shù)取一階導(dǎo)數(shù)即可得到相對平衡點,再結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)以及凸分析即可得到相應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[14].Ozkazanc[15]使用Lagrange力學(xué)推導(dǎo)了帶全充液儲腔的航天器系統(tǒng)的動力學(xué)方程,并使用能量-Casimir方法分析了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.該航天器系統(tǒng)被建模為一個剛體攜帶有不可壓縮、無黏、均質(zhì)液體的全充液系統(tǒng).因此,該系統(tǒng)實際上沒考慮液體晃動的影響.但是該文獻(xiàn)對該航天器系統(tǒng)的非正則Hamilton結(jié)構(gòu)、Lie-Poisson描述與Euler-Poincaré描述、相對平衡態(tài)以及控制問題都做了非常詳細(xì)的研究.Ardakani等[16]提出了一種推導(dǎo)儲腔內(nèi)帶有自由液面的二維不可壓縮旋轉(zhuǎn)流體流運(yùn)動的變分原理,并采用Euclide群表示剛性儲腔的運(yùn)動.Gasbarri等[17]采用多體建模方法研究了剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的動力學(xué)建模以及穩(wěn)定性分析,并采用球擺模型來等效儲腔內(nèi)部分填充液體的晃動行為.Salman和Yue[18]使用Lyapunov以及Casimir能量函數(shù)研究了充液航天器系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性問題.該文獻(xiàn)中,他們采用平面擺來等效液體的晃動問題,因此該模型只適用于小幅線性的橫向晃動問題.此外,他們還研究了該耦合系統(tǒng)的分叉以及混沌問題.閆玉龍[19]采用能量-Casimir方法研究了剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定性問題.其中液體晃動被等效為一個平面擺模型,柔性附件采用的是線性剪切梁.

然而,當(dāng)人們嘗試把能量-Casimir方法推廣到幾何精確桿(或者三維彈性板或殼)時,則被證明這是行不通的[20].這是由于約化空間里表示的Casimir函數(shù)很難表示或?qū)嶋H上根本就不存在[21-22].幸運(yùn)的是,Simo等[20]針對這一問題做了改進(jìn),并由此提出了能量-動量方法.文獻(xiàn)[20]研究的另外一個非常關(guān)鍵且重要的結(jié)果就是分塊對角化技術(shù),它把能量動量函數(shù)的二階變分分塊對角化為整體剛性運(yùn)動和內(nèi)部振動兩塊,即將對稱群產(chǎn)生的“旋轉(zhuǎn)”擾動與“內(nèi)部(變形)”擾動的互補(bǔ)空間分離,其中前一個分塊即對應(yīng)著名的Arnold形式.

據(jù)此,筆者從幾何力學(xué)的Lagrange角度出發(fā),系統(tǒng)研究了剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的全局和無坐標(biāo)描述動力學(xué)方程、相對平衡態(tài)的尋找及其相對平衡特性的證明、穩(wěn)定性準(zhǔn)則的建立和分析[23].模型中的柔性附件采用的是可以在三維空間做任意運(yùn)動的幾何精確桿(包括拉伸、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲).因此采用能量-動量方法與分塊對角化技術(shù)研究了該剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定特性.

在本文中,針對剛-液耦合航天器系統(tǒng)液體推進(jìn)劑的非線性晃動行為,給出了適用于球腔及柱腔的3D剛體擺等效力學(xué)模型.由此,采用內(nèi)稟的幾何技術(shù)研究了該耦合系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu),推導(dǎo)了其在約化空間上的約化Poisson括號.最后,采用能量-動量方法以及分塊對角化技術(shù),建立了該耦合系統(tǒng)的相對平衡態(tài)和相應(yīng)的自旋穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

1 剛-液耦合系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)

1.1 Lagrange函數(shù)

燃料推進(jìn)劑在球形儲腔或者圓柱儲腔中的非線性晃動行為可通過一個剛體擺來等效.如圖1所示,液體燃料的晃動部分通過剛體擺來等效其力學(xué)行為,而未晃動部分(即“凍結(jié)”燃料部分)則等效為固定在主剛體上的一個集中質(zhì)量點.而且當(dāng)h=0時,對應(yīng)于球形儲腔的等效,否則對應(yīng)于圓柱儲腔的等效.關(guān)于等效原則(包括靜態(tài)屬性和動態(tài)屬性)的敘述可參考文獻(xiàn)[1]中的3.2節(jié),較詳細(xì)的可參考NASA組織研究的,關(guān)于液體晃動動力學(xué)行為的文獻(xiàn)[24]中的第6章.對于球腔和圓柱腔中等效力學(xué)模型的各等效參數(shù)也可參考文獻(xiàn)[1](P48)中提供的經(jīng)驗公式,或者文獻(xiàn)[24](P204)中提供的經(jīng)驗公式,兩者的區(qū)別只是坐標(biāo)系選取的差異.等效方式可參考文獻(xiàn)[10]中2.1節(jié)的詳細(xì)敘述.如果不考慮未晃動部分的“凍結(jié)”燃料,那么圖1中的力學(xué)模型就完全等價于經(jīng)典的雙剛體系統(tǒng)[25-30].

圖1 剛-液耦合航天器系統(tǒng)的等效力學(xué)模型

圖1中的物理參數(shù)解釋如下:OI為空間慣性坐標(biāo)系OIE1E2E3的原點;O0為系統(tǒng)質(zhì)心;O1為主剛體平臺在質(zhì)心處的連體坐標(biāo)系O1e1e2e3的原點,也是儲腔的形心;O2為剛體擺在質(zhì)心處的連體坐標(biāo)系O2f1f2f3的原點;Of為“凍結(jié)”燃料集中質(zhì)量點;Oh為等效液體晃動剛體擺的虛擬懸掛點;h為主剛體平臺上連體坐標(biāo)系中,從點O1到點Oh的矢量;l為等效剛體擺上連體坐標(biāo)系中,從點Oh到點O2的矢量;d為主剛體平臺上連體坐標(biāo)系中,從點O1到點Of的矢量;φ0為空間慣性坐標(biāo)系中,從點OI到點O0的矢量;φ1為空間慣性坐標(biāo)系中,從點OI到點O1的矢量;φ2為空間慣性坐標(biāo)系中,從點OI到點O2的矢量;φf為空間慣性坐標(biāo)系中,從點OI到點Of的矢量;B1為主剛體平臺從連體坐標(biāo)系到空間坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣;B2為等效剛體擺從連體坐標(biāo)系到空間坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣.

根據(jù)圖1,可以得到如下的運(yùn)動關(guān)系:

φ2=φ1+B1h+B2l,

(1a)

φf=φ1+B1d.

(1b)

根據(jù)上式與系統(tǒng)質(zhì)心關(guān)系,可得

M=m1+m2+mf,

(2a)

(2b)

式中m1,m2,mf分別為主剛體平臺、等效剛體擺和“凍結(jié)”燃料的質(zhì)量.

該剛-液耦合航天器系統(tǒng)的構(gòu)型流形可由如下定義的Cartesius積表示:

Q=3×So(3)×So(3)={q=(B1,B1,B2)}.

(3)

假設(shè)q1∈3是主剛體上的任意一點在連體坐標(biāo)系O1e1e2e3下的位置矢量,那么其在空間坐標(biāo)系OIE1E2E3下的空間慣性位置可表示為φq1=φ1+B1q1.因此主剛體動能可寫為

(4)

(5)

(6)

同理,根據(jù)相同的思路可以推導(dǎo)得到等效晃動剛體擺的動能,并直接寫為

(7)

對于“凍結(jié)”燃料部分(即未晃動部分的固定質(zhì)量)的動能也可以根據(jù)相同的推導(dǎo)思路直接寫為

(8)

其中Jf=mf(‖d‖213-d?d).

根據(jù)式(5)—(7),便可得到圖1中表示的剛-液耦合航天器系統(tǒng)的總動能,并表示如下:

T=T1+T2+Tf=

(9)

由于本文中不考慮系統(tǒng)所處的重力環(huán)境,因此系統(tǒng)沒有勢能項.所以圖1中表示的剛-液耦合航天器系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)L:TQ→可表示為

L(φ1,B1,B2,v1,Ω1,Ω2)=

(10)

1.2 剛-液耦合系統(tǒng)的約化

接下來,考慮特殊Euclide群SE(3)里面的一個群單元g:

(11)

式中A∈So(3),a∈3×1,0∈1×3.其中特殊Euclide群SE(3)可以理解為一個Cartesius積[12],SE(3)=So(3)×3.

根據(jù)Lie群在光滑流形上的左作用的定義[11-12],便可定義特殊Euclide群SE(3)在式(3)中介紹的構(gòu)型流形Q上的左作用,因此可得

Lg(q)=g·q=(Aφ1+a,AB1,AB2).

(12)

通過驗算可以發(fā)現(xiàn)式(10)中的Lagrange函數(shù)在此作用下是不變的,所以該剛-液耦合航天器系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)在此群作用下也是不變的.由此,就可通過此群對該系統(tǒng)做約化處理.此約化可分為兩步:第一步先介紹3約化(即系統(tǒng)的平移不變性),這也對應(yīng)于系統(tǒng)的總線動量不變性;第二步再介紹So(3)約化(即系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)不變性),這也對應(yīng)于系統(tǒng)的總角動量不變性.

Q=3×So(3)×So(3)={q=(φ0,B1,B2)}.

(13)

系統(tǒng)的總線動量P可以表示為

(14)

因此根據(jù)此式,式(10)中的Lagrange函數(shù)就可重新改寫為包含系統(tǒng)質(zhì)心矢量的線動量的函數(shù):

(15)

式(12)中引入的左作用的動量映射就可定義為

(16)

其可通過標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)Jξ(vq)=〈FL(vq),ξQ(q)〉計算得到[11-12].這是因為由式(15)可知FL(vq)=?L/?v0=Mv0=P,因此Jξ=〈P,ξ〉,從而可得J(vq)=P.Legendre變換FL在空間T3×TSo(3)×TSo(3)上誘導(dǎo)了一個辛結(jié)構(gòu).

在常數(shù)點P對應(yīng)的約化空間為J-1(P)/3=TSo(3)×TSo(3).此時在約化空間上,式(15)中Lagrange函數(shù)的第一項就是一個常數(shù)項,因此可以去掉,從而可得約化后的Lagrange函數(shù)為

(17)

接下來再介紹So(3)約化(即旋轉(zhuǎn)約化),這對應(yīng)于系統(tǒng)的總角動量不變性.這里的理論依據(jù)為Poisson約化理論[25,32].為了獲得系統(tǒng)角動量的顯式表達(dá)式,這里將式(17)中的Lagrange函數(shù)改為如下二次形式的函數(shù):

(18)

從而將Legendre變換FL應(yīng)用在此二次形式的Lagrange函數(shù),可得

(19)

(20)

式中Π=[Π1;Π2].由式(15)可知相對姿態(tài)B包含在J-1里的J12中.

先定義So(3)在C=So(3)×So(3)上如下的一個左Lie群作用:

Φ:So(3)×C→C,(R,(B1,B2))(RB1,RB2).

(21)

相對該作用在T*(So(3)×So(3))上的余切提升為

(22)

從而在約化空間T*(So(3)×So(3))/So(3)里的每個等價類的表示可寫為

(23)

(24)

是一個Poisson映射,π1=B1Π1,π2=B2Π2稱為空間角動量.

FP=F°P

(25)

定義在空間T*(So(3)×So(3))上的一個函數(shù)FP,從而使得約化空間上的函數(shù)滿足如下關(guān)系:

(26)

又由于在T*(So(3)×So(3))上的正則Poisson括號[1]的定義如下:

(27)

其中函數(shù)HP∈C∞(T*(So(3)×So(3))).從而根據(jù)約化Poisson結(jié)構(gòu)的定義可得

(28)

{F,H}(Π1,Π2,B)=

(29)

1.3 剛-液耦合系統(tǒng)的Poisson括號

在繼續(xù)推導(dǎo)上式中各項的具體表達(dá)式之前,先引入特殊正交群So(3)的二次切叢及其對偶空間上任意元素全局表示的概念.

根據(jù)文獻(xiàn)[33]中5.2.3小節(jié)的介紹,二次切叢TTSo(3)及余切叢T*TSo(3)上任意元素的全局表示可分別寫為

(30a)

(30b)

式中a,u,b,w,Ω均為3中的單元,而群元素R∈So(3).根據(jù)此公式,現(xiàn)在就可以推導(dǎo)TT*(So(3)×So(3))與其對偶T*T*(So(3)×So(3))上的任意單元的全局表示,具體推導(dǎo)步驟如下:

(31)

(32)

(33)

(34)

結(jié)合式(33)及式(34),即可得到

(35)

{F,H}(Π1,Π2,B)=

(36)

該式可進(jìn)一步簡化為

{F,H}(Π1,Π2,B)=

(37)

根據(jù)文獻(xiàn)[33]中的式(2.13)和上式,可得圖1描述的剛-液耦合航天器系統(tǒng)的如下約化Poisson括號形式的動力學(xué)方程:

(38)

此外需要說明的是,式(38)中推導(dǎo)的約化Poisson括號可以推廣到帶柔性附件的情況.針對線性剪切梁的情形[33],只需將式(20)中描述的系統(tǒng)的構(gòu)形流形改為C=So(3)×So(3)×M[34],其中M表示從區(qū)間[0,L]到的函數(shù),L表示梁的長度.根據(jù)文獻(xiàn)[33]的推導(dǎo)過程,剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的約化Poisson括號可寫為其中式(5.50)的形式.而針對更為一般的非線性彈性體(包括桿和板等)的Hamilton結(jié)構(gòu),感興趣的讀者可以閱讀經(jīng)典文獻(xiàn)[35].對于這里提到的帶有線性剪切梁的柔性附件的情形,文獻(xiàn)[14,19,36]對能量-Casimir方法的構(gòu)造與其在相對平衡態(tài)的穩(wěn)定性分析上均做了非常詳細(xì)的介紹和研究.

2 剛-液耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本節(jié)將采用能量-動量方法研究剛-液耦合航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征.

2.1 系統(tǒng)的相對平衡態(tài)

文獻(xiàn)[20]通過構(gòu)造一個能量-動量函數(shù),為描述相對平衡點提供了一種變分方案,這點可從其中2.4小節(jié)“相對平衡理論”的式(2.22)中得以體現(xiàn).重構(gòu)能量-動量函數(shù)便可得到修正勢能的定義,而此修正勢能的極值點恰恰就是相對平衡點.這一事實被稱為對稱臨界原理.本小節(jié)將采用此對稱臨界原理來推導(dǎo)剛-液耦合航天器系統(tǒng)的相對平衡點.為了探討系統(tǒng)自旋角速度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,這里在系統(tǒng)主剛性平臺上安裝一個勻速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子,此時的系統(tǒng)稱為陀螺力學(xué)系統(tǒng),更多的介紹可參考文獻(xiàn)[33]中的式(2.81)和式(5.83).

根據(jù)式(13)和(17)可知,系統(tǒng)的構(gòu)形流形可重新表示為Q=So(3)×So(3)={q=(B1,B2)},并帶有如下定義的Riemann度量:

《vq,vq》=〈vu,Jvu〉,

(39)

系統(tǒng)中剩余的陀螺場及對稱群分別為[23]

(40)

式中矢量y1,y2的表達(dá)式由下式確定:

(41)

式中Jd,ωφ分別表示轉(zhuǎn)子的常數(shù)慣性并矢及轉(zhuǎn)動角速度.

從而Lie群G=So(3)左作用于該構(gòu)形流形Q時有

Ψ:G×(So(3)×So(3))→(So(3)×So(3)),(R,(B1,B2))(RB1,RB2).

(42)

(43)

根據(jù)能量-動量方法的分塊對角化技術(shù)[33],定義如下的鎖定慣性張量Ilock(q):g→g*及在g*中誘導(dǎo)出的陀螺-動量IY(q):

(44)

再根據(jù)文獻(xiàn)[33]中式(2.98)的定義,便可寫出上述剛-液耦合航天器系統(tǒng)的如下修正勢能項:

(45)

(46)

根據(jù)前面關(guān)于對稱臨界原理的敘述,可知式(45)的極值點即為系統(tǒng)的相對平衡點,因此這里需要對修正勢能Vξ(q)進(jìn)行微分.根據(jù)切空間TqQ上的矢量在Q上生成的曲線可誘導(dǎo)出如下微分:

(47)

將式(46)代入上式即可得到

(48)

式中s=εcd-εah,并且這里假設(shè)J1是對稱的,后文2.2小節(jié)中式(53)給出的相對平衡點可以驗證該假設(shè)是成立的.由此式即可得到系統(tǒng)平衡態(tài)的構(gòu)形流形(B1,e,B2,e)滿足如下的平衡態(tài)條件:

(49)

系統(tǒng)處于該相對平衡態(tài)時,可以證明:

1)圖1中虛擬懸掛點矢量的空間表示B1,ehe、擺桿矢量的空間表示B2,ele和系統(tǒng)空間角速度ξ三者之間還滿足如下的共面條件:

B1,ehe×B2,ele·ξe=0.

(50)

該式的詳細(xì)證明過程可參考文獻(xiàn)[23]中定理3.3條件(i)的證明, 并且可以發(fā)現(xiàn)該共面條件不受陀螺場的影響.

2)如果不考慮動量輪,則系統(tǒng)空間角速度ξe就是鎖定慣性并矢I12f,e的特征矢量,滿足條件

ξe×I12f,eξe=0,

(51)

即I12f,eξe=λξe.如果考慮動量輪,那么上式應(yīng)改為

ξe×(I12f,eξe+B1,eκe)=ξe×αe=0,

(52)

式中αe表示系統(tǒng)在相對平衡點處的總角動量.該條件的具體證明過程可參考文獻(xiàn)[23]中定理3.3條件的證明,其中鎖定慣性并矢I12f,e表達(dá)式的定義可參考文獻(xiàn)[23]中的式(3.33),不考慮柔性附件部分.

2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

結(jié)合能量-動量方法以及2.1小節(jié)中的相對平衡點的介紹和討論,接下來將應(yīng)用這些方法來研究圖1中描述的剛-液耦合航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文將研究T型構(gòu)形均勻旋轉(zhuǎn)的特殊情形.假設(shè)剛-液耦合航天器系統(tǒng)中其他等效部件的位置構(gòu)形是共線的,即 “凍結(jié)”質(zhì)量點的方向與等效剛體擺的擺桿方向是共線的.系統(tǒng)空間角速度的旋轉(zhuǎn)軸與等效剛體擺的擺桿方向垂直,且通過系統(tǒng)質(zhì)心.即對應(yīng)于圖1中擺桿方向位于e1軸正方向時構(gòu)成的狀態(tài),旋轉(zhuǎn)軸沿e3軸方向.相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:

(53)

式中{e1,e2,e3}, {f1,f2,f3}分別對應(yīng)于圖1中主剛體平臺、等效剛體擺的連體坐標(biāo)系.由上式可看出,擺桿與懸掛高度處于一種類似于“折疊”的狀態(tài).另外可以驗證這些參數(shù)是滿足式(49)中的相對平衡方程的.

[(J1,e,3+J2,e,3+2εcdl-2εahl)ξ+κ]B1,ee3,

(54)

這里假設(shè)式中各慣性量J1,J2,J12均只在各自的主對角線上存在元素,如J1=diag[J1,1,J1,2,J1,3].

(55)

V={δq∈TqeQ|《δq,ηQ(qe)》=0,?η∈gμe}=

{(J1,e,3+εcdl-εahl)u1,e,3+(J2,e,3+εcdl-εahl)u2,e,3=0}.

(56)

再根據(jù)文獻(xiàn)[33]關(guān)于分解空間VRIG的定義即可得

(57)

根據(jù)文獻(xiàn)[21]中式(2.31)的敘述可知,在相對平衡點處,限制在空間V上的修正勢能的二次微分的正定性則隱藏著形式穩(wěn)定性,即D2Vξ(qe)|V×V>0.因此,由式(45)和式(46)可得

(εcdl-εahl)ξ2(u1,e,3-u2,e,3)2≥

(58)

式中的系數(shù)σi(i=1,2,…,5)分別對應(yīng)于前一不等式中各變量前的系數(shù).具體推導(dǎo)過程與式(47)相似,這里將不再贅述.

同理,為了后續(xù)計算簡便,這里也對式(56)中的等式做如下簡化:

γ1u1,e,3+γ2u2,e,3=0,

(59)

其中系數(shù)γ1,γ2分別對應(yīng)式(56)中等式里各變量前的系數(shù).

從而將上式代入式(58),展開得到的表達(dá)式,并收集同類項后可得限制在空間V上的修正勢能的二次微分為

(60)

綜上所述,將前面各式中各相應(yīng)的系數(shù)代入上式中替換對應(yīng)的參數(shù)即可得到剛-液耦合航天器系統(tǒng)的如下自旋穩(wěn)定性條件:

(61)

式中σ5=εcdl-εahl,而各慣性參數(shù)以及各約化質(zhì)量可參考式(15)里的具體定義.

這里需要強(qiáng)調(diào)的是,假設(shè)上述等效剛-液航天器系統(tǒng)中僅由主剛體平臺構(gòu)成,那么上式中的穩(wěn)定性條件即變?yōu)槿缦陆?jīng)典的剛體穩(wěn)定性準(zhǔn)則:

(62)

此時對應(yīng)于l=0.對于僅有等效剛體擺時同理.該剛體穩(wěn)定性準(zhǔn)則可從文獻(xiàn)[37]中采用的保結(jié)構(gòu)算法計算得到的動量球上的余伴隨軌道(圖8)得以清晰體現(xiàn).其中式(16)解釋部分提到的辛結(jié)構(gòu)[38]是力學(xué)系統(tǒng)中經(jīng)常講的保結(jié)構(gòu)[39]的一種內(nèi)蘊(yùn)的幾何結(jié)構(gòu),其可用于構(gòu)造相應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)優(yōu)異的數(shù)值迭代格式[40-42].

(63)

(64)

結(jié)合文獻(xiàn)[33]中的式(2.142)以及本文中的式(54),即可得到

(65)

從而結(jié)合上面兩式即可得到式(63)中的矩陣表達(dá)形式:

(66)

由于耦合系統(tǒng)的空間旋轉(zhuǎn)角速度ξ旋轉(zhuǎn)軸與e3軸的方向相同,從而應(yīng)將上式中的主對角線上的第三項去掉.因此該耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性就等價于要求上式由剩下的項構(gòu)成的矩陣是正定的,即要求主對角線上的第一項以及第二項要同時大于零.再將式(64)和式(65)代入上式,即可得到剛-液耦合系統(tǒng)的如下Arnold形式的穩(wěn)定性條件:

(67)

通過與式(61)對比容易發(fā)現(xiàn),該Arnold形式的穩(wěn)定性條件包含在式(61)中表述的穩(wěn)定性條件中.該穩(wěn)定性條件不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,即不能保證式(61)中的穩(wěn)定性條件成立.因此,對于剛-液耦合航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,不能將耦合系統(tǒng)的運(yùn)動視為一個整體剛性運(yùn)動,必須考慮耦合效應(yīng)對穩(wěn)定性的影響.

2.3 穩(wěn)定性的數(shù)值仿真

根據(jù)2.2小節(jié)中式(61)給出的剛-液耦合航天器系統(tǒng)的自旋穩(wěn)定性條件,本小節(jié)將采用圖形的方式來體現(xiàn)該系統(tǒng)在具體參數(shù)下的穩(wěn)定域.這里將液體推進(jìn)劑的非線性晃動行為通過一個高度與半徑相等的等體積圓柱體來等效,如圖1所示.

模型中各參數(shù)的具體數(shù)值設(shè)置如下,其中部分參數(shù)引自文獻(xiàn)[23],部分?jǐn)?shù)據(jù)通過文獻(xiàn)[1]中(P48)給出的經(jīng)驗公式而得

(68)

式中,ρL表示液體推進(jìn)劑的質(zhì)量密度,pr與ph分別表示圓柱儲腔的半徑與高度.式中的坐標(biāo)系如式(53)所示.此外,液體燃料的晃動部分與“凍結(jié)”部分的質(zhì)量滿足:它們的質(zhì)心與剛體平臺的質(zhì)心重合.

由式(61)可知,耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性主要受液體推進(jìn)劑的充液比Ξ、系統(tǒng)的空間旋轉(zhuǎn)角速度ωs以及動量輪轉(zhuǎn)速ωφ的影響,仿真后的穩(wěn)定域如圖2中的陰影區(qū)域所示.

圖2 剛-液耦合航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定域

圖2(a)是系統(tǒng)充液比與系統(tǒng)自旋角速度的關(guān)系,它由式(67)Arnold形式的穩(wěn)定性條件繪制而得.由此可看出,隨著充液比的逐漸增加,系統(tǒng)臨界自旋角速度是逐漸增大的,即可允許的自旋角速度空間是逐漸增大的.同理,將式(68)中的系統(tǒng)參數(shù)代入式(61)繪制而得的穩(wěn)定性邊界為一帶狀區(qū)域ωs≤1 rad/s,通過與圖2(a)中的臨界值進(jìn)行比較可知,這也再次驗證了Arnold形式的穩(wěn)定性條件是包含在式(61)中的穩(wěn)定性條件中的.而圖2(b)是系統(tǒng)充液比與轉(zhuǎn)子角速度的關(guān)系,由圖可知,只要轉(zhuǎn)子角速度在圖中曲線之上系統(tǒng)均是穩(wěn)定的,或者說在不同充液比條件下轉(zhuǎn)子需要滿足的最小轉(zhuǎn)速.

3 結(jié) 論

本文從幾何力學(xué)角度出發(fā),針對剛-液耦合航天器系統(tǒng)的3D剛體擺等效力學(xué)模型的動力學(xué)問題,系統(tǒng)推導(dǎo)了該等效模型的Hamilton結(jié)構(gòu),詳細(xì)研究了系統(tǒng)的自旋穩(wěn)定性特征.論文首先介紹了系統(tǒng)的平移不變性約化和旋轉(zhuǎn)不變性約化,根據(jù)正則Poisson括號推導(dǎo)了該剛-液耦合航天器系統(tǒng)在約化空間上的約化Poisson括號形式的動力學(xué)方程.接著根據(jù)對稱臨界原理推導(dǎo)了該系統(tǒng)的相對平衡態(tài),并且發(fā)現(xiàn)在平衡態(tài)條件下:懸掛點矢量、擺桿矢量和系統(tǒng)自旋角速度三者在空間上是共面的特性,且該特性與陀螺項無關(guān).在平衡點條件下,根據(jù)能量-動量方法和分塊對角化技術(shù)推導(dǎo)了系統(tǒng)的自旋穩(wěn)定性條件與Arnold形式的穩(wěn)定性邊界,并由此可清晰地看到耦合效應(yīng)對穩(wěn)定性的影響.最后以圖形的方式給出了具體模型參數(shù)下的自旋穩(wěn)定域.