自我監(jiān)控視角下分式運算錯誤分析及對策

郭倩 韋宏 黎秋苗

摘 要：初中生在分式學習中，經(jīng)常出現(xiàn)運算錯誤。其在自我監(jiān)控視角下產(chǎn)生錯誤的原因主要是：計劃監(jiān)測學習過程不到位，割裂知識之間的聯(lián)系；符號意識薄弱，算理不清晰；檢驗學習過程不嚴格，缺乏檢驗整理步驟；調(diào)節(jié)學習活動未落實，書寫不規(guī)范。對此，文章提出減少分式運算錯誤的對策：探尋知識關(guān)聯(lián)度，積極反饋學習過程；增強符號意識，提高抽象邏輯思維表征能力；提升反思能力，檢驗學習過程；糾正不良習慣，調(diào)整學習活動。

關(guān)鍵詞：自我監(jiān)控；分式；運算錯誤

作者簡介：郭? 倩（1999—），女，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院。

韋? 宏（1968—），男，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院。

黎秋苗（1999—），女，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院。

社會的發(fā)展要求人樹立終身學習的意識，其關(guān)鍵在于學會學習，而具備自我監(jiān)控意識和能力是學生學會學習的重要標志。章建躍教授指出，以數(shù)學學科為背景的自我監(jiān)控指的是“學生為高效學習，將數(shù)學學習活動作為意識對象，積極主動地進行計劃、檢驗、調(diào)節(jié)和管理的過程”［1］。這個過程主要分為三個方面：一是學生在數(shù)學學習活動前的計劃和安排；二是在數(shù)學學習活動中進行有意識的檢查、檢驗和反饋；三是在以上基礎(chǔ)上有意識地調(diào)節(jié)、修正和管理數(shù)學學習活動［2］。錯題在數(shù)學學習活動中不可避免，它既是學生薄弱知識的反映，也是學習資源的重要組成部分。本文在自我監(jiān)控視角下對初中數(shù)學分式運算常見錯誤原因進行分析，并積極探尋相應(yīng)的對策。

一、自我監(jiān)控視角下分式運算錯誤原因分析

（一）計劃監(jiān)測學習過程不到位，割裂知識之間的聯(lián)系

數(shù)學教材內(nèi)容具有連貫性，內(nèi)容編排呈螺旋式遞進，各知識點環(huán)環(huán)相扣。例如，分式和分數(shù)密切相關(guān)，初中《分式》和小學《分數(shù)》內(nèi)容具有一致性，分數(shù)（式）的分子和分母同時乘（或除以）一個不等于0的數(shù)（整式），分數(shù)（式）的值不變。分數(shù)和分式的基本性質(zhì)及其四則運算法則等都有共通之處。此外，分式是對整式的進一步學習。在整式學習過程中，學生已經(jīng)學過公因數(shù)（式）和因式分解等基礎(chǔ)知識，因式分解常用方法包括提取公因式法、分組分解法、公式法［平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2）］、十字相乘法、待定系數(shù)法等。分式的定義、法則、基本性質(zhì)等內(nèi)容也為學生后續(xù)學習解分式方程打下基礎(chǔ)。學生如果未根據(jù)學習內(nèi)容提前做好學習計劃，未采用恰當?shù)膶W習策略監(jiān)測學習過程，未及時查漏補缺，割裂知識點之間的聯(lián)系，就容易導(dǎo)致知識連貫性不足，應(yīng)對較為復(fù)雜的分式運算可能會無從下手，產(chǎn)生畏難情緒。部分學生在做分式運算時出現(xiàn)如下錯誤：

例1：+-

錯解：原式=

+-

=？

（過程太復(fù)雜學生難以進行下去）

錯因分析：此題要求化簡計算多個異分母分式相加減，部分學生通分時?。╩+n）（m-n）（m2-n2）為公分母，造成計算量增大，未能分辨出m2-n2可以根據(jù)平方差公式分解為（m+n）（m-n）。以上反映出學生基礎(chǔ)知識不牢固，不理解最簡公分母表示“各分母中所有因式的最高次冪的乘積”的內(nèi)涵。此題最簡公分母應(yīng)為（m+n）（m-n）。

（二）符號意識薄弱，算理不清晰

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，即使學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界［3］。其中，抽象能力是數(shù)學眼光的表現(xiàn)之一，也是初中階段核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一。符號意識主要是指能夠感知數(shù)學的符號功能，它是形成數(shù)學抽象能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)，是對“數(shù)感”的邏輯延伸，對符號的理解和使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式。初中階段學生正處于由算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的關(guān)鍵期，而符號是區(qū)分算術(shù)與代數(shù)的主要特征，教學中“用字母代替數(shù)”是滲透符號意識的重要載體。學生在學習《整式》時，已經(jīng)接觸過大量的用字母代替數(shù)的例子，學生已具備一定的符號意識，但個體思維發(fā)展快慢因人而異，部分學生在分式運算中符號意識薄弱，算理不清晰，具體表現(xiàn)如下：

例2：m+1-

錯解：原式=（m+1）（m-1）-=m2-1-2=m2-3

正解：原式=-=

錯因分析：分式的化簡計算是恒等變形，類比分數(shù)計算，異分母分式相加減應(yīng)通分化為同分母分式相加減，利用分式的基本性質(zhì)，將“m+1”看成分子分母同時擴大相同的倍數(shù)，分式的值保持不變。此處學生的解法與解分式方程利用等式的性質(zhì)進行“去分母”——方程兩邊同時乘最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的步驟相混淆。

例3：

錯解1：原式==-2m

錯解2：原式===

=-1

正解：原式===

錯因分析：其一，算理不清晰，“約分”的本質(zhì)是利用分式的基本性質(zhì)約去分子分母的公因式，而不是約掉相同的項。其二，識別出分子部分的多項式可以利用完全平方公式化簡，并且得出（m-1）2=（1-m）2，卻誤將1-m2等同于（1-m）2。

類似的，為消去分母違反分式的基本性質(zhì)，無法識別可以利用平方差公式或完全平方公式對多項式進行因式分解；無法提取公因式；符號處理不當?shù)榷际菍W生符號意識薄弱，算理不清晰，自我監(jiān)控不足的具體表現(xiàn)。例如，2和-2互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0，可得2+（-2）=0；同理，代數(shù)式m-n和n-m互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)（式子）相加得0，可得（m-n）+（n-m）=0，移項得m-n=-（n-m）；m，n和-m，-n互為相反數(shù)，則有-m-n=-（m+n）。部分學生無法識別互為相反數(shù)的代數(shù)式，對于分數(shù)到分式發(fā)展的演變過程不夠明確，理解不到位，從算術(shù)運算到代數(shù)運算出現(xiàn)思維斷層。

（三）檢驗學習過程不嚴格，缺乏檢驗整理步驟

例4：×

錯解：原式=×

=×=

正解：原式=×

=×

=

錯因分析：未能準確識別公式，在進行“約分”的操作之后，未歸結(jié)到“分子乘分子，分母乘分母”的步驟上，漏掉了分母還剩一個（2m+1）。部分學生的注意力僅停留在“約分”上，草率寫出結(jié)果，欠缺檢驗與整理。類似的，學生在解分式方程運算時，常出現(xiàn)以下錯誤：去分母時漏乘不含分母的項；去分母時分式中的多項式未添括號；忘記驗根，忽視分式分母不為0的隱含條件，方程兩邊同時除含有未知數(shù)的整式造成失根等［4］。這些都是學生檢驗學習過程不嚴格、缺乏檢驗整理步驟、自我監(jiān)控能力不足的表現(xiàn)。

（四）調(diào)節(jié)學習活動未落實，書寫不規(guī)范

經(jīng)過訪談?wù){(diào)研，筆者發(fā)現(xiàn)造成例4錯解的原因之一是學生書寫不規(guī)范，如做分式乘除法運算時，約分的結(jié)果未寫到對應(yīng)式子的上方或下方，而將約分后的結(jié)果寫到左右兩側(cè)，整理運算結(jié)果時漏看某一個分子或者分母，最終導(dǎo)致運算出錯。學生在分式運算中，書寫不規(guī)范，字跡潦草，卷面不整潔，未能完整地呈現(xiàn)運算思路，對于易錯題不及時總結(jié)歸納，反復(fù)出現(xiàn)同類型運算錯誤等，都是未調(diào)節(jié)學習活動的具體表現(xiàn)。

二、自我監(jiān)控視角下減少分式運算錯誤的策略

結(jié)合出現(xiàn)分式運算錯誤的原因，筆者有針對性地從教師和學生角度提出對策：探尋知識關(guān)聯(lián)度，積極反饋學習過程；增強符號意識，提高抽象邏輯思維表征能力；提升反思能力，檢驗學習過程；糾正不良習慣，矯正調(diào)節(jié)學習活動。以期減少分式運算錯誤，提高學習效率，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（一）探尋知識關(guān)聯(lián)度，積極反饋學習過程

教師在教學中應(yīng)關(guān)注學生自我監(jiān)控的思維過程。其一，橫向類比，探尋新舊知識的關(guān)聯(lián)度，整數(shù)到分數(shù)是數(shù)的擴充，整式到分式是式的擴充，有理數(shù)和有理式均體現(xiàn)著數(shù)式通性［5］。注重分數(shù)到分式的過渡教學，從概念到運算，將分數(shù)與分式內(nèi)容進行類比學習，探究異同，不斷擴充、完善知識體系，形成豐富的知識圖式，加深學生對分式的理解。對于數(shù)和式運算結(jié)果的主要區(qū)別，小學階段對于數(shù)的四則運算是得到一個具體的值，而代數(shù)化簡是恒等變形，化簡計算中“=”表示的兩層含義：一是表示運算的結(jié)果；二是表示相等的量。部分學生認為代數(shù)運算的結(jié)果不含有運算符號才是最簡形式。這也是學生在化簡過程中出現(xiàn)“2a+2b-a-b=a+b=ab”此類錯誤運算結(jié)果的主要原因。其二，縱向歸納，對比前后知識的聯(lián)系。例如，分式是整式的進一步學習，在整式學習過程中，學生已學習過公因數(shù)（式）和因式分解等基礎(chǔ)知識，因式分解常用方法包括提取公因式法、分組分解法、公式法（平方差公式、完全平方公式等）、十字相乘法、待定系數(shù)法等。在分式的化簡運算中同樣需要用到此類知識。其三，合理安排教學材料次序。研究表明，學生分式加減法和乘除法運算學習中的負遷移是導(dǎo)致運算錯誤的原因之一［6］。學習材料的先后順序?qū)W生學習的遷移有不同的影響，即在分式運算板塊，先講分式的乘除，或?qū)㈨樞蝾嵉?，?dǎo)致學生出現(xiàn)錯誤的概率也不相同。教師應(yīng)合理安排教學順序，及時幫助學生糾正思維誤區(qū)；學生則應(yīng)及時辨析、總結(jié)易錯點。

（二）增強符號意識，提高抽象邏輯思維表征能力

符號意識是數(shù)學最本質(zhì)的特征，用字母代替數(shù)使得數(shù)的表達得到拓展，符號的引入極大地簡化了數(shù)學研究，促進了代數(shù)的發(fā)展。數(shù)學符號不僅包括1、2、3……a、b、x、y等，還包括運算符號。在分式運算教學中，增強學生的符號意識，訓練學生的抽象邏輯思維，讓學生明確算理算法，具體可采用以下措施：第一，引入數(shù)學符號的發(fā)展史，教師講解分數(shù)發(fā)展到分式的演進脈絡(luò)，讓學生自主查閱資料，追溯知識來源，激發(fā)學生的求知欲。教師要找準學生思維的生長點，讓其經(jīng)歷由圖形到具體數(shù)字再到抽象字母表示的過程，感受符號形成的意義及數(shù)學符號的抽象美、簡潔美，體會數(shù)學文化的魅力。第二，學生要有針對性地做分式運算的專題訓練，在練習中體會數(shù)式通性，理解符號內(nèi)涵，加強對符號本質(zhì)特征的理解，深刻理解公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的可變性，而非機械記憶公式。第三，教師設(shè)計開放的探究活動，利用分式解決實際生活中的問題，讓學生在分析問題的過程中，體會用數(shù)學符號進行數(shù)學表達的優(yōu)越性，提高抽象邏輯思維能力，進一步發(fā)展符號意識。對學生符號意識的培養(yǎng)是一項長期工程，教師在深入分析學情，把握學生心理特征的基礎(chǔ)上，讓符號意識貫穿學生數(shù)學學習的全過程，有助于發(fā)展學生的抽象能力，提升其核心素養(yǎng)。

（三）提升反思能力，檢驗學習過程

一方面，學生要加強自我監(jiān)控，提升反思能力。在分式運算過程中需要有反思、回顧的過程性步驟，梳理解題思路，查漏補缺，作答之后可以花幾秒鐘瀏覽答案，關(guān)注驗算細節(jié)，可以采用特殊值檢驗、答案逆推等方法檢驗求解結(jié)果，加強自我監(jiān)控意識，保證做題的準確率。同時，學生要在課堂上標注重難點，針對易錯的“陷阱題”，建立錯題集，定期反思整理。

另一方面，教師要進行反思性教學，面對學生在分式運算中所犯的錯誤，既不能一味責怪學生，不允許學生犯錯，給學生造成數(shù)學焦慮和心理壓力；也不能簡單歸因于學生粗心，要認真對待學生的錯誤，深入挖掘?qū)W生錯誤背后的深層次原因，尋找理論支撐，并對癥下藥，積極尋求解決方案。

（四）糾正不良習慣，調(diào)整學習活動

在分式運算中，為避免出現(xiàn)類似例4的錯解，學生應(yīng)將分式約分之后的結(jié)果分別寫到對應(yīng)位置的上方和下方，將約分后的分子和分母分別相乘，整理結(jié)果一目了然，可以極大減少因書寫不規(guī)范導(dǎo)致的運算錯誤。在數(shù)學學習的過程中，學生還要及時糾正書寫不規(guī)范的不良習慣，在自我監(jiān)控中及時調(diào)整學習活動。首先，教師要關(guān)注學生的表現(xiàn)，做好示范，在講解例題過程中，規(guī)范板書例題的解答過程，合理安排板書布局，必要的作答步驟不能省略。其次，設(shè)置數(shù)學學習成果展板，展示正確率高、書寫規(guī)范工整的作業(yè)，并給予適當獎勵。最后，學生要嚴格要求自己，良好的書寫習慣離不開日常的扎實訓練，關(guān)注細節(jié)、發(fā)現(xiàn)問題才能解決問題?？傊?，良好的數(shù)學書寫習慣要靠教師的以身作則和悉心引導(dǎo)，學生也要用實際行動規(guī)范書寫，體會數(shù)學的嚴謹，提高數(shù)學審美，糾正不良習慣，在自我監(jiān)控中及時調(diào)整學習活動。

結(jié)語

綜上所述，在自我監(jiān)控視角下深入探析學生在分式運算中常見錯誤的深層原因，有助于教師把握學情，分析學生心理特征，有目標、有計劃地對學生進行階段性訓練，螺旋推進，層層深入；有助于學生有意識地調(diào)整數(shù)學學習活動，結(jié)合有效的學習策略，提高數(shù)學學習效率，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

［參考文獻］

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