強化思維教學(xué)　落實核心素養(yǎng)（二）

章建躍

關(guān)于指定課題的設(shè)計意圖，總體思路如下.

（1）積極探索基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略與方法.

（2）發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，強化一般觀念的引領(lǐng)作用，促使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的過程，在獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的過程中，領(lǐng)悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（3）回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)化，加強單元教學(xué)設(shè)計基礎(chǔ)上的課時教學(xué)設(shè)計研究，特別是加強情境創(chuàng)設(shè)和提出問題的研究.

（4）堅持教學(xué)相長，注重啟發(fā)式、互動式、探究式教學(xué)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促進學(xué)生系統(tǒng)掌握各學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法.

（5）重視課堂學(xué)習(xí)評價與教學(xué)反饋，有效處理課堂生成與教學(xué)預(yù)設(shè)的關(guān)系，恰當(dāng)使用教學(xué)調(diào)節(jié)機制，及時改進教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率.

在提升教學(xué)設(shè)計與實施水平上下功夫.

（1）整體性：以研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路為線索的教學(xué)整體架構(gòu).

（2）思想性：在一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

（3）適切性：創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常ìF(xiàn)實、數(shù)學(xué)、科學(xué)等）.

（4）有數(shù)學(xué)含金量的問題，引導(dǎo)學(xué)生開展實質(zhì)性數(shù)學(xué)思考.

（5）系列化的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生開展獨立思考、自主探究、合作交流.

（6）以學(xué)定教：把該講的講清楚，學(xué)生自己能做的要放手.

加強一般觀念的指導(dǎo)，提升教學(xué)的整體性和思想性.

一般觀念，是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論，對學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式對事物進行觀察、思考、分析，以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用.

一般觀念導(dǎo)向的教學(xué)要關(guān)注以下幾點.

（1）數(shù)學(xué)對象——抽象的過程與方法（理解概念）.

（2）研究內(nèi)容——發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題.

（3）研究路徑——數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯.

（4）研究方法——解決數(shù)學(xué)問題的基本之道.

（5）研究結(jié)果——整體性、結(jié)構(gòu)化、聯(lián)系性等.

（6）知識應(yīng)用——數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究等.

一、基本不等式

1. 內(nèi)容與要求

2. 教學(xué)提示

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出的要求是完成高中課程學(xué)習(xí)后要達到的. 將基本不等式放在“預(yù)備知識”中，其認知基礎(chǔ)與放在“必修5”是完全不一樣的. 教學(xué)中要注意基本不等式作為初、高中銜接內(nèi)容的課程定位，發(fā)揮基本不等式在培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維、借助直觀理解數(shù)學(xué)原理、發(fā)展代數(shù)推理能力等方面的作用. 要注意在“相等關(guān)系與不等關(guān)系”的整體框架下進行基本不等式的教學(xué)設(shè)計，要注意選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生掌握三種語言的表達與轉(zhuǎn)換、基本不等式及其變式的證明，理解基本不等式模型的結(jié)構(gòu)特征，并能進行簡單應(yīng)用.

3. 說明

新教材實施以來，基本不等式的教學(xué)出現(xiàn)了大問題——基本不等式成了“基本不懂式”.

教師對此內(nèi)容的課程定位出現(xiàn)理解偏差，導(dǎo)致教學(xué)失準(zhǔn).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》將基本不等式內(nèi)容安排在函數(shù)之后，用函數(shù)知識解決基本不等式問題；《標(biāo)準(zhǔn)》將基本不等式內(nèi)容安排在預(yù)備知識板塊，有兩個重要目的：一是培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維、代數(shù)推理能力；二是為函數(shù)研究準(zhǔn)備工具.

二、指數(shù)

1. 內(nèi)容與要求

2. 教學(xué)提示

指數(shù)冪的拓展過程與數(shù)及其運算的擴充過程有關(guān)聯(lián)，要將內(nèi)容放在數(shù)系擴充的大背景下，從基于運算單位的運算一致性上加強思考，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性；要注意與初中整數(shù)指數(shù)冪拓展經(jīng)驗相聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生建立拓展指數(shù)冪的整體架構(gòu)；要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪再到實數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算法則和變化規(guī)律，領(lǐng)悟運算法則的合理性，理解數(shù)學(xué)運算的一致性，體驗數(shù)學(xué)的思維方式.

3. 說明

三、圓錐曲線復(fù)習(xí)課

1. 內(nèi)容與要求

能利用距離、角度等幾何基本量，從多種角度建構(gòu)圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成圓錐曲線的結(jié)構(gòu)體系.

2. 教學(xué)提示

圓錐曲線有不同的定義方式. 要引導(dǎo)學(xué)生在逐個學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)上，利用確定圓錐曲線的幾何要素，從多種角度、用統(tǒng)一的幾何語言清晰地描述圓錐曲線的幾何特征與問題，再用代數(shù)語言描述這些特征和問題，然后借助幾何圖形的特點形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，解決問題.

3. 說明

（1）關(guān)于圓錐曲線的定義.

數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征可以有多種等價表現(xiàn)形式，所以數(shù)學(xué)對象的定義是不唯一的. 數(shù)學(xué)定義是選擇的結(jié)果.

如何選擇才更有利于對數(shù)學(xué)對象的研究？這其實是沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的.

數(shù)學(xué)定義是一代代數(shù)學(xué)家不斷研究、改進的結(jié)果，特別是一些處于基礎(chǔ)地位的概念. 有時，不同的定義反映了認識的不同抽象層次.

因為要考慮學(xué)生的可接受性，所以對于教材的編寫而言，不一定是越嚴謹?shù)亩x越好.

原始的圓錐曲線的定義基于平面截圓錐，由平面與圓錐的軸所成角的不同范圍，將截線區(qū)分為三類，由此推出“橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為2a”“橢圓上任意一點到焦點的距離與到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比為大于0小于1的常數(shù)”等性質(zhì).

由這個定義可以容易地區(qū)分截線的類型，但每一種截線的幾何特征卻不明顯. 由此出發(fā)推導(dǎo)圓錐曲線的方程，需要用到較多的幾何知識，推理過程比較復(fù)雜，對大多數(shù)學(xué)生而言難度太大，顯然不合適.

（2）“個性定義”的好處.

① 幾何特征非常明確.

② 可以與圓的定義相銜接.（當(dāng)兩個定點的位置逐漸接近時，橢圓的形狀就逐漸接近圓.）

③ 容易作圖.

④ 其基本幾何性質(zhì)（對稱性）易于直觀想象，便于合理地建立平面直角坐標(biāo)系求出橢圓的方程.

⑤ 由“距離的和等于常數(shù)”聯(lián)想到“距離的差等于常數(shù)”非常自然.

……

復(fù)習(xí)階段，要緊緊抓住長度和角度這兩個基本幾何量，利用坐標(biāo)法，通過運算發(fā)現(xiàn)“運算中的不變性和規(guī)律性”，促使學(xué)生不僅理解“背景—概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”這一知識明線，而且掌握“事實—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”這一暗線.

（3）循序漸進地提高綜合和聯(lián)系的要求.

要注意正確理解“綜合與聯(lián)系”的含義，通過知識點的疊加、加大題目的難度并不是明智之舉，綜合與聯(lián)系的目光要聚焦在核心概念上，目的在于促使學(xué)生從整體上更好地把握圓錐曲線.

根據(jù)圓錐曲線的方程，a，b，c，p，e等是決定圓錐曲線性質(zhì)的關(guān)鍵量. 圓錐曲線的焦點、頂點、軸、準(zhǔn)線、弦及其中點、切線、焦距、長（短）軸的長、焦半徑、面積、內(nèi)接圖形（特別是內(nèi)接三角形、內(nèi)截矩形等）、角（與焦點、中心等相關(guān)）等，以及它們之間的相互關(guān)系，都可以用這些不變量來表示. 對此展開一番研究，能極大提升學(xué)生對圓錐曲線的認識水平.

四、信息技術(shù)在探究函數(shù)圖象與性質(zhì)中的運用

1. 內(nèi)容與要求

借助代數(shù)推理和幾何直觀探究一個函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并通過函數(shù)圖象和代數(shù)運算理解和解決問題.

2. 教學(xué)提示

自主選擇一個新函數(shù)（如基本初等函數(shù)的運算、有理分式函數(shù)、一元三次多項式函數(shù)、邏輯函數(shù)、橢圓曲線、心臟線等），利用信息技術(shù)作出函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)性質(zhì)——定義域、值域、特殊點、對稱性、單調(diào)性等. 要充分發(fā)揮信息技術(shù)在探索函數(shù)圖象與性質(zhì)中的作用；注重借助圖形認識函數(shù)的基本特征、形態(tài)變化與運動規(guī)律，通過圖象描述、分析數(shù)學(xué)問題；要引導(dǎo)學(xué)生認識圖象作為數(shù)學(xué)問題直觀模型的作用，借助圖形探索解決問題的思路. 通過教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力，增強學(xué)生運用幾何直觀和空間想象思考和解決問題的意識.

五、空間中點、直線、平面的向量表示

1. 內(nèi)容與要求

能用向量語言描述點、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.

2. 教學(xué)提示

在“空間向量與立體幾何”的整體架構(gòu)中，用向量語言描述空間基本圖形是運用向量方法的第一步，也是溝通向量方法與綜合幾何方法的橋梁. 要通過適當(dāng)方法引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟點、直線、平面的向量表示中蘊含的數(shù)學(xué)基本思想，理解參照系的作用，體會“位置”和“方向”作為三維歐幾里得空間基本概念的基礎(chǔ)地位，形成將確定空間直線、平面的條件向量化的一般觀念.

3. 說明

這個內(nèi)容處于“用向量解決幾何問題”的起始階段. 要用向量解決幾何問題，首先要將幾何圖形的組成元素、元素之間的基本關(guān)系進行向量表達.

在不同維度空間下，用向量表示空間基本元素，本質(zhì)上是將符合一定條件的點用向量表示. 其一般觀念是：取定空間一點O為基準(zhǔn)點，發(fā)揮向量表示方向的作用，通過向量運算得到向量表示式，而且這樣的表示式具有唯一性.

問題：幾何圖形的向量表示，要解決的問題是什么？

要解決的問題是：將確定幾何圖形的要素及其基本關(guān)系用向量表示出來，本質(zhì)上是把滿足幾何條件的點用向量方法表示出來，實現(xiàn)幾何圖形“向量化”，進而能夠通過向量運算解決幾何問題.

六、數(shù)學(xué)活動課：斐波那契數(shù)列與黃金分割

1. 內(nèi)容與要求

通過實際情境引入斐波那契數(shù)列，通過代數(shù)運算導(dǎo)出黃金分割數(shù)；聯(lián)系初中階段的黃金矩形與黃金三角形，欣賞黃金分割在自然規(guī)律、藝術(shù)創(chuàng)作等跨學(xué)科研究中的應(yīng)用.

2. 教學(xué)提示

初中階段的黃金分割從比例線段、一元二次方程引入，高中階段通過數(shù)列（兔子繁殖、爬樓梯等）引入，在研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的過程中得出黃金分割數(shù). 殊途同歸，反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性. 要注重從數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)欣賞、數(shù)學(xué)應(yīng)用等角度展開教學(xué)活動，幫助學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)視野，感悟數(shù)學(xué)觀察、思考與表達的韻味.

3. 說明

（1）斐波那契數(shù)列的探究的整體架構(gòu)如下.

一般觀念：運算、函數(shù)的觀點；數(shù)形結(jié)合，與現(xiàn)實的聯(lián)系；等等.

要通過類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的研究內(nèi)容與研究方法，對斐波那契數(shù)列展開探究. 可以研究的內(nèi)容是什么？方法從哪里來？這里要重點討論. 這些是教師要引導(dǎo)的. 通過這樣的教學(xué)，讓學(xué)生體會如何用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識和思想方法去研究一個新的數(shù)列.

（2）課堂上是否要研究所有性質(zhì)？

課堂上并不需要研究所有性質(zhì)，其實也不可能. 建構(gòu)研究框架，形成研究方法，給出研究示范，然后讓學(xué)生在課下自主探究. 研究成果可以通過板報、成果的課堂展示等進行交流. 也就是說，這個內(nèi)容要用“數(shù)學(xué)探究活動”的方式來組織.

數(shù)學(xué)探究活動是一種綜合實踐活動，其目標(biāo)追求如下.

① 以問題解決為導(dǎo)向.

② 整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法.

③ 讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題.

④ 感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟、金融、地理、藝術(shù)等領(lǐng)域的融合.

⑤ 積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力.

⑥ 發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力.

實際上，強調(diào)綜合與實踐活動，就是要在學(xué)生長知識的過程中增長見識，提高學(xué)習(xí)的興趣，關(guān)注社會生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，主動參與數(shù)學(xué)活動；在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能夠克服困難，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值，欣賞并嘗試創(chuàng)造數(shù)學(xué)美；養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

七、超幾何分布

1. 內(nèi)容與要求

通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.

2. 教學(xué)提示

整體而言，應(yīng)通過典型案例開展教學(xué)活動，案例的情境應(yīng)是豐富的、有趣的、學(xué)生熟悉的；要重視過程，層次清楚，從具體到抽象，從實際到理論. 具體地，要通過不放回摸球試驗或隨機抽樣問題，利用建立二項分布模型積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，經(jīng)歷抽象試驗特征、推導(dǎo)分布列、直觀猜想并計算驗證超幾何分布隨機變量均值的過程；要引導(dǎo)學(xué)生辨析二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生積累建立概率模型的經(jīng)驗，體會概率決策的作用.

3. 說明

二項分布和超幾何分布是在引入隨機變量的概念及其分布列后，重點研究的兩個離散型概率分布模型. 超幾何分布的教學(xué)可以看成概率建模課，重點是試驗特征的抽象、隨機變量的意義、分布列的計算和隨機變量的均值，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一個很好的載體. 教學(xué)中要特別注意以下問題.

（1）重視試驗特征的抽象過程.

（2）分布列的計算.

（3）通過直觀分析與計算驗證相結(jié)合，認識二項分布與超幾何分布的聯(lián)系.

（4）在解決實際問題中提升學(xué)生的能力.

二項分布與超幾何分布在現(xiàn)實中具有廣泛的應(yīng)用. 下面以2018年高考試題為例進行簡單分析.

從實際背景分析，應(yīng)該采用不放回抽?。蝗绻捎貌环呕爻槿?，則各次抽取的結(jié)果不獨立，次品數(shù)服從超幾何分布. 對超幾何分布求極大值點是非常困難的. 這里可以認為樣本量20相對于200較小，每次抽取的結(jié)果對下一次抽取結(jié)果的影響很小，故可以假設(shè)近似獨立，即用二項分布近似超幾何分布.

概率的重要應(yīng)用之一是利用期望值進行決策. 這里需要比較兩種方案所需的總費用，但總費用是隨機變量，所以只能比較總費用的均值. 在該問題中，按二項分布或超幾何分布計算，總費用的均值是相等的.

八、測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度

1. 教學(xué)要求

運用所學(xué)知識解決實際測量高度的問題，體驗數(shù)學(xué)建?；顒拥耐暾^程. 組織學(xué)生通過分組、合作等形式，完成選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié).

2. 教學(xué)提示

這是《標(biāo)準(zhǔn)》中的案例15，要根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對“教學(xué)過程”的描述，讓學(xué)生完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動過程. 在優(yōu)秀課展示過程中，要注意完整選取四個環(huán)節(jié)中的真實素材，還要適當(dāng)闡釋評價過程.