基于“過程教育”的教學分析與具體措施的研究

毛秋琴

［摘? 要］ 《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》再次強調(diào)了數(shù)學教育應注重育人功能，要關注學生的全面發(fā)展. 實踐證明，“過程教育”是踐行這一理念的重要舉措. 文章以“一元二次方程”的教學為例，從多維度進行教學分析，并從如下幾方面談具體措施：明確研究對象，形成核心概念，生成表示方法，總結(jié)提煉提升.

［關鍵詞］ 過程教育；概念；教學

“過程教育”是指關注結(jié)論形成、應用過程與解決問題后反思的教育方式，它能滿足學生全面發(fā)展的需要. 但當前仍有部分教師對數(shù)學“過程教育”的理解不夠透徹，只關注學生所掌握的知識結(jié)論，忽視結(jié)論的形成與反思過程，導致失去了促進學生成長的契機. 為此，本文以“一元二次方程”的教學為例，從“過程教育”的教學分析與具體措施兩個方面展開闡述，與同行共勉.

教學分析

1. 剖析核心概念

概念是數(shù)學的基石，剖析單元核心概念是實施數(shù)學教學的第一步. 將核心概念分解、整合成完整的知識網(wǎng)絡可便于學生更好地理解與記憶. 以一元二次方程的研究為出發(fā)點，進行教學前的問答（為什么要研究？怎樣研究？有什么特征？怎么表示？怎么求解？有什么用處）分析，可提升教學成效.

2. 分析教學結(jié)果

教學結(jié)果是數(shù)學活動的思維或經(jīng)驗結(jié)果，如數(shù)學概念、定理、法則、公式、規(guī)律等是教學內(nèi)容的重要組成部分. 將一節(jié)課可能涉及的所有結(jié)果清晰地羅列出來，能增強教師的教學底氣，能讓教師更好地應對課堂中的突發(fā)事件. 一元二次方程涉及的數(shù)學結(jié)果的邏輯關系較為復雜（如圖1所示）.

3. 論證結(jié)果形成過程

數(shù)學結(jié)果的形成與數(shù)學思想方法之間有著密不可分的聯(lián)系，論證結(jié)果形成過程是指對教學任務進行精致分析，對數(shù)學結(jié)果形成的必備條件與支持性條件逐個分析與驗證的過程，也可以理解為對學生的認知策略、活動經(jīng)驗、態(tài)度與所應用的數(shù)學思想方法進行論證的過程［1］.

關于“一元二次方程”的結(jié)果形成過程的論證，可從如下幾方面著手：結(jié)合奧蘇貝爾的概念獲得過程理論，將一元二次方程視為從生活實際問題中抽象而來或與一元一次方程類比而來，那么“會分析數(shù)量關系”就是必備條件，而“生活經(jīng)驗、數(shù)學抽象思想、模型思想”則為支持條件；一元二次方程的定義形成遵循“觀察—特征歸納—抽象—獲得本質(zhì)—符號表達—提煉數(shù)學思想方法—反思”的過程，那么“會觀察相關的數(shù)或式子”就是必要條件，而“經(jīng)驗、數(shù)學思想方法、反思”則為支持條件；概念求解思維的演繹，求一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式進行分析，那么“一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)”則為必備條件，而“演繹思想與化歸思想”則為支持條件.

4. 概述學習成果

結(jié)合新課標的標準，所有學習成果分成“結(jié)果性成果”與“過程性成果”兩大類. 一元二次方程的結(jié)果性成果，主要有事實性知識、概念性知識、元認知性知識等，并在知識技能、概念理解、運用規(guī)則、解決問題上達到相應的要求；過程性成果，主要有發(fā)現(xiàn)一元二次方程的特征、與之有關的想法、解決問題中的表現(xiàn)、反思體驗與感觸等.

5. 預估認知障礙

充分了解學生的身心特征、知識儲備情況以及學習方式等，可對學生的認知基礎有明確的了解，還可以從學生的不足之處預測到學生獲得數(shù)學結(jié)果的過程會遇到怎樣的障礙.

結(jié)合學情與一元二次方程的特點，可預計學生會出現(xiàn)如下思維障礙：因生活閱歷與經(jīng)驗不足，導致生活體驗不夠，出現(xiàn)根據(jù)生活情境列一元二次方程的障礙，無法將現(xiàn)實生活中的數(shù)量關系與模型聯(lián)系起來；缺乏多角度觀察生活事物的習慣，無法實現(xiàn)從具體到抽象的思維變化，難以抽象出一元二次方程的概念；難以理解復雜的方程變形過程.

6. 明晰課標要求

課標是實施教學的依托. 教學分析時，教師應查閱新課標對本章節(jié)教學的具體要求，尤其關注行為動詞與性能動詞的含義，據(jù)此明確教學方向. 新課標對本章節(jié)的教學要求是［2］：能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，理解方程的意義；能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等，會將一元二次方程根的情況與一元二次方程根的判別式相聯(lián)系；知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以解決一些簡單的問題；能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

從課標要求來看，本節(jié)課應注重“過程教育”，讓學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，充分感知一元二次方程是刻畫數(shù)量關系的重要模型，且會多維度發(fā)現(xiàn)數(shù)學事物的特征.

“過程教育”的實施

1. 明確研究對象

問題1? 又到了紅薯豐收的季節(jié)，據(jù)調(diào)查，2020年紅薯的售價為2元/斤.

（1）2021年紅薯的售價是2.5元/斤，將2020年到2021年紅薯的售價增長率設為x，可列出怎樣的方程？

（2）2022年紅薯的售價是3元/斤，假設2020年到2022年紅薯售價的年平均增長率是x，可列出怎樣的方程？

問題2? 紅薯的價格近年來持續(xù)上漲，薯農(nóng)李大伯準備增擴一塊面積為800 m2的地種紅薯，假設這塊地的寬比長少12 m，求這塊地的長與寬. 假設這塊地的寬為x m，可列出怎樣的方程？

問題3? 假設在這塊地的四周圍一圈柵欄，留下一個長方形的門，已知門的對角線長為1丈（1丈=10尺），寬比高矮6尺，分別求門的寬與高. 設門寬為x尺，可列出怎樣的方程？

設計意圖? 這幾個問題覆蓋了增長率、面積、勾股定理等內(nèi)容，為揭示一元二次方程奠定了基礎. 該設計從學生的生活實際出發(fā)，讓學生在問題的驅(qū)動下進行思考與分析，形成良好的建模能力，培養(yǎng)學生主動發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力（四能），充分體現(xiàn)“過程教育”促進學生全面發(fā)展的作用.

2. 形成核心概念

學生在問題驅(qū)動下，自主列出如下幾個方程：2（x+1）=2.5；2（x+1）2=3；x（x+12）=800；x2+（x+6）2=102.

在教師的引導下，學生分析這幾個方程的異同點. 經(jīng)思考，學生自主獲得如下結(jié)論：這幾個方程都只含有一個未知數(shù)，且等號兩邊都是整式；第一個方程為一元一次方程，未知數(shù)的最高次數(shù)為1，另外兩個方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

基于以上探索，通過類比思想的應用，師生、生生互動與交流后獲得了一元二次方程的概念：方程僅有一個未知數(shù)，等號的兩邊均為整式，未知數(shù)的最高次數(shù)為2. 在交流過程中，學生還得出了一元二次方程的根的概念：讓一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值.

一元二次方程的定義與方程的根是本節(jié)課的重點，為了進一步深化學生對定義與方程根的認識，教師可繼續(xù)用問題驅(qū)動學生的思維：得出一元二次方程的概念主要經(jīng)歷了哪些步驟？研究過程涉及哪些數(shù)學思想方法？類比研究一元一次方程的過程，想要進一步深入理解一元二次方程，我們還需要研究哪些問題？

學生再次合作交流，針對以上問題獲得如下結(jié)論：定義形成的過程是從生活情境中抽象出相應的方程→觀察方程特征→文字表達方程特點；研究過程涉及函數(shù)思想、建模思想、歸納思想與類比思想等；類比研究一元一次方程的過程，還要研究一元二次方程的解法與應用.

設計意圖? 新舊知識的溝通讓學生自主通過類比法獲得本節(jié)課的核心知識，教師適當?shù)囊龑ё寣W生通過與一元一次方程的類比，深化了對一元二次方程的認識. 反思的目的在于進一步深化學生對一元二次方程定義的理解，讓學生的認知經(jīng)歷知識的形成過程，體驗數(shù)學思想方法的應用. 最后一個問題的提出，讓學生自主探尋出了接下來課堂研究的方向.

3. 生成表示方法

有些方程呈現(xiàn)的形式比較繁雜，需要經(jīng)過化簡才能識別出類別，這也是數(shù)學簡潔美的體現(xiàn). 仍以學生自主生成的方程為例：教師要求學生將方程2（x+1）2=3與x2+（x+6）2=102轉(zhuǎn)化成等號右側(cè)為0的形式. 學生轉(zhuǎn)化的結(jié)論為：2x2+4x－1=0與x2+6x－32=0.

教師充分肯定了學生的轉(zhuǎn)化方法，并表示此為一元二次方程的一般形式，即等號左側(cè)為含有未知數(shù)的二次三項式，右側(cè)為零. 我們可用a表示二次項的系數(shù)，用b表示一次項的系數(shù)，c表示常數(shù)項，那么用含有字母系數(shù)的方式來表達一元二次方程，該怎么表示呢？

有學生說出“ax2+bx+c=0（a，b，c均為常數(shù)）”的答案，又有學生表示這種說法不完整，還要添加“a≠0”這個條件，原因是當a=0時，該方程沒有二次項，與一元二次方程的定義不相符，不屬于一元二次方程.

教師高度贊揚了學生的這一補充，并提出問題“b，c是否可以為零呢”，學生繼續(xù)從一元二次方程的定義出發(fā)，認為可以.

師生、生生經(jīng)過有效的溝通與交流，最終歸納出了一元二次方程的表達式：ax2+bx+c=0（a≠0），且存在如下幾種形式：ax2=0（a≠0，b=0，c=0）；ax2+c=0（a≠0，b=0，c≠0）；ax2+bx=0（a≠0，b≠0，c=0）. 也就是說，要判別一個式子是否為一元二次方程，關鍵在于二次項系數(shù)是否為零.

設計意圖? 學貴有疑. 教師以疑激活學生的思維，讓學生全身心地投入一元二次方程一般形式的探索中，有效地提升了學生的邏輯思維. 通過一元二次方程一般形式幾種類型的歸納，學生對一元二次方程的本質(zhì)屬性有了更進一步的理解，也感知了從一般到特殊的數(shù)學思想.

辨析、判別等過程意在深化學生對一元二次方程定義與根的理解，學生一旦從本質(zhì)上掌握了一元二次方程的內(nèi)涵與外延，那么在后續(xù)實際應用時就能靈活應對各種場景下的一元二次方程相關問題［3］. 若想進一步拓寬學生的視野，教師可帶領學生將新建構(gòu)的表示方法應用在一些常見問題中，以培養(yǎng)學生用數(shù)學的思維思考世界的能力，并促進學生“四基與四能”的發(fā)展，這也是“過程教育”理念的價值所在.

4. 總結(jié)提煉提升

課堂結(jié)束之前，教師可針對性地提出幾個問題供學生思考：一元二次方程是什么？列方程的步驟有哪些？它的一般形式是什么？將其他方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程應遵循怎樣的基本步驟？

如圖2所示，學生梳理完以上幾個問題后，將本節(jié)課的研究過程、思路等繪制成簡潔明了的知識結(jié)構(gòu)圖，以完善認知體系.

設計意圖? 課堂尾聲的幾個問題起到回顧、梳理、總結(jié)與提升的作用，知識結(jié)構(gòu)圖的繪制不僅能增強學生的學習能力，讓學生掌握最基本的學習技巧與方法，還能為后續(xù)學習更多的知識夯實基礎.

弗賴登塔爾認為：反思是最重要的教學活動，是促進學生思維發(fā)展的核心動力. “過程教育”注重課堂的總結(jié)與反思，這是促使學生學會多角度觀察與分析問題的關鍵，也是強化學生形成獨立思考習慣與良好探究精神的關鍵.

總之，“過程教育”是新課改的需要，它能滿足學生全面可持續(xù)發(fā)展的需求. 值得注意的是，關注“過程教育”同樣不能忽略結(jié)果，作為教師，應不斷更新教學理念，提升自身的業(yè)務水平，進一步做好教育教學工作.

參考文獻：

［1］邵志芳. 思維心理學［M］. 上海：華東師范大學出版社，2007.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］任丹丹. 基于“過程教育”的“一元二次方程”教學實錄及說明［J］. 上海中學數(shù)學，2015（05）：29-30+38.